函数的极限与洛必达法则练习题

求极限的方法总结及例题

求极限的方法总结及例题求极限是微积分学探究函数变化规律的基础，也是微积分学最重要的概念之一。

在求极限的运算中，由于函数的特殊性，其结果有可能是一个常数、一个变量或者无穷大，因此，求极限的计算要建立在对偏导数的理解和计算上，即在计算极限之前，首先要掌握偏导数的概念和计算方法。

一般来说，有三种常见的求极限方法：1、基本形式求极限；这种方法是指函数表达式本身具有特定性，可以用固定的简单运算公式直接求出极限值。

例如：当x趋向于0时，lim x→0 (1-cosx/x2)= 1/22、恒等式转换求极限；这种方法是指通过给出函数的形式进行合理的变换，从而使函数表达式转换成可以直接求出极限值的公式，从而解决函数求极限的问题。

例如计算：lim x→0(sin2x/x)可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。

3、洛必达法则求极限；洛必达法则是指在求函数极限时，可以根据函数的性质将原函数转换成另外一组函数，从而推出极限结果。

例如：计算：lim x→∞ (1+1/x)x可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上所述就是求极限的三种常见的方法。

接下来，我们就以例题来试验一下这三种方法的使用。

例题1：求lim x→0 (sin2x/x)解：由上文所述，这种情况应使用恒等式转换求极限：可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。

例题2：求lim x→∞ (1+1/x)x解：这种情况应使用洛必达法则：可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上就是求极限的三种方法总结及例题分析。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。

7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。

8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。

9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。

10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注：它的使用有严格的使用前提。

3-2洛必达法则

a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x，时，
20

ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷小的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式

型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.

求极限的方法和例题总结

求极限的⽅法和例题总结8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以⽤洛⽐达法则。

例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。

例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。

3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。

利⽤两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=?=→→x xx x x x 。

注：本题也可以⽤洛⽐达法则。

例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-?-→=-=-e x x xx xx xxx x例7nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+e n n n n n n n nn n 。

4．等价⽆穷⼩定理2 ⽆穷⼩与有界函数的乘积仍然是⽆穷⼩（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是⽆穷⼩（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。

4-2洛必达法则1211

8
例
tan x ∞ . ( ) 求 lim π ∞ x → tan 3 x
2
sin x ⋅ cos 3 x 原式 = lim π x → cos x ⋅ sin 3 x
2
sec2 x 解原式 = lim π 3 sec 2 3 x x→
2
cos 3 x 0 = −lim ( ) π cos x 0 x→
15
二、其它未定式
1. 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞型未定式
0 ∞ 型关键将其化为洛必达法则可解决的 , 0 ∞ ∞ 1 0⋅ ∞ 型 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ 或 0⋅ ∞ ⇒0⋅ 1 ⇒ 0 ⋅ 0 ∞ ∞ 0
求 lim x − 2e x . ( 0 ⋅ ∞ ) 例
x → +∞
ex ∞ ex ∞ 解原式 = lim 2 ( ) = lim ( ) x → +∞ 2 x ∞ x → +∞ x ∞ ex = lim = +∞ . x → +∞ 2 16
例求 lim x(
x → +∞
π
2
− arctan x ). ( ∞⋅ 0 )
π
解原式 = lim 2
x → +∞
− arctan x
1 x 1 − 2 2 x = lim 1 + x = lim 2 =1 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
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∞−∞ 型
1 1 0 0− 0 ∞− ∞⇒ − ⇒ ⇒ 0 0 0⋅ 0 0
∞ ln sin ax 例求 lim ( ) . x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx a sin bx 解原式 = lim = lim x →0 b cos bx ⋅ sin ax x →0 b sin ax

数学极限特难练习题

数学极限特难练习题1. 计算以下极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]提示：利用洛必达法则或者几何意义求解。

2. 求极限：\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\]提示：识别为自然对数的底数e的定义。

3. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2}\]提示：使用泰勒级数展开或洛必达法则。

4. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\]提示：考虑自然对数函数在x=0处的导数。

5. 计算极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^3 - 5x + 1}提示：将分子分母同时除以分母中x的最高次幂。

6. 求极限：\[\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\]提示：分子可以进行因式分解。

7. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\]提示：使用三角恒等式或洛必达法则。

8. 求极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\]提示：考虑对数函数与多项式函数的增长速度。

9. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}\]提示：分析正弦函数的有界性。

10. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}提示：使用泰勒级数展开或洛必达法则。

数学模拟试卷：函数与极限的定义与运用

2.作出函数f(x) = e^x的图像。
（以下作图题省略，共2道）
##案例分析题（共5分）
给定函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求证f(x)在x=1处取得最小值，并给出证明过程。
#其余试题
##案例设计题（共5分）
设计一个函数，使其在x=0处连续但不可导，并说明理由。
##应用题（每题2分，共10分）
2.设f(x) = x^2，求f'(x) = ______。
3.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x)在[a, b]上______。
（以下填空题省略，共5道）
##简答题（每题2分，共10分）
1.解释函数连续性与可导性的关系。
2.解释函数在一点处导数的定义。
3.解释夹逼定理的内容及应用。
#其余试题
##案例设计题（共5分）
设计一个函数f(x)，使得f(x)在x=0处连续但不可导。例如：f(x) = |x|，证明f(x)在x=0处连续但不可导。
##应用题（每题2分，共10分）
1.已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，并找出驻点。驻点为f'(x)=0的解，即x=1和x=3。通过二阶导数测试，我们可以判断f(x)在x=1处为局部极大值，x=3处为局部极小值。
##判断题（每题2分，共10分）
1.函数在某一点的左导数等于右导数，则该点处一定连续。（）
2.若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。（）
3.在一个无穷小量与有界函数的乘积中，当x→∞时，无穷小量起主导作用。（）
（以下判断题省略，共5道）

高数极限经典60题分步骤详解

高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。

为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。

具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。

我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。

然后求出极限即可。

具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。

+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。

+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。

洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则巧解高考压轴题洛必达法则：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

00型法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

∞∞型注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

○2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

典例剖析例题1。

求极限（1）xx x 1ln lim 0+→ (∞∞型) （2）lim x ®p 2sin x -1cos x (00型) （3） 20cos ln lim x x x → (00型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型)变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22)2(sin ln lim x x x -→ππ例题2。

已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2（1）当1-=m 时，求)(x f 在[]1,2-上的最小值（2）若)()2('2x f x m x >++在()0,∞-上恒成立，求m 的取值范围例题3.已知函数)0(,)(>++=a c xb ax x f 的图像在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y ，（1）用a 表示c b ,（2）若x x f ln )(≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值范围例题4.若不等式3sin ax x x ->在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 是恒成立，求a 的取值范围例题5.已知2)1()(ax e x x f x --=（1）若)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围强化训练1. 设函数x e x f -1)(-=（1）证明：当1->x 时，1)(+≥x x x f 。

洛必达法则问题

洛必达法则问题一、洛必达法则的概念.洛必达法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a 时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a 的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a 时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a 时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N 时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

