用焦利氏秤测量弹簧的有效质量

用焦利氏秤测量弹簧的有效质量
实验目的：
1.测定弹簧的倔强系数；
2.学会用焦利氏称测量弹簧的有效质量；
3验证振动周期与质量的关系。

实验仪器：焦利氏秤及附件、天平、秒表或数字毫秒计。

焦利氏秤实际上就是弹簧秤。

但一般的弹簧秤，弹簧的上端固定不动，在弹簧下端挂重物时，弹簧则伸长，物体重量可由指针所指示的标尺直接标出。

而焦利氏秤上的弹簧是挂在可以上下移动的有刻度的管子上的，管外面套有外管，外管上有游标，旋转旋钮即可使管上下移动。

在外管上，有夹子，夹子中央有带标线的短玻璃管，弹簧下端挂一细金属杆，金属杆中部有一长形小镜，镜中央有一刻痕，金属杆从玻璃管中通过，在金属杆的下端可挂砝码托盘与钢丝码。

当上下移动管，使细金属杆上镜子的标线和玻璃管上的标线在镜中的像三者重合（以后简称三线重合）时，相当于弹簧秤对准零点，零点的读数可由管的刻度和外管上的游标读出。

如果我们在砝码托盘上加X克砝码，弹簧伸长了某一长度，细金属杆上镜中的标线即向下移动，此时三线不再重合。

转动旋钮使管向上移动，因而细金属杆也随之向上移动。

当三线又重合时，在管及管的游标上可读出第二个读数，该读数与第一个读数这差就是弹簧在增加X克重量时所伸长的长度。

图2-1 焦利氏秤实验装置
实验原理：
在弹性限度内,弹簧的伸长x 与所受的拉力F 成正比,这就是胡克定律:
kx F =，mg F = 其中m 为砝码的质量，g 为重力加速度。

则 x
mg
x F k =
=
（1） 比例系数k 就是弹簧的倔强系数。

被拉伸后伸长为x 的弹簧，其弹性恢复力为kx -，“-”表示恢复力指向弹簧平衡位置。

一个质量为m 的物体系在弹簧的一端，在弹簧的弹性回复力作用下，如果略去阻力，则物体作简谐振动。

在不考虑弹簧自身的质量时，其周期
k
m
π
2=T （2） 如果考虑弹簧的有效质量0m ,则弹簧、物体系的振动周期为
k
m m 0
2+=T π
（3） 实验内容和步骤：
一．测量弹簧的倔强系数
1．安装仪器如图（1），但此时不要放上烧杯及钢丝码而是在小金属杆下只挂小砝码盘，调节三脚架上的螺旋，使管竖直（即金属杆恰在玻璃管的正中），转动旋钮，使三线重合，记下此时游标的读数0x 。

2．置0.5克砝码于盘中，转动旋钮，使仍保持三线重合，记下游标读数1x ，此读数与0x 之差即为弹簧下加0.5克重量时弹簧的伸长量。

3．按上步骤依次加1克,1.5克,…4.5克砝码,每加依次砝码后均保持三线重合，记下游标的读数2x …9x 。

在将砝码依次减少0.5克，每加依次砝码后均保持三线重合，记下游标读数9x …0x 。

分别求出两次测量的平均值0x ，
1x ，…9x 。

4． 算出弹簧的平均的弹性系数K 。

（各数据填入报告中）
5．用逐差法处理数据
将0x ，1x …9x 共十项分成两组，使对应的两项相减i i x x -+5，其值x δ即为m 5 的砝码的伸长量。

然后求其平均值x δ，于是x
mg
k δ5=， 二检验弹簧振子振动周期与m 的关系
焦利氏秤的弹簧k 较小，加不多砝码就有较大伸长，因此，弹簧自身的有效质量
m 与所加砝码相比不能略去。

将（3）式写成
()()012'2
0'22
44m m m M k
m m k +++=+=T ππ （5）
1m 、2m 、M 分别为细杆，砝码托盘和砝码的质量。

