概率统计习题与例题2

例：1.23 设某灯炮厂制造的灯泡,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下来未打破,第二次落花流水下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落花流水下打破的概率为9/10,试求灯泡落下三次而未打破的概率.

解: 设i A ={灯泡第I 次落下打破}(I=1,2,3), B={灯泡落下三次而未打破}.

因为

321A A A B =, 故有

()(P B P =321A A A ）=P （)|213A A A )()|(112A P A A P ⋅⋅

=

⎝⎛⎪⎭

⎫- ⎝⎛⎪⎭⎫- ⎝⎛

⎪⎭⎫-

21110711091=2003

例：1．26 设有电路如图1．3，其中1，2，3，4为继电器接点。设各继电器接点闭合与

否相互独立，且每一继电器接点闭合的概率均为p 。求L 至R 为通路的概率。

解： 设i A ={第i 个继电器接点闭合}（),4,3,2,1=i

=A 1A 2A 3A .4A 从而由（2，5）式及1A ，2A ，3A ，4A 的相互独立性，得到

P （A ）=1(A P 2A ）+P （3A 4A ）-P （1A 2A 3A 4A ）

=1(A P ）P （2A ）+ P （3A ）P （4A ）-1(A P ）P （2A ）P （3A ）P （4A ） =422p p p -+=242p p - 例1．27

抛起一枚均匀硬币6次，假定这次上抛是相互独立的，试求恰好出现3次正面向上的概率。

解： 这是典型的贝努利试验，n=6，p=2

1，k=3 因此，所求概率为

6P （3）=36C 3

21

⎝⎛⎪

⎭

⎫3

211

⎝

⎛⎪⎭⎫-=

165

=0.3125

例子1.28 在规划一条河流的洪水控制系统时，需要研究出现特大洪水的可能性，假定该处每年出现特大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出现是相互独立的试求今后10年内至

少出现两次特大洪水的概率。

解：由于每年中我们只关心“出现洪水”（记作A ）与“不出现洪水”（记作A ）这两种情

况，因此可以把它视作贝努利试验，n=10，p=P （A ）=0.1，由∑==10

10,1)(k k P 所求概率为：

+

)2(10P +)1()0(1)10(101010P P P --==9

110100010)1.01(1.0)1.01(1.01-⋅--⋅-C C =1-0

.35-0.39=0.26

例1.29 甲 乙两名棋手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为0.6.假定每盘棋的

胜负是相互独立的,且不会出现和棋.在下列三种情形下,试求甲最终获胜的概率:

(1) 采用三盘比赛制; (2) 采用五盘比赛制; (3) 采用九盘比赛制;

解: 由于每项比赛只有“甲胜”(记作A)与“甲负”(记作)A 两种结果,因此,可以把它视作贝努 利试验,p=0.6.

(1) n =3, 所求概率为 3331223336.04.06.0)3()2(C C P P +⋅=+648.04.00=⋅ (2) n =5所求概率为

683.04.06.04.06.04.06.0)5()4()3(055514452335555=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++C C C P P P

(3) n =9, 所求概率为∑∑=-==⋅⋅=

9

5

99

9

5

9734.04

.06.0)(k k

k K

k C

k P 。

这个例子告诉我们，采用多盘比赛制对强手有利。

例1．31 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工

出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？

解：令A={任取一零件为合格品}，i B ={零件为第i 台机床的产品},i=1,2.此时,全部的零件构成样本空间21,,B B Ω为Ω的一个划分,由全概率公式得:

A P A P ()(=/211/()()

B A P B P B +)P (95

.03193.03

296.0)2=⨯

+⨯

=B

例1． 34（桥式系统） 设一个系统由5个元件组成，连接的方式如图1.5所示，每个元件的

可靠度都是P ，每个元件是否正常工作是相互独立的，试求这个桥式系统的可靠度。

解： 从图1.5可以看出，只要4条通路中至少有1条正常工作，这个桥式系统就正常工作，但用这种算法解题比较繁杂，下面用全概率公式来解。 设事件B 表示“整个桥式系统正常工作”，事件A 表示“元件5正常工作”，于是，A 与

A 构成样本空间的一个划分，且P （A ）=p,P(A )=1-p.

当A 不发生时,不妨把桥式系统视作图1.7所示的混联系统,它的可靠度为

P(B/42222)1(1)p p p A -=--=

于是,由全概率公式推得整个桥式系统的可靠度为P(B)=P(A)P(B/A)=P()/()A B P A =p(2p-)2)(1()4

2

2

2

p p p p --+=25

4

3

2

252p p p p +-+ 习题: 1. 对任意事件A,B 下列式子中正确的是( ).

A. ;B A B A =-⋃

B. A A B A =-⋃ ;

C. . A B A B A -=-⋃;

D. B A A B A -=-⋃; 2. A,B 是两个随机事件,且,

A B ⊆则

( ).

A. P();()A P B A =⋃

B. P(AB)=P(B);

C. P(A-B)=P(A)-P(B);

D. P(AB)=P(A)P(B);