对称性的利用

X3
X1
X2
3次超静定结构
选用成对未知力--广义力 作为力法多余未知力
X1=1
X2=1
X3=1
M1
M2
观察3个图形，容易得出： 12 21 0
M3
23 32 0
13 31 0
力法方程
2111XX11
12 22
X X
2 2

13 X 3 23 X 3
对称性的利用
一、对称的概念
1. 结构的对称(几何、质量、刚度)
2. 荷载的对称
对称结构
正对称荷载
二、利用对称性的目的
反对称荷载
取半结构，降低超静定次数，即，降低力法方程的阶数。
三、取半结构的方法
1. 选成对的多余未知力使力法方程自然分组
多余未知力选为对称力（正对称或反对称）就可以 把对称未知力分为两个方程组。其中，正对称未知力一 组，反对称未知力一组，方程组得到降阶。

X3 X3

1P 3P

0 0
2. 对称荷载作用下的半结构
1） 正对称荷载，选用成对未知力
X1=1
X2=1
MP X3=1
M1
M2
M3
观察4个图形，容易得出： 2P 0 1P 0 3P 0
选用成对未知力作为力法多余未知力时
22 X 2 2P 0
3111
例题9
对称性的利用---取半结构举例
P/2 P/2
反对称轴
P/2
P/2
P/2 P/2
P/2
P/2
例题1
3m
56 kN
3m 3m 3m
28 kN
28 kN 28 kN
28 kN
例题1 28 kN
28 kN
28 kN 66 kNm 半结构弯矩图
例题1 28 kN
28 kN
28 kN
半结构弯矩图 63/2 kNm
四、构造对称荷载
当给出的对称结构的荷载不对称时，可构造对称 荷载，再取半结构。例如
P
P/2
P/2
= P/2
P/2 +
非对称荷载
反对称荷载
正对称荷载
五、构造成对未知力
P
按力法，为两次超静定结构，
取X1 ，X2 为多余未知力。显 然，X1 ，X2不是对称未知力 （正对称或反对称）。可如下 X1
构造：
X1/2 X1/2
例题1
18 66
66/2 18 97.5
34.25
例题2 2a 2a
4P
其余为EI
2EI
2EI
4a
例题2
6次超静定结构，先取1/2结构 4P
P 此杆等价无限刚性
P
等价于 2P
例题2 2P
Fra Baidu bibliotek
再取半结构
再取半结构
P
P/2
P/2
例题2
Pa/2
Pa/2 Pa
Pa/2 Pa/2 Pa Pa/2 Pa/2
例题9 P
对称性的利用---取半结构举例
P
P/2 P/2 P/2 P/2
= P/2 P/2 P/2 P/2
+
P/2 P/2 P/2
P/2
P/2 P/2 P/2
P/2
例题9
对称性的利用---取半结构举例
P/2 P/2 P/2 P/2
P/2 P/2
P/2 P/2 P/2 P/2 正对称轴
P/2 P/2
你能继续吗？？
例题6 q
对称性的利用---取半结构举例
q
例题7 P
对称性的利用---取半结构举例
P P
例题8 P
对称性的利用---取半结构举例
P/2
=
+
P/2 正对称荷载
P/2
P/2 反对称荷载
P/2 对称性的利用---取半结构举例
P/2
P/2 正对称荷载
P/2
P/2 反对称荷载
P/4
P/2
P
P
EI
2EI EI
EI
EI
反对称荷载
半结构
正对称荷载
半结构
例题2 P
对称性的利用---取半结构举例
P P
例题3 P
对称性的利用---取半结构举例
P
P
例题4
对称性的利用---取半结构举例
P
P
EI=常数 P
例题5
对称性的利用---取半结构举例
P EI
2EI 2EI
P 2EI EI
EI P
2EI EI
式子中， Y1=（X1+X2）/2 Y2=（X1 - X2）/2
X2/2 - X2/2
Y1
Y2
X2 X2/2 X2/2
X1/2 - X1/2
Y1
Y2
即，
M
图、
1
M
图如下作出
2
Y1
Y1
M1
Y2
Y2
M2
例题1 2P
EI
P
对称性的利用---取半结构举例
2EI
EI
=
P
+
半结构：
对称性的利用---取半结构举例
X1=1
X2=1
MP X3=1
M1
M2
观察4个图形，容易得出： 2P 0
M3
1P 0 3P 0
观察4个图形，容易得出： 2P 0 1P 0 3P 0
选用成对未知力作为力法多余未知力时
22 X 2 2P 0
3111

X1 X1
13 33

X3 X3

1P 3P

0 0
这样，X2不等于零，X1=0、X3=0
即，在对称截面上，轴向和弯矩两个约束力为零，剪切方向约束 力不等于零。
如果多余约束力用支座约束代替，可把原结构等效为下列结构。
反对称荷在作用在对称结构上
半结构图
结论：对称结构在选用对称的未知力作为力法的多余未知力时， 1．正对称荷载作用下，只须计算正对称未知力，反对称未知力为零。 2．反对称荷载作用下，只须计算反对称未知力，正对称未知力为零。 3．取半结构时，以支座约束等效非零未知力。（约束要符合约束力）

1P 2P
0 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
可见，X2可由方程2 独立求出； X1，X3由方程1、3 联立求出
结果：原3元一次方程化为两个低阶方程
22 X 2 2P 0
3111

X1 X1
13 33

X1 X1
13 33

X3 X3

1P 3P

0 0
这样，X2=0，X1、X3不等于零
即，在对称截面上，有轴向和弯矩两个约束力，剪切方向 约束力为零。
若多余约束力用支座约束代替，则可把原结构等效为下列结构。
正对称荷在作用在对称结构上
半结构图
2） 反对称荷载，选用成对未知力