概率统计习题与例题2

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【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案work Information Technology Company.2020YEAR概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。

现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。

4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。

求这二维随机变量分布律，并写出关于X和关于Y 的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。

6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。

在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。

如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。

8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9．已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。

那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。

计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

概率论与数理统计练习题(含答案)

第一章随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ）（4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ）（6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ）（7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ）（9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

概率论与数理统计习题二及答案

概率论与数理统计B 习题二答案A1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由。

（1）15i ip =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =。

解：要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑iip。

依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为0646953<-=-=p ；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5112520i i p 。

2. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。

解：依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时()103352314=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ；同理可得()106352415=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P 。

X 的分布律为X 的分布函数为0 3<x()=x F10143<≤x 10454<≤x1 5≥x3. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律：（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中。

《概率统计》练习题及参考答案

习题一（A ）1.写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件：（1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生；（5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系：（1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”；（2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件：（1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”；（2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”；（3）C =“射击三次，至少中一次”；（4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃；)(A B p 。

10.已知41)(=A p ，31)(=AB p ，21)(=B A p ，求)(B A p ⋃。

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为（ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数（ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是（ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是（ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

《概率论与数理统计》习题及答案第二章

《概率论与数理统计》习题及答案第二章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率论与数理统计习题参考答案

概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。

概率论与数理统计习题解答 (2)

2
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
1/ 2
P{ X < 1 / 2} = P{X > 3 / 2} =
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =1/ 4 或 P{X < 1/ 2} = F (1/ 2) = 1/ 4
0
1/ 2
3/ 2
∫
∞
f ( x)dx =
3/ 2
∫ 0dx = 0
或
P{X > 3 / 2} = 1 − P{X ≤ 3 / 2} = 1 − F (3 / 2) = 1 − 1 = 0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
求
(1)常数 A
(2)概率密度函数
(3) P{X < 1 / 2} ； P{X > 3 / 2} ；
P{0 ≤ X ≤ 2} 。
解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的
⎧0 ⎪ ∴ 1 = F（ 1 ） = lim F ( x) = lim Ax = A f ( x) = F ' ( X ) = ⎨ 2 x x⎯ ⎯→ 1 x⎯ ⎯→ 1 ⎪0 ⎩
+∞
所以一年中该地区受台风袭击次数为 3~5 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床，每台发生故障的概率为 0.08, 而 10 台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于 5%。解：随机变量 X 示发生故障的机床的台数则设配备 n 个维修工人 (0 ≤ n < 10) 则“有故障而不能及时排除”事件为
−1 r k −r （2） P{X = k } = Ckr − , k = r , r + 1,...... 1 p (1 − p )

概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析

第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。

A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。

A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。

C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。

A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。

A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。

A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。

为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。

课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。

A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。

课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。

A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。

概率论与数理统计习题及答案第二章

习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者！2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P . 解由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从而{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=,4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X 、求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩ /于是11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞ (2){11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P { <X <}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {<X <}=F -F {}-P {X =}=,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.…5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. |于是, 对于11x -<<, 有{1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥ (2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题》(1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩ 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=⎰可得02d 1cx x =⎰, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) 22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎧⎩ (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩ 、解由概率密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)X N μ, 2~(,5)Y N μ, 1{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P μ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).>(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P kX k <<=成立,应当怎样选择数k *解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩ 由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =⎰,因此a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为.20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩ (2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 2240}x x x ===⎰;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰. 【6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==⎰;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--⎰⎰;，当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为—223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X .、(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ；(2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤(3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少解 (1) 由P {a <x ≤b }=P {33333}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2<X ≤5}=(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=, P {-4<X ≤10}=(3.5)(3.5)0.9996ΦΦ--=,{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤= . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是 3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +⨯-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=.！所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C). ！2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++这里1,μσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩，　，　，　其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞⎰.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩…即121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2YX =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X(X X F F =-.于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二/1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) 至多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少 (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少 (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少 (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少解以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,P {X =k }=k kkC -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ;(2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=; (4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=⎰得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-+∞=⎰, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某一质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥, 问允许σ最大是多少解由{120P ≤X ≤}200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥,得到40()Φσ≥, 查表得40σ≥, 由此可得允许σ最大值为.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰即02e d 1x A x +∞-=⎰故2A = 1, 得到A =12.所以 φ(x ) =12e -|x |.(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰ 得到当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X的分布函数为1,0,2()11,0.2xxxF xx-⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ee≥:。

