求线性规划问题的最优解

求线性规划问题的最优解：

121212123

max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪

≤⎪⎨

≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。（P15 图1-3）

方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。（P14表1-1）

方法3：单纯形法。

第一步，将模型转化为标准型。

12345

123142512345

max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3)

,,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004*********A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭ 秩A=3 第二步，求初始基可行解。

取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，

令12

=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =

第三步，对初始基可行解()(0)

0,0,12,16,15X =进行最优性检验。

基可行解()(0)

0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或

者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行

解()(0)

0,0,12,16,15X

=不是最优解。

第四步，作基变换，求目标值比(0)

0z =更大的基可行解。

① 确定换入基变量。由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，

{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。

2 x 作为换入基变量。这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。

② 确定换出基变量。2 x 作为换入基变量，1x 仍为非基变量，下面确定另一个非基变量，由方程组（1）（2）（3）得到

312

41

5212345

1222 164 15 5,,,,0

x x x x x x x x x x x x =--⎧⎪

=-⎪⎨

=-⎪⎪≥⎩令10,x =且345,,0x x x ≥得到32452 1220 16 0 1550

x x x x x =-≥⎧⎪=≥⎨⎪=-≥⎩，解不等式得到2

12

15min ,,32

5x R ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭。

当2

3x <时，345,,0x x x >，345,,x x x 都不能作为非基变量，但345,,x x x 中必须有一个被换出来

作为非基变量，我们注意到当23x =时，3450,0,0x x x >>=，说明5x 可以作为非基变量。

③ 求目标值更大的基可行解。

由①②知，新的基可行解中234,,x x x 是基变量，15,x x 是非基变量，注意方程组（1）（2）

（3）中

34,x x 的系数列向量已经是单位矩阵的第一列和第二列，2x 的系数列向量应变换为单位矩

阵的第三列，而方程组只能是恒等变形，所以让第三个方程1

5

⨯，然后让第三个方程()2⨯-再加到第

一各方程上，可得到下列与（1）（2）（3）等价的方程组

12

1

351425

12345

max 02322 6 (1)5

4 16 (2)1 3 (3)

5,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x =++⎧

'+-=⎪⎪

'+=⎪⎨

⎪'+=⎪⎪≥⎩ 令

150,x x ==得到新的基可行解()(1)0,3,6,16,0X =，目标值(1)20339z =⨯+⨯=

第五步，对基可行解()(1)

0,3,6,16,0X =进行最优性检验。

将目标函数用非基变量

15,x x 表示，

215151155151333233929, 20,0

555z x x x x x x x σσσσ⎛

⎫==+-=+-=++=>=-< ⎪⎝

⎭因为5x 的检验数5305

σ=-<，故5x 从非基变量取0变为大于0，不会使得目标函数值增大，反而更小，但是1x 的检验数120σ=>，故1x 从非基变量取0变为大于0，目标函数值还可以增大，故

基可行解()(1)

0,3,6,16,0X

=仍然不是最优解。

第六步，作基变换，求目标值比(1)

9z =更大的基可行解。

① 确定换入基变量。由第五步可知，只有120σ=>，即1x 是换入基变量， ② 确定换出基变量。1 x 作为换入基变量，

5x 仍为非基变量，下面确定另一个非基变量，由方程组

(1)(2)(3)'''得到

31541

2512345

2 62 5 164 1

3 5

,,,,0x x x x x x x x x x x x ⎧

=-+⎪⎪=-⎪⎨

⎪=-⎪⎪≥⎩令50,x =且342,,0x x x ≥得到31412 620 1620 3 0

x x x x x =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪=≥⎩，解不等式