二、洛必达法则适用求什么样未定式的极限?利用洛必达求极限，是处理未定式极限问题的有力手段。

但在具体应用时应注意：（1）要验证题目是否符合洛必达法则的条件，确定属于00型或∞∞型未定式方可应用洛必达法则，并且每一次使用都要验证。

（2）对于其他类型的未定式∞-∞∞⋅,0， 00,1,0∞∞可以用代数变换或对数变换将其转化为型或∞∞型未定式，再用洛必达法则。

（3）在计算未定式极限问题时，洛必达法则不一定是最简单的方法，更不是万能的方法，应该注意与其他方法的结合，如利用重要极限，等价无穷小替代。

（4）利用洛必达法则得出的极限不存在，不能说明原极限不存在，此时应考虑用其他方法。

0型和∞∞型未定式极限若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限()lim()x af x F x →可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型). 设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ;(3) ()lim()x a f x F x →存在(或无穷大),则)()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则证明: 定义辅助函数⎩⎨⎧=≠=a x a x x f x f ,0),()(1, ⎩⎨⎧=≠=a x ax x F x F ,0),()(1 在),(δa U ︒内任取一点x , 在以a 和x 为端点的区间上函数)(1x f 和)(1x F 满足柯西中值定理的条件, 则有)()()()()()(a F x F a f x f x F x f --= )()(ξξF f ''=, (ξ在a 与x 之间)当0→x 时,有a →ξ, 所以当A x F x f a x =''→)()(lim , 有AF f a =''→)()(lim ξξξ故AF f x F x f a a x =''=→→)()(lim )()(limξξξ.证毕求x x x tan lim0→, (00型)解原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim 20=→x x 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型)解原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23求 x x x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解原式=22111lim x x x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 说明: 如果)()(limx F x f a x ''→仍属于00型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(limx F x f x F x f x F x f a x a x a x∞∞型未定式极限当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有)()(lim)()(limx F x f x F x f x x ''=∞→∞→;∞→x 时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则; 洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型).解原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim0⋅⋅→= ax bx x cos cos lim0→=1求 x xx 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解原式=xxx 3sec 3sec lim 222π→=xx x 222cos 3cos lim31π→=xx x x x sin cos 23sin 3cos 6lim312--→π= xxx 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim2=→xxx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.求x x x x x tan tan lim20-→解原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31三、使用洛必达法则的关键是什么？利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。

用洛必达法则求下列极限(学习资料)

x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
习题 32 1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x) x0 x (2) lim e x ex x0 sin x (3) lim sin x sin a xa x a (4) lim sin 3x x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
x x0
x0
2 验证极限 lim x sin x 存在但不能用洛必达法则得出 x x
知识类+
3
解 lim x sin x lim (1 sin x) 1 极限 lim x sin x 是存在的
x x
x
x
x x
但 lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x) 不存在不能用洛必达法则
x
x x 1
x
1
x x a x 1
x
x2
所以
lim (1
a)x
lim
x ln(1 a )
ex
ea
x
x
x
(15)因为 lim xsin x lim esin xln x
x0
x0
1
而
lim sin x ln x lim ln x lim
x
lim sin 2 x 0
x0

数学分析—极限练习题及详细答案教学文稿

数学分析—极限练习题及详细答案一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.1 1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.02.【答案】 B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.1223331233200311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim 1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

考研数学一函数极限连续模拟试卷17_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷17(总分70, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设f'(x)为连续函数，下列命题正确的是( )SSS_SINGLE_SELA 如果f'(x)是周期函数，则f(x)也一定是周期函数。

B 如果f'(x)是增函数，则f(x)也一定是增函数。

C 如果f'(x)是偶函数，则f(x)一定是奇函数。

D 如果f'(x)是奇函数，则f(x)一定是偶函数。

该问题分值: 2答案:D解析：取f'(x)=sinx+1，则f'(x)是周期函数，但f(x)=一cosx+x不是周期函数，排除A。

取f'(x)=2x+2，则f'(x)在(一∞，一1)上是增函数，但f(x)=x 2 +2x在(一∞，一1)上不是增函数，排除(B)。

取f'(x)=x 2，则f'(x)是偶函数，但f(x)= x 3+c(c≠0)不是奇函数，排除(C)，故应选D。

2.设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时f(x)与g(x)为等价无穷小量，则当x→0时，∫0x f(t)(1一cost)dt是∫x t 2 g(t)dt的( )SSS_SINGLE_SELA 等价无穷小量。