概率统计习题解答07习题二

P{X=0}
C90 C33 C132
1 =0.045 220
P{X=2}
C92 C31 C132
=0.4909
P{X=1} C91 C32 =0.1227 C132
P{X=3} C93 C30 =0.3818 C132
X的概率分布为 X
P
0 0.045
1 0.1227
2
3
0.4909 0.3818
是，说明理由.
解：如果 f x 是密度函数，则 f x 0，因此 a 0
但是，当 a 0 时，
a2
2xdx
a
x2
a2 a
4a 4 4.
因此，
＋ f x dx
a2
2xdx 4 1
－
a
所以 f x 不是一个密度函数.
18. X
f
(
x)
(1
2
x2
)
,
a x
确定常数a的值,
事件 Aj 表示在第 j 次投篮中乙投中，j 2, 4, 6, 显然它们相互独立.
1 P Z 2k 1 P A1 B2 A2k2 B2k A2k1
0.6 0.5 k－1 0.4＝0.40.3k－1 k＝1,2，
P Z 2k P A1 B2 A2k2 B2k A2k B 1 2k
12.已知P{X=m}= c m e , m 1,2,3, , 且>0,求常数c.
m!
解: 由 pm 1
m1
m1
c m e 1
m!
ce
m 1
m1 m!
ex 1 xn n0 n!
e 1 n
n0 n!
m e 1
m1 m!

高三数学练习题：概率与统计

高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。

现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。

问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。

问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。

而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。

现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。

问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。

问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。

现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。

概率论与数理统计习题及答案第二章.doc

习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求＝2－ X 的分布律； (2) 求＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。

概率统计习题2

第三章数字特征一、选择题1. 随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ，则（） A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 22. X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（） A ．DX EX ==3 B ．DX EX ==31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =91 3. 随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ,协方差12=XY σ，则)()(=-Y X DA ．1B ．37C ．61D ．854. 设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （）A.31B.32C.1D.310 5．已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21 D.E(X)=21, D(X)=41 6则E （XY ）=（） A ．91- B ．0C ．91 D ．31 7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（） A ．-2 B ．0C ．21D ．28．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（）A ．25- B ．21 C ．2D ．5 9．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=61，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（）A ．2161 B ．361 C ．61 D ．1二、填空题1. 设X 服从二项分布),(p n B ，则=-)12(X D2. 总体X 服从)2,2(2N ，则=2EX3．设二维随机变量),(Y X 的分布律为则=)(XY E4．设随机变量X，则)(2X E =5.设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布。

概率论与数理统计第二章习题与答案

概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计第二章习题2

1 y
,1
y
e
0,0 y 1或y
e
（2）当 y 0 时， fY ( y) 0
当 y 0 时，FY (y) P{Y y} P{2ln X y} P{X ey/2} 1 P{X e y / 2} 1 F X (e y / 2 )
fY
(
y)
f
X
(ey / 2
)(1/
2e y
36
2 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被是使用的概率是多少？
解：以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则
2 fK (x)dx
1
fK (x)dx
5 1dx 25
1 0dx 3
5
6 设随机变量 X 在（0，1）服从均匀分布.（1）求 Y e X 的概率密度;(2)求 Y 2ln X 的概率密度。
解：X 的概率密度为
1,0 x 1 f (x) 0,其它
分别记 X ,Y 的分布函数为 FX (x), FY ( y).
y)2
2
arcsin
y.
所以当 0 y 1
时，fY
( y)
d dy
FY
( y)
2 1 y2
因此，所求的概率为
fY ( y)
2 ,0 y 1, 1 y2
0, 其它
8 一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从参数为 160, ( 0) 的正态分布。若要 P{120 X 200} 0.80
4x2 4Kx K 2 0 有实根的概率.