加不同质量砝码i M ，测得i T ，均应满足上式。

1、测出不同i M 下的i T 。

测i T 时每次测20个周期的时间t ，重复测量3次，求其平均值填入表2。

设i M 为0克，0.5克，1.0克，……，4.5克。

有
()
012'2
2
4m m m k ++=T π
()1
'2
012'22
1
44M k m m m k ππ+++=T
(6)
()9'2
012'22
9
44M k
m m m k ππ+++=T
2、求弹簧的有效质量
令012'm m m m ++=，将（6）式改写为
'
1.2
204m k =T π
'
212
214m M k =-T π
（8） …………………………………
'
992
294m M k =-T π
将k 及i M 代入求得i m '，再计算
)(9
1921'+⋯⋯+'+'=
'm m m m 再用天平测量1m 、2m ，就可以得到弹簧的有效质量
21'0m m m m --= （9）
实验数据：
表三 数据处理：
2.562
2.561.562''0'00=+=+=x x x mm
同理：3.711=x mm ； 5.862=x mm ； 4.1013=x mm ； 8.1164=x mm ；
8.1315=x mm ；8.1466=x mm ；6.1617=x mm ； 7.1768=x mm ； 3.1929=x mm
()()()()()
)
(4.755
6.755.751.753.755.7550
516273849
mm x x x x x x x x x x x =++++=-+-+-+-+-=
δ
32.0104.758.9105.0553
3=⨯⨯⨯⨯==--x
mg k δN/m
()()
012'2
0'22
44m m m M k
m m k +++=+=T ππ
58.02032.151.150.1520*32
2
'''0''0'02
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=T t t t 2
s 同理：61.021=T 2s ； 67.022=T 2s ； 74.023=T 2s ； 81.02
4=T 2s ；
86.02
5
=T 2s ； 92.02
6
=T 2s ； 98.027=T 2s ； 04.12
8=T 2s ；
12.12
9=T 2s
g M k m 706.410706.4014
.3458
.032.0432
0220'
0=⨯=-⨯⨯=-T =-π 同理 g m 449.41='；g m 436.42='；g m 504.43='；g m 572.44='
g m 478.45='；g m 465.46='；g m 452.47='；g m 438.48='
g m 588.49='
g m 509.4588.4438.4452.4465.4478.4572.4504.4436.4449.4706.4101=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++=
'平均值'
m 的标准偏差()
()
11
2
'
''--=
∑=n n m m
n i i
i
m σ
()()()()()()()()()()()
11010509.4588.4509.4438.4509.4452.4509.4465.4509.4478.4509.4572.4509.4504.4509.4436.4509.4449.4509.4706.42
222
222
222--+-+-+-+-+-+-+-+-+-=
g 028.0=
g m m m m 109.2073.1327.1509.421'0=--=--=
结果表达：=k 0.32N/m
()g m 028.0109.20±=
心得体会：
由于弹簧的倔强系数很小，所以不能用力拽弹簧，放的砝码质量也不能过大。

在使用焦利氏秤测量时要注意保持“三线重合”，并且在测量周期时，为了便于观察记录，可以将镜面的一端设为出始位置，为防止弹簧与镜面接触而影响实验，应将弹簧尽量向外调节。

由实验还可知道弹簧的周期与所加砝码质量成正比，通过查找得出圆锥形弹簧的有效质量可以根据下面公式进行计算：
)
1()1()1(21
)1(31)1(10122242
864100βββββββ---+---=m m
其中大
小R R =β，当1=β时，取极限值得m m 3
10=，即弹簧的有效质量应该近似等
于弹簧质量的31。

本实验中弹簧的有效质量0m =g m 066.3198.93
1
31=⨯=，而实
际计算得到的=0m 2.109g ，误差主要体现在秒表的读数误差、弹簧初始位置的不一致以及弹簧作简谐运动时与镜面的摩擦等造成的。

本实验本身不难，做实验时只要细心点，掌握大体操作步骤很快做好，不难得到一组好的数据。

关键是写好试验报告，数据处理选用作差法。

通过做本设计性实验，学会了如何设计一个完整实验，基本了解好掌握了焦利氏秤的操作。

了解了弹簧质量和有效质量的联系和区别，也加强了自己的动手能力。

体会最深的就是写这份实验报告，每次以为自己做好了，到老师那一看总是出现一大堆的毛病，从中做事知道细心才是关键。