B 同阶但非等价无穷小量。

C 高阶无穷小量。

D 低阶无穷小量。

该问题分值: 2答案:B解析：即∫0x f(t)(1一cost)dt与∫x t 2 g(t)dt是x→0时的同阶但非等价无穷小量，故应选B。

3.设=2，则( )SSS_SINGLE_SELA a=1，b=一。

B a=0，b=一2。

C a=0，b=一。

D a=1，b=一2。

该问题分值: 2答案:A解析：根据洛必达法则，4.极限=( )SSS_SINGLE_SELA 1。

B e。

Ce a—b。

De b—a。

该问题分值: 2答案:C解析：5.设f(x)=，则f(x)有( )SSS_SINGLE_SELA 1个可去间断点，1个跳跃间断点。

第3章中值定理与洛必达法则习题集及答案

第三章习题一中值定理与洛必达法则一．选择题1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）（A ）123)(2+=x x f ，]1,1[-；（B ）x xe x f -=)(，]1,0[；（C ）⎩⎨⎧≥<+=1112)(x x x x f ，，，]1,1[-；（D ）||)(x x f =，]1,1[-．2．x y sin ln =在闭区间]65,6[ππ上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结果成立的=ξ（ A ）（A ）2π；（B ）32π；（C ）65π；（D ）6π．3．函数)1ln()(x x f +=在]1,0[-e 上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ C ）（A ）e ；（B ）1-e ；（C ）2-e ；（D ）1．4．若函数)(x f 在区间),(b a 内可导，1x 和2x 是区间),(b a 内的任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ C ）（A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，其中b a <<ξ；（B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ，其中b x <<ξ1；（C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中21x x <<ξ；（D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ，其中2x a <<ξ． 5．能用洛必达法则求下列极限的是（ B ）（A ）4314lim21-+-→x x x x ；（B ）x x xx x ln ln lim ++∞→；（C ）xx x x sin 1sinlim 20→；（D ）x x x x x e e e e --+∞→+-lim ．二．填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 恰有 2 个实根．2．=++∞→)3ln()31ln(lim 42x x x 0.5 ． 3．=+→xxx cot ln lim 0 0 ． 4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11ln 1lim 1x x x 21． 5．=-→212)2(tan lim ππx x x e ． 6．=++→1ln 100)(sin limx x x e ． 7．=+→x x x sin 00)(cot lim 1 ．三．计算题1．求)sin 4cos 4csc (lim 30xx x x x x -→．解：原式x x x x sin 4cos 1lim 30-=→2304cos 1lim x x x -=→xxx x 8sin cos 3lim 20→= x x 20cos lim 83→=x x x sin lim 0→⋅83=． 2．求20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：原式201sin lim x x e x x --=→x x e x x 2cos lim 0-=→2sin lim 0x e x x +=→21=． 3．求3arctan sin limx x xx →-解：原式330330033003300arctan sin limarctan sin lim lim tan sin lim lim tan tan sin lim lim 113616x x x y x y x x x x xx x x x x x x x y y x x y x y y x x y x →→→→→→→--=+--=+--=+--=+=-+=-4．求222cos 40lim x xx e e x -→- 解：原式222cos 22cos 41limxxxx e e x -+-→-=222cos 22cos 4240301lim lim22cos 1lim22sin lim 42146112xxxx x x x e ex x xx x x x -+-→→→→-=⋅-+=⋅-==⋅=5．若0)(6sin lim30=+→xx xf x x ，求20)(6lim x x f x +→．解：2)(6xx f +Θ3)(6x x xf x +=3)(6sin xx xf x +=36sin 6xxx -+ 而0)(6sin lim 30=+→xx xf x x ， 306sin 6lim x x x x -→2036cos 66lim x x x -=→206cos 1lim 2x x x -=→220)6(21lim 2xx x →=36= 20)(6limx x f x +∴→++=→30)(6sin lim x x xf x x 306sin 6lim x x x x -→36=．6．设)(a f ''存在，求)]()()([1lim 0a f xa f x a f x x '--+→．解：原式)(212)()(lim )()()(lim 020a f x a f x a f xa f x a f x a f x x ''='-+'='--+=→→．四．证明题1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==。

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。

通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。

例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。

3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。