《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案习题二1•一袋中有5只乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律•【解】X =3,4,5 3P(X =4) 3 =0.3 C 5C 2P(X =5)3=0.6C52•设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；（3）1 3 3P{X }, P{1 ：： X }, P{1 乞 X }, P{1 ：： X :: 2}.2 2 2【解】X =0,1,2. C 13 P(X =2)13C15P(X =3) C ；= 0.1P(X =0) C 13C152235P(X =1)C ；C 23C 512 35丄 3534 34 门 0 2' 2' ' '35 3533 12P(1 _ X ) = P(X =1)P(1 ：： X 厂2 2 3534 1P(1 ：：： X ：：2) = F(2) _ F(1)_ P(X =2) =1 0.35 35 3•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X = 0) = (0.2)3 = 0.0081 2P(X =1)70.8(0.2) =0.096 P(X 二 2) =C 3(O.8)2O.2 = 0.384P(X =3) =(0.8)3 =0.512故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数” 0,X <00.008, 0 兰 xc1F(X )» 0.104, 1^x<20.488, 2 兰x<31,x^3P(X — 2) = P(X =2) P(X =3^ 0.8964.( 1)设随机变量X 的分布律为P{X=k}= a -,k!其中k=0, 1, 2,…，入〉0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…,N ,试确定常数a.0,x ::: 0 22 0 _ x ：： 13534 1 _x ：： 2351, x_2F(x)= (2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x ) 当 1 w x<2 时, F (x ) 22 =P (X w x ) =P(X=0)=- 35 34 =P (X w x ) =P(X=0)+P(X=1)=-35当x >2时，F 故X 的分布函数(x ) =P (X w x ) =1 1 1 22P(X =)★(；) ,2 2 353 3P(1 ：：： X ) = F(：)-【解】(1)由分布律的性质知二：• k1 P(X 二k) =a aLe'k z0 k^o k!故 a = e_,(2)由分布律的性质知N Na1 =為P(X =k) akw k a N即 a = 1.5•甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝U X~b (3, 0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X 二Y)二P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)P(X =3,Y =3)3 3 1 2 1 2-(0.4) (0.3) C30.6(0.4) C30.7(0.3) +2 2 2 23 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)=0.32076(2) P(X Y) = P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)P(X =2,Y =1) P(X =3,Y =1) P(X =3,Y =2)1 2 3 2 2 3-C30.6(0.4) (0.3) C3(0.6) 0.4(0.3)3 3 2 2 1 2(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C；0.7(0.3)2(0.6)3C：(0.7)20.3=0.2436•设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有P(X ■ N) <0.01200即送 C k 00(O.O2)k (O.98)200上 £0.01k =N 1利用泊松近似-np = 200 0.02 = 4.血 e 44kP(X_N)0.01宀k!查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001)P(X _2) =1 -P(X =0) -P(X =1)0.1 0.1=1 —e - 0.1 e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则14 2 2 3C 5p(1 - p) 9p (1 - p)9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号 (1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6 ( 5, 0.3)5P(X 工3)=送 c 5(0.3)k (0.7)5^ =0.16308k=3⑵ 令Y 表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y 〜b ( 7，0.3)故所以P(X =4)=C ：(1)4拿10 2437 ■—k k 7 —kP(Y^3)=送C k(0.3)k(0.7)7=0.35293 k=310•某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2) t 的泊松分63 1 13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X 表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解】X =1,2,,k,|||1 k —1 p (x =k )y4P(X =2) P(X =4)P(X =2k)谱64 W …布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1) (2) 【解】(1) 求某一天中午12时至下午求某一天中午12时至下午3P(X =0)3时没收到呼救的概率； 5时至少收到1次呼救的概率.5(2) P(X _1) =1 — P(X =0) =1 -k k2 _k11.设 P{X=k}= C 2P (1 - p) ,k=0,1,2mm4_mP{ Y=m}= C 4 p (1 - p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量 X , Y 的概率分布，如果已知 P{X > 1}=，试求P{ Y > 1}.954I 解】因为P(X 牛，故P(X (9)P(X ::: 1) = P(X =0) =(1 - P)2故得24(仆)飞1 「3从而P(Y _1) =1 _P(Y =0) =1_(1_ p)465 0.80247810.001,试求在这 2000册书中 12•某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率. 