数学建模实验报告

西安邮电大学

数学建模实验报告

最优捕鱼策略

投资的收益与风险问题

姓名: 学号:

江荣吉 04123049

周伟 04123040

张煜 04123043

计算机学院

软件工程

问题阐述

生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。考虑具有4个年龄组：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：

1、各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量为5.07,11.55,17.86,22.99（单位：g）；

2、1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为5

⨯

1.10910（个），3龄鱼为其一半；

3、卵孵化的成活率为1111

⨯⨯+（n为产卵总数）

1.2210/(1.2210)n

有如下问题需要解决：

1、分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；

2、合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.1， 3.29 （9

⨯条），在固

10

定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。

（二）模型假设

1．鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程。2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。

3．1、2龄鱼体形太小，不能被捕。

4．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵

5．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼

（三）模型的建立

3.1问题分析

自然死亡率的理解：

本题中给出的鱼的自然死亡率是指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，它与环境等其它外在因素无关；这是一个有量纲的量，它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率，实际上它是百分比率的变化率。

它应该理解为以每年死亡80%的速率减少，并不是在一年内恰好死亡80%。另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足：

()1,2,3,4;i )

(=-=，t rx dt

t dx i i )1( ● 捕捞强度系数的理解：

捕捞强度系数是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例系数，单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，捕捞强度系数是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，捕捞强度系数k 影响了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化：

,42.0,34k k k k ==则设

则有

4,3),()()

(=+-=i t x k r dt

t dx i i )2( ● 卵的成活率的理解：

1，2龄鱼不产卵，3，4龄鱼在每年的后四个月产卵，我们假设了在9月初一次产卵，因此可将每年的产卵量n 表示为：

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+⨯⨯=)32()32(5.010109.1435x x n )3(

龄鱼的数量为：

，所以每年初题中有成活率为：11022.11022.11111

n +⨯⨯ ()n n x +⨯⨯=1111

11022.11022.1*0

3.2 模型的建立

4.2.1 问题一模型

1．由4.1.1中对自然死亡率的理解中的（1）式，可知1，2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响，由此可知1，2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）：

4,3,2,1,=-=i rxi dt

dxi

龄鱼的数量为每年年初可得：i ,)(00x e x t x rt i -= )5(

T 年的i 龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，

)()1(1T x e T x i r i -+=+则有： )6(

2．而对于3，4龄鱼的生长，在前八个月，他们的生长不仅受自然生长率的影响，还受捕捞强度系数的影响，而后四个月仅受自然生长率的影响。

我们以一年为一个时间单位，则这一时间单位可以分为两个阶段，捕捞期占2/3,产卵期占1/3.

则

○

1. 前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足： 4,3)(=+-=i x k r dt

dx i i i

)7(

龄鱼的数量为每年年初，可得：i )(0)(0x e x t x t k r i i +-= )8(

由于每年的捕捞只在1到8月进行，并且只能捕到3，4龄鱼，所以任意一个时刻的捕捞量为)(t x k i i ，则年捕捞量为：

⎰

+--+=320

)(32

0)1()(r k i i

i i i e x r

k k dt t x k )9(

○2. 后四个月3、4龄鱼生长的微分方程满足方程（1）：

4,3,2,1,=-=i rxi dt

dxi

龄鱼的数量为每年年初可得：i ,)(00x e x t x rt i -= )10(

)(3

2

4)42.0(3

2

35.0k r k r e

mx e mx n +-+-+=其中产卵量 )11(

n

+=1111

10*22.110*22.1ε又孵化存活率 (12)

所以年初1龄鱼的总量)()1(1T n T x ε=+ )13(

3．根据以上分析，我们可以建立非线性规划模型：

⎰⎰+=320

320

4433)(99.22)(86.17max dt t x k dt t x k

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====+=+-+---+-+-)1(5.0)32()342.0*3

2(42321)(324)42.0(3

23r k r k r r

r k r k e e

n x ne x ne

x n x e mx e

mx n εεεε )(8.0)

(11t x dt

t dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯1111

1022.11022.1