上海市金山中学2021届高三下学期第一次月考数学试题

2020学年第二学期阶段性测试试卷

高三数学学科

考试时间：120分钟满分：150分

一、填空题：（1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）

1．函数sin 2cos 2f x x x =+（）的最小正周期为_______． 2．23lim 25n n n →+∞

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

__________． 3．化简：cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫

+++=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

___________． 4．1a x =-（,）

与2b x =-（，）平行且方向相同，则x =___________． 5．()21log f x x =-，设()1

f x -是()y f x =的反函数，则()13f --=________．

6．复数()312m m i

z i

+-=

-的实部与虚部互为相反数，则实数m =________．

7．直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=：是平行直线，则实数a =________．

8．已知P 、Q 在不等式组002203260

x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪

⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内，则线段PQ 的长的最大值为______．

9．()2

1,<0

lg ,1

x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______．

10．若()1n

x -的二项展开式中，存在相邻两项，满足后一项的系数是前一项系数的2倍，12020n ≤≤，则这样的正整数n 有________个．

11．若正实数x ，y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 12．ABC 内角和我们可以这样理解：一根可自由伸缩的棍子（不考虑它的长度，棍子的一端有箭头），从状态1（与AB 重合）绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2（与AC 重合），再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3（与CB 重合），最后绕点B 逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4，棍子回到了与

AB 重合的状态，棍子逆时针转了半圈（棍子两端已互换），因此得到旋转量之和

180A B C ∠+∠+∠=︒．

给出下列多边形中的8个角：1

2,...,8∠∠⋯∠，（如图标注），根据你对上述阅读材料的理解，请你建立这8个角的一个等量关系，则等式为___________．

二、选择题：（共4小题，每题5分，满分20分）

13．对于实数x 、y ，“22

0x y +=”是“0xy =”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

14．现有7名队员，3名老队员（2男1女）和4名新队员（1男3女），从中选出1男2女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有1名老队员，则不同的（ ）

A ．8种

B ．9种

C ．10种

D ．11种

15．抛物线2

4y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

16．棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，在11ADD A 装上一块玻璃（不计玻璃厚度），E 为线段1AD 上一点，12AE ED =，从1B 处射出一光线经玻璃反射（反射点为E ）到达平面11CDD C 上某点P ，则PE 的长为（ ）

A B C D ．三、解答题：（共5题，满分76分）

17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

已知函数()f x =

的定义域为集合A ，集合624x B x

x -⎧⎫

=>⎨⎬-⎩⎭

．

（1）若0a =，求A B ⋂； （2）若R

A B

⊆

，

求实数a 的取值范围．

18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

已知()()()()21

cos 02

f x x x ωωω=-

>的周期为π． （1）将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<，，形式； （2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若12A f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，

且ABC 外接圆半径为1，2b c =，求边c 的大小．

19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，AP PD ⊥，CD ⊥平面APD ．

（1）求证：AP PC ⊥；

（2）若24AB BC PA PC ===，，，求BP 与平面ADP 所成角的大小． 20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知在平面直角坐标系中，圆2

2

:4O x y +=，桶圆()22

2:

1024x y b b

Γ+=<<．

（1）若椭圆的焦距为2，求b 的值； （2）若过原点O 倾斜角为

4

π

的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点，从左至右分别记为A 、B 、C 、D ，若

AB BC CD ==，求b 的值；

（3）若1b =，直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，2l 交圆O 于点E 、F ，求EFO 的面积