【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，■ - np 二 2000 0.001 二 2P(X =5)「255!-0.001811 514•有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金•求： (1) 保险公司亏本的概率； (2)保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元. 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X • 30000) =P(X 15) P(X <14)由于n 很大，p 很小，入=np=5,故用泊松近似，有：4 e'5kP(X 15) = 10.000069k 竺k !⑵P(保险公司获利不少于 10000)= P(30000 -2000X _ 10000) =P(X < 10)20000) = P(30000 -2000X 一20000) = P(X 乞5)5 _5 k_ e 5 0.615961 k =0 k!即保险公司获利不少于 20000元的概率约为62% 15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae ,「8 <x<+ ,求：(1) A 值；(2) P{0<X<1}; (3) F(x).【解】(1)由 f (x)dx =1得1=Ae ^dx =2 Ae "dx =2A--：： 01 故 A . 2⑵ p(0 ：X ：：1)匚 0「dxs (1-e')⑶当x<0时,x1 1F (x )=［石 e x dx 匚 e x10k =0k!0.986305即保险公司获利不少于 10000元的概率在 98%以卜.P (保险公司获利不少于中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数【解】由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (x ) =0 当 0< x w a 时 F(x)=当 x >0 时，F(x)= f^e X dx + 2 -：：22 [-e~dx o 2F(x) =1 x 0 -e , x ：：：0 1」e 」x_0 2 16•设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 100, X —100,x x ：：100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F （ x ）. X 的密度函数为f(x)= 0,求: (1)(2) (3) 【解】 (1) 150 100 1 P(X < 150) r dx . ' )応 x 2 3 3 2 3 8 P 1 <P(X 150)]3 珂2)3 二石 3 2/⑵卩2 二 c ；3（2）2 ⑶当 x<100 时 F (x ) =0 x 当 x > 100 时 F(x) f (t)dtJ JO O 100 x 」(t )d t100f (t )dtx豁1t 2100x i 0,x _100x ：：17•在区间］0, a ］上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在］1f (X )二 a' 0,0乞x 乞a其他xx；f （t ）dt 「0x1 xf(眄0了蔦当 x>a 时，F (x ) =1即分布函数x F(x)二l a 1,18.设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布•现对值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即Pf(x) = 3’【0,故所求概率为119•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以Y 表示一个月内他未等 P{Y > 1}.> _xf(x)二孑5【0,该顾客未等到服务而离开的概率为Y~b(5,e 冷，即其分布律为P(Y =k) =c 5(e')k (1—e')5=k =0,1,2,3,4,5P(Y 一1)=1 -P(Y = 0) =1 -(1-e‘)5 =0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从N (50, 42).(1)若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则「0, x ：： 0P(X 3)=Qdx =3 3X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测其他p=c 3(2)21 c 3(2)3 3 3 3 20 27等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求1【解】依题意知X ~ E(”)，即其密度函数为x'5dx = -2ef x —4060—40 )斗 P(X ：：：60) = P(2) =0.97727V 1010 丿若走第二条路，X~N ( 50, 42),则X 「50 60「50 P(X ::: 60) = P(2.5) = 0.9938++V 441故走第二条路乘上火车的把握大些•(2)若 X~N (40, 102),则P(X ：：：45)=P X -4° ：： 45一4° =：：，(0.5)=0.6915I 10 10 丿若 X~N (50 , 42),则:::45 -5° = ：：」(_1.25)4=1 -门(1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X<5}, P{4<X <10} , P{ | X |> 2}, P{X >3}; (2)确定 c 使 P{X > c}= P{X < c}.【解】(1) P(2：：：X E5)=P 口」3 空口V 2 2 2 丿()2 () 2= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328 P(—4 ：：X —10) =P i.X 色一!^3V 222 丿 =O.9996P(| X | 2) = P(X 2) P(X ：： -2)f X -3 2_3］丄 f X -3 _2_3； =P --------- > ------ (+P ---------- < ---------I 2 2丿 12 2丿 “—①i —丄①i —5匚①I 丄r —①i-l 2丿I 2丿12丿 12丿-0.6915 1 -0.9938 =0.6977P(X ：：45) = P X -50—4X —3 3-3P(X 3) = P() J —：：」(0) =0.5⑵c=322. 由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05土 0.12内为合格品求一螺栓为不合格品的概率.=1一门(2)亠处(一2)=2[1-：：」(2)]二 0.045623. 一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, (I),若要求P{120 v X < 200 =>0.8，允许i 最大不超过多少？