上海市金山中学2021届高三下学期第一次月考数学试题
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2020学年第二学期阶段性测试试卷
高三数学学科
考试时间:120分钟满分:150分
一、填空题:(1~6题每题4分,7~12题每题5分,满分54分)
1.函数sin 2cos 2f x x x =+()的最小正周期为_______. 2.23lim 25n n n →+∞
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
__________. 3.化简:cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
___________. 4.1a x =-(,)
与2b x =-(,)平行且方向相同,则x =___________. 5.()21log f x x =-,设()1
f x -是()y f x =的反函数,则()13f --=________.
6.复数()312m m i
z i
+-=
-的实部与虚部互为相反数,则实数m =________.
7.直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=:是平行直线,则实数a =________.
8.已知P 、Q 在不等式组002203260
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内,则线段PQ 的长的最大值为______.
9.()2
1,<0
lg ,1
x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩,则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______.
10.若()1n
x -的二项展开式中,存在相邻两项,满足后一项的系数是前一项系数的2倍,12020n ≤≤,则这样的正整数n 有________个.
11.若正实数x ,y 满足22x y xy +=,且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 12.ABC 内角和我们可以这样理解:一根可自由伸缩的棍子(不考虑它的长度,棍子的一端有箭头),从状态1(与AB 重合)绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2(与AC 重合),再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3(与CB 重合),最后绕点B 逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4,棍子回到了与
AB 重合的状态,棍子逆时针转了半圈(棍子两端已互换),因此得到旋转量之和
180A B C ∠+∠+∠=︒.
给出下列多边形中的8个角:1
2,...,8∠∠⋯∠,(如图标注),根据你对上述阅读材料的理解,请你建立这8个角的一个等量关系,则等式为___________.
二、选择题:(共4小题,每题5分,满分20分)
13.对于实数x 、y ,“22
0x y +=”是“0xy =”的( )
A .充分非必要条件
B .必要非充分条件
C .充要条件
D .既非充分又非必要条件
14.现有7名队员,3名老队员(2男1女)和4名新队员(1男3女),从中选出1男2女队员参加辩论比赛.要求其中有且仅有1名老队员,则不同的( )
A .8种
B .9种
C .10种
D .11种
15.抛物线2
4y x =的焦点为F ,过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,则4AF BF +的最小值为( ) A .8 B .9 C .10 D .11
16.棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -,在11ADD A 装上一块玻璃(不计玻璃厚度),E 为线段1AD 上一点,12AE ED =,从1B 处射出一光线经玻璃反射(反射点为E )到达平面11CDD C 上某点P ,则PE 的长为( )
A B C D .三、解答题:(共5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
已知函数()f x =
的定义域为集合A ,集合624x B x
x -⎧⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
.
(1)若0a =,求A B ⋂; (2)若R
A B
⊆
,
求实数a 的取值范围.
18.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
已知()()()()21
cos 02
f x x x ωωω=-
>的周期为π. (1)将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<,,形式; (2)在ABC 中,a ,b ,c 分别是A B C ∠∠∠,,的对边,若12A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,
且ABC 外接圆半径为1,2b c =,求边c 的大小.
19.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,AP PD ⊥,CD ⊥平面APD .
(1)求证:AP PC ⊥;
(2)若24AB BC PA PC ===,,,求BP 与平面ADP 所成角的大小. 20.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
已知在平面直角坐标系中,圆2
2
:4O x y +=,桶圆()22
2:
1024x y b b
Γ+=<<.
(1)若椭圆的焦距为2,求b 的值; (2)若过原点O 倾斜角为
4
π
的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点,从左至右分别记为A 、B 、C 、D ,若
AB BC CD ==,求b 的值;
(3)若1b =,直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点,2l 交圆O 于点E 、F ,求EFO 的面积