三者容斥问题3个公式

三者容斥问题3个公式
三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。

如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。

首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？
题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。

其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？
（1）标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总-都不的
（2）拓展1：A+B+C-同时满足两项的-2ABC=总-都不的
（3）拓展2：A+B+C-满足两项以上的-ABC=总-都不的
再次，如何1秒挑选三集合容斥公式？
三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。

若题目给出“满足AB、满足AC、满足BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展1公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2公式。

其他的条件在选公式的时候，一点也没用，直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1秒足已。

最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。

来来来，上菜了。

【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。

A.14
B.15
C.18
D.17
【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。

【答案】C
【解析】本题考查三集合容斥。

设三种食品添加剂都不达标的有x种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得x=18（尾数为8）。

故本题答案为C选项。

【例2】一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B 景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。

那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点？（）
A.29
B.31
C.35
D.37
【秒选公式】题目中告诉了好多条件，如何选择公式呢？题目中问“50位游客中有多少位恰好去了两个景点”，即同时满足两项的个数，选拓展1公式。

【答案】A
【解析】本题考查三集合容斥。

设有x位游客恰好去了两个景点。

由三集合容斥原理公式可得：35+32+27-x-2×8=50-1，尾数法可得x尾数为9。

故本题答案为A选项。

【例3】某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上
网。

如果使用不止一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）
A.148
B.248
C.350
D.500
【秒选公式】题目已知“如果使用不止一种上网方式的有352个客户”，等价于“使用2种及以上上网方式的有352个客户”，即满足两项以上的个数，选拓展2公式。

【答案】A
【解析】本题考查三集合容斥。

设三种上网方式都使用的客户有x个，代入三集合容斥拓展2公式，1258+1852+932-352-x=3542，解得x=148。

故本题答案为A选项。

相信大家已经学会了如何1秒选公式了，接下来，试试身手如何。

【练习1】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。

在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。

该单位的职工人数为（）人。

A.233
B.252
C.321
D.520
【秒选公式】题目中已知“参加两种活动的有130人”，即同时满足2项的个数，应选拓展1公式。

【答案】B
【解析】本题考查三集合容斥原理。

代入三集合容斥原理拓展1公式，
189+152+135-130-69×2=总数-44，尾数法可知总数尾数为2。

故本题答案为B选项。

【练习2】工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？（）A.24B.27
C.30
D.33
【秒选公式】题目中已知“参加两项及以上培训的人”，即满足两项以上的描述，应选拓展2公式。

【答案】B
【解析】本题考查三集合容斥。

设参加培训的总人数为x，代入三集合容斥原理拓展2公式，17+16+14-2x/3-2=x，得x=27。

故本题答案为B选项。

【练习3】针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，
5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20
B.18
C.17
D.15
【秒选公式】题目中出现“8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山”关于两项排比式描述，应选标准型。

【答案】A
【解析】本题考查三集合容斥原理。

根据三集合标准型公式得，至少喜欢一个景点的人数为28+30+42-8-10-5+3=80，则不喜欢任何一个的人数为20人。

故本题答案为A选项。