(1) 求常数A , B ;(2) 求 P{X W 2} , P{X > 3}; (3)求分布密度f (x ).匹 F(x)=1 「A = 1【解】(1)由 … 得伽+F (x)巳监F(x)旧一1(2) P(X _2) = F(2) =1 -e ，'P(X 3) =1 _F(3) =1 _(1_eA )25.设随机变量X 的概率密度为・x,f (x )=」2 - x,0,求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x )f (x^ F (x)0,x 一0 x ：： 0 【解】P(|X -10.05| 0.12) =PX —10.05 0.060.12>0.06』【解】P(120：："200)=P 1^1坐3 乞叱型故24.设随机变量X 分布函数为40-31.251.29F (x )A Be*,0,x 一0,x 0.0 空 x ：： 1,仁 x :: 2,【解】当x<0时F （x ） =0xtdt当 1W x<2 时 F(x)二 f (t)dt1-0tdt (2-t)dt1 2x22 2 2x2x -1x 当 x >2 时 F (x) f (t)dt = 126•设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae_ |x|,入 >0；f(x)二 2c 'X2e当 x W 0 时 F (x) = J 』(x)dx =访e% = 2,当 0W x<1 时 F(x)=xJ (t)仁x.f(t)dtF(x)二x 22x 2x -1,21,x ：： 0x _2⑵f(x)= 试确定常数【解】（1）由bx, 12，x 0,0 ■ x ：： 1, 1 < x < 2,其他•a,b ,并求其分布函数 F （ x ）."f (x)dx =1知 1J JO O2ax 2 3即密度函数为当 x>0 时 F (x) =(x)dx =J ：eMdx 壮专e —x dx故其分布函数x _01 f (x)2, |x 0,当 x < 0 时 F (x ) =0当 0<x<1 时 F(x) f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx当 1 w x<2 时 F(x)二 J-f (x)d ^j-Qdx当 x > 2 时 F (x ) =1 故其分布函数为广0, 2xJF(x)二 23_12 x1，27•求标准正态分布的上:-分位点,(1) ： =0.01，求 z ； (2) ： =0.003，求 z-., z-./2. 【解】(1) P(X Z.H0.01即：G( z ：.)=0.09故z —2.33x=0xdxx 21 八-3 - 2F(x)1丄」 2(2)由 1 = f°°f(x)dx = f1bxdx — dxx得即X 的密度函数为b=1x, 0 ： x :: 1其他xdx1严x-0 0 ■ x ■■■ 1 1 < x ：：即心(zj =0.012a(2)由 P(X .乙)=0.003得 1 (zj =0.003即：•：」(乙)=0.997 查表得乙.=2.75由 P(X z ./2) =0.0015 得1-：」(Z-./2)=0.0015即 ■->( Z") =0.9985查表得z ：./2 =2.96求Y=X 的分布律.【解】Y 可取的值为0, 1, 4, 9P(Y =0) =P(X =0)」5P(Y =1) = P(X =「1) P(X =1)=1 -~6 15301 p (Y =4) =P(X - -2): 5 11 P(Y =9) = P(X =3)=3029•设 P{X=k}=( 1)： k=1,2,…，令Y 「1,当X 取偶数时 1-1,当X 取奇数时.求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】P(Y =1) =P(X =2) P(X =4) "I P(X =2k)川=G )2 G )4 川(1)2k 川2 2 2 1 1 1 =()/(1 厂4 4 3P(Y =—1) = 1 — P(Y =1) = 2 30•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度； (2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求Y= | X |的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y)二 P(Y 曲)=0x当 y>0 时，F Y (y) =P(Y 空 y) =P(e < y^P(X < ln y)In y二：i- fX (x)dx(2) P(Y =2X 2 1 _1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P (丫乞 y) =02当 y>1 时 F Y (y) =P (丫乞 y) =P(2X 1 乞 y)(y J)/2「一 R f X (x)dx故 f 丫(y)=f F 丫(y)三民:f x (厅]+f x 「F]]⑶ P(Y-0)=1当 y w 0 时 F Y (y)二 P (Y — y) =0dF y (y)11 1 j n 2y /2 JEW ，y 0= PX 2 哼二P< X <4y 4)/4e , y 1当 y>0 时 F Y (y) = P(| X 国 y)二 P( —y 乞 X 乞 y)y二 y f x (x)dx故 f Y (y)：F Y (y )二 f x (y) f x (-y)dy31. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e x 的分布函数及密度函数； (2)Z= -21 nX 的分布函数及密度函数【解】(1) P(0 ：：X ：：：1) =1故 p( 1 ::： Y 二 e ::： e) 1 当 y _1 时 F Y (y) =P(Y 乞 y) =0当 1<y<e 时 FY (y) =P(e X 乞 y) =P(X On y)In y「0 dx=lnyX当 y 》e 时 F Y (y)二 P(e < y) = 1 即分布函数J, y^e故Y 的密度函数为口 f Y (y)二 y,0,(2) 由 P ( 0<X<1) =1 知P(Z 0) =1当 z w 0 时，F z (z) =P(Z Ez) =0当 z>0 时，F Z (z)二 P(Z 乞 z)二 P(—2ln X ^z)=P(ln X _ -自二 P(X _e 亠2)y 0,F /(y)=七n y,y 乞1 1 ：：1 ：：y e故Z的密度函数为32. 设随机变量X的密度函数为2xf(x)= n io,0 ：：xn其他.试求Y=sinX的密度函数.【解】P（0 Y：：：1） =1当y w o 时，F Y（y）二P（Y ^y） =0当0<y<1 时，F Y（y）二P（Y 空y）二P（sin x 乞y）二P(0 ：： X M arcsin y) P( n- arcsin y 玄X ::narcsiny 2x n2x2dx 2dx0 n -arcsin y 彳=4( arcsiny)2 1- arcsin®2n n2 .arcs in yn当y》1 时，F Y（y）=1故Y的密度函数为33. 设随机变量X的分布函数如下:z/2即分布函数I z/2 dx = 1 - eu a -----z<0-z/21-ez 0zMX』2，X 』2，18试填上(1),(2),(3)项.F(x) = 1 x‘(2)X-(3) •19【解】由lim F(x) =1知②填1。

概率论及数理统计习题及答案第二章

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例：1.23 设某灯炮厂制造的灯泡,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下来未打破,第二次落花流水下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落花流水下打破的概率为9/10,试求灯泡落下三次而未打破的概率.解: 设i A ={灯泡第I 次落下打破}(I=1,2,3), B={灯泡落下三次而未打破}.因为321A A A B =, 故有()(P B P =321A A A ）=P （)|213A A A )()|(112A P A A P ⋅⋅=⎝⎛⎪⎭⎫- ⎝⎛⎪⎭⎫- ⎝⎛⎪⎭⎫-21110711091=2003例：1．26 设有电路如图1．3，其中1，2，3，4为继电器接点。

设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器接点闭合的概率均为p 。

求L 至R 为通路的概率。

解：设i A ={第i 个继电器接点闭合}（),4,3,2,1=i=A 1A 2A 3A .4A 从而由（2，5）式及1A ，2A ，3A ，4A 的相互独立性，得到P （A ）=1(A P 2A ）+P （3A 4A ）-P （1A 2A 3A 4A ）=1(A P ）P （2A ）+ P （3A ）P （4A ）-1(A P ）P （2A ）P （3A ）P （4A ） =422p p p -+=242p p - 例1．27抛起一枚均匀硬币6次，假定这次上抛是相互独立的，试求恰好出现3次正面向上的概率。

解：这是典型的贝努利试验，n=6，p=21，k=3 因此，所求概率为6P （3）=36C 321⎝⎛⎪⎭⎫3211⎝⎛⎪⎭⎫-=165=0.3125例子1.28 在规划一条河流的洪水控制系统时，需要研究出现特大洪水的可能性，假定该处每年出现特大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出现是相互独立的试求今后10年内至少出现两次特大洪水的概率。

解：由于每年中我们只关心“出现洪水”（记作A ）与“不出现洪水”（记作A ）这两种情况，因此可以把它视作贝努利试验，n=10，p=P （A ）=0.1，由∑==1010,1)(k k P 所求概率为：+)2(10P +)1()0(1)10(101010P P P --==9110100010)1.01(1.0)1.01(1.01-⋅--⋅-C C =1-0.35-0.39=0.26例1.29 甲乙两名棋手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为0.6.假定每盘棋的胜负是相互独立的,且不会出现和棋.在下列三种情形下,试求甲最终获胜的概率:(1) 采用三盘比赛制; (2) 采用五盘比赛制; (3) 采用九盘比赛制;解: 由于每项比赛只有“甲胜”(记作A)与“甲负”(记作)A 两种结果,因此,可以把它视作贝努利试验,p=0.6.(1) n =3, 所求概率为 3331223336.04.06.0)3()2(C C P P +⋅=+648.04.00=⋅ (2) n =5所求概率为683.04.06.04.06.04.06.0)5()4()3(055514452335555=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++C C C P P P(3) n =9, 所求概率为∑∑=-==⋅⋅=9599959734.04.06.0)(k kk Kk Ck P 。

这个例子告诉我们，采用多盘比赛制对强手有利。

例1．31 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解：令A={任取一零件为合格品}，i B ={零件为第i 台机床的产品},i=1,2.此时,全部的零件构成样本空间21,,B B Ω为Ω的一个划分,由全概率公式得:A P A P ()(=/211/()()B A P B P B +)P (95.03193.03296.0)2=⨯+⨯=B例1． 34（桥式系统）设一个系统由5个元件组成，连接的方式如图1.5所示，每个元件的可靠度都是P ，每个元件是否正常工作是相互独立的，试求这个桥式系统的可靠度。

解：从图1.5可以看出，只要4条通路中至少有1条正常工作，这个桥式系统就正常工作，但用这种算法解题比较繁杂，下面用全概率公式来解。

设事件B 表示“整个桥式系统正常工作”，事件A 表示“元件5正常工作”，于是，A 与A 构成样本空间的一个划分，且P （A ）=p,P(A )=1-p.当A 不发生时,不妨把桥式系统视作图1.7所示的混联系统,它的可靠度为P(B/42222)1(1)p p p A -=--=于是,由全概率公式推得整个桥式系统的可靠度为P(B)=P(A)P(B/A)=P()/()A B P A =p(2p-)2)(1()4222p p p p --+=25432252p p p p +-+ 习题: 1. 对任意事件A,B 下列式子中正确的是( ).A. ;B A B A =-⋃B. A A B A =-⋃ ;C. . A B A B A -=-⋃;D. B A A B A -=-⋃; 2. A,B 是两个随机事件,且,A B ⊆则( ).A. P();()A P B A =⋃B. P(AB)=P(B);C. P(A-B)=P(A)-P(B);D. P(AB)=P(A)P(B);3. A,B 是两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( ). A. A 与B 不相容; B. A 与B 相容; C. P(AB)=P(A)P(B); D. P(A-B)=P(A);4. A,B 为两件事件,P(A),P(AB),P(A)+P(B),P()B A ⋃大小关系如何?用不等号连之.5. A,B 互不相容, P(A)=p, P(B)=q,求: (1)P();()2();B A P B A ⋃⋃(3)P()()4();AB P B A .6. 选择题: (1)A,B 为任意两个事件且)(,B P B A ⊂>0,则下列式成立的是( ).A. P(A)<P(A/B);B. P(A));/(B A P ≤ C.)/(B A P ≥(2) A,B 满足P(B/A)=1,则( ).A. A 是必然事件;B. P(B/;0)=AC. ;B A ⊃D. P(A)).(B P ≤ (3) 设0<P(A)<1, 0<P(B)<1, P(A/B)+P(,1)/=B A 则( ). A. AB=;ΦB. B=;AC. P(AB)≠P(A)P(B)D. P(AB)=P(A)P(B)(4) A ，B 互不相容，且P （A ）>0.P(B)>0,则有( ).A. P(B/A)>0;B. P(A/B)=P(A);C. P(A/B)=0;D. P(AB)=P(A)P(B).7. 证明:(1) P(A)=a, P(B)=b>0, 则P(A/B)bb a 1-+≥.(2) P(A/B)>P(A), 则P(B/A)>P(B). (3) A,B 相互独立,则A 与B 相互独立.例2．7 设某高速公路一年内发生恶性交通事故的次数X P （），而每一次事故造成一位司机死亡的概率为p,且一次事故至多只造成一位司机死亡，求一年内恰有r 位司机因车祸丧生的概率。

解：设k A ={一年内有k 次恶性事故}={X=k}，k=0，1，2，……。

B={一年内因车祸恰有r 位司机死亡}。

由于在发生k 次事故时，每次一位司机死亡的概率都是p ，故在K 次事故发生的条件下，司机的死亡数的分布为B （k ，p ），恰有r 位司机死亡的概率为rk r r k p p C --)1(.由全概率公式及问题的条件，有P （B ）=/()(krk kA B P AP ∑∞==∑∞===rk k X B P k X P }/{}{=rk r r k rk k p p C k e-∞=--∑)1(!λλ=rk r rk k p p r k k r k e-∞=---∑)1()!(!!!λλ=∑----)!()]1([!)(r k p er p rk rλλλ=prp rer p eer p λλλλλ---=!)(!)()1(。

即r 是一个服从参数为λp 的泊松分布的随机变量。

例2.8 设某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4。

试问该人员要求职多少次，才能有0.9的把握获得一个就业机会？解：设X 表示该人员在求职过程中首次成功的求职次数，则X 服从几何分布，其中 p=0.4，q=1-p=0.6. P{X=k}=,4.06.01-k k=1,2,……。

由事件的不相容性，有P{X 5≤}=P{（X=1）)}5()4()3()2(=⋃=⋃=⋃=⋃X X X X=∑∑==->==515119.04.06.0}{k k k k X P故该求职人员至少要求职5次，才能以0.9的把握得到一次就业的机会。

该问题还有另一简单解法：设该求职人员必须进行n 次求职才能满足题目要求，则n 应满足,1.0)6.0(<n而,1.0078.0)6.0(5<≈所以，该人员至少要求职5次。

例2．14设随机变量X 在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程0922=++Xy y 有实根的概率。

解：方程有实根等价于4,0362≥-X即X 3≥或X 3-≤由于X 服从均匀分布，故X 的概率密度为 f=（x ）= 28≤≤x2≤x 或8≥x从而，P{0922=++Xy y 有实根}=P{X 3≥}+P{X 3≤}=⎰⎰+∞-∞-+33)()(dx x f dx x f=6506183=+⎰dx 。

例2．15设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：分）服从参数为51=λ的指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(x f 51-e .0≥x等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去，若其一个朋到银行5次，以Y 表示一个朋内顾客未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y ≥1}。

解： p=P{X>10}=1-P{X ⎰∞--=≤10)(1}10dx x f =1-25101051--=⎰edx e所以Y 的分布律为 P{Y=k}=k k k p p C --55)1(=),5,4,3,2,1,0(,)1()(5225=----k e e C k k k P{Y 5167.0)1()(1}0{1}1520205=--==-=≥--e e C Y P 例2．20某人上班所需的时间（单位：分）X~N （50，100），已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）某天迟到的概率；（2）某周（以五天计）最多迟到一次的概率。