【趣味数学】骰子模型揭开概率统计之谜

骰子模型揭开概率统计之谜
——抽象形象与数形思想
●骰子坦然设局不公
一赌场庄主正在大声吆喝：恭喜发财，骰子可爱，输1元钱，赢100块！这种吆喝还真有效果，围上赌席的赌客还真的不少.
一位中学数学教师对这种赌局也产生了“兴趣”，钻上前去想看个究竟.原来，赌具是三粒骰子：
赌局设计如下：如果同时出现3个6点（即下图）：
则赌客可以赢得庄家的100元！如果不同时出现3个6点（下图为其一种）：
则赌客输给庄家的只是1元钱！
难怪有这么多人参赌的，原来输赢之比竟为1：100！
这位数学教师稍微一想，差点笑了出来! 此时也正好与一个赌客回头相见：“你站在这儿干啥，还不快点押，输一赢百，天下哪有这种便宜事！”
说也奇怪，赌场上还真的有赢100元的人，当然他不一定是押的3个6，也可能押的是3个5，或3个4的，总之都是输一赢百.
数学教师摇了摇头，小声对那位赌客说：“假如我手中现在有216元钱，按这种赌局，在未投下骰子之前，我事先就输子116元！”
那位赌客听不懂这位教师的话，回头又赌去了.
这数学教师对满场的赌客感到遗憾，但又无法说服他们.回家之后，赶紧挥笔，写下这篇奇文——抛掷骰子，揭开概率统计之谜！
●一掷骰子敲开概率之门
投掷一枚骰子后，不论哪一面朝上，都是一个“事件”.
不同的人去投掷这枚骰子，或同一个人多次投掷这枚骰子，结果会不尽相同.所以每次投掷，都是“随机事件”.
投掷一枚骰子的结果，不看也知道：出现的点数必定是1，2，3，4，5，6之一，所以出现1-6点是“必然事件”.
不论什么人投掷这枚骰子，决不会出现1—6以外的点.所以出现这些点都是“不可能事件”.
投掷一枚骰子，有6种不同的结果，每种结果出现的可能性相同，所以又称这样的事件为“等可能事件”.
投掷一枚骰子，既然是等可能事件，所以出现1—6的任何一点，可能性都是1
6
.或者说，出现1—6的任何一点，概率都是
16
. 投掷一枚骰子，既然出现1—6的任何一点，概率都是
16，而且这6个1
6
之和是1，所以必然事件发生的概率是1；出现1—6以外的任何一点都不可能，所以不可能事件发生的
概率是0；而随机事件是既可能发生，也可能不发生，所以随机事件发生的概率总界于0与1之间.
概率学就是研究事物发生的可能性的.我们在今后的社会实践中一定会碰到大量的“事件”，通过“骰子模型”学好了概率论，掌握其基本规律，就能最大限度地避免有害事件，促成有益事件，有应对各种不同事件的强大能力.
● 再掷骰子 认知概率初步
【例1】将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？
【解析】 （1）一枚骰子抛掷一次，骰子向上的点数可以是1，2，3，4，5，6.共6种不同的结果.先后抛掷两次，属于重复排列，故有2
636=种不同的结果.
（2）用数对(),x y 表示先后两次抛掷骰子出现的点数，那么向上的点数之和是5的情况有（1，4）；（2，3）；（3，2）；（4，1）共4种.
（3）由（1）知将骰子先后抛掷2次的基本事件总数为36n =，由（2）知事件A ：其中向上的点数之和是5的事件A 的种数4m =.
故向上的点数之和是5的概率是：()19
m P A n =
=. 【说明】 本例提供了求等可能事件概率的基本方法：
如果一次试验中可能出现的结果有card （I ）=n 个，其中某个特殊事件A 出现的结果有card （A ）=m 个，则事件A 发生的概率
P （A ）=
()1m n
.
公式（1）就是古典概率的基本公式.
链接：一个骰子连续投2 次，点数和为4的概率是 ． 【答案】
112
● 三掷骰子 找到加法公式
【例2】 抛掷骰子一次，（1）出现2点或3点的概率是多少？（2）不出现2点或3点的概率是多少？
【解析1】 （1）设抛掷骰子一次，出现2点或3点的事件为A ，因为基本事件总数n =6，而事件A 的种数m =2.由公式（1）：()21
63
p A =
= （2）设抛掷骰子一次，不出现2点或3点的事件为B ，则B 有1，4，5，6共四种可能.即这时n =6，m =4. 由公式（1）：()42
63
p B =
=.
【解析2】 （1）设抛掷骰子一次，出现2点的事件为A ，出现3点的事件为B ，那么：
()()1,6p A p B ==故出现2点或3点的概率()()()111
663
p A B p A p B +=+=+=.
（2）设抛掷骰子一次，不出现2点或3点的事件为C ，则
()()1211.33
p C p A B =-+=-=
在本例中，抛掷骰子一次，出现2点与出现3点不能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.互斥事件适合概率的加法，即若事件A 与B 互斥，那么
P （A +B ）=P （A ）+P （B ） （2）.
若事件A ，B ，C ，…X 互斥，那么
P （A +B +C +…+X ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）+…+P （X ） （2′）. 抛掷骰子一次，出现2或3点与不出现2或3点也不能同时发生.所以这两个事件也是互斥事件.但抛掷骰子一次，出现2或3点与不出现2或3点又必定有一个发生.这种其中必定有一个发生的事件称为对立事件. 故若记事件A 的对立事件为A ，那么
()()
()1
3P A P A +=.
互斥事件与对立事件的关系：两事件互斥时不一定对立，但两事件对立则一定互斥.也就是说：两事件互斥是它们对立的必要不充分条件.反过来，两事件对立则是它们互斥的充分不必要条件.
链接：从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A ．
929 B ．1029 C ．1929 D ．2029
【分析】 本题不属于“骰子模型”，但很容易将其改造成为“骰子模型”：投掷30枚骰子，
其中有20枚出现奇数点，10枚出现偶数点.从中任取3枚既有奇数点又有偶数点的概率是多少？
【解析1】 （利用互斥事件）不受限制的选法有3
301
C 30292840606
=
⨯⨯⨯=种，选出的3名同学中既有男生又有女生有两种情况，1男2女的选法有12
2010C C 2045900⋅=⨯=种，2男1女的选法有21
2010C C 190101900⋅=⨯=种.这两种情况互斥，故选出的3名同学中
既有男生又有女生的选法共有1900+900=2800种，其概率为280020
406029
P =
=
.选D.
【解析2】 （利用对立事件）不受限制的选法有3
301
C 30292840606
=
⨯⨯⨯=种，选出的3名同学中全为男生的选法有3201
C 20191811406
=
⨯⨯⨯=种，全为女生的选法有3
10C 1
10981206
=⨯⨯⨯=种.故不合条件的选法有1140+120=1260种，其概率为12609406029P =
=.于是选出的3名同学中既有男生又有女生的选法，其概率为20
129
P P =-=，选D.
● 四用骰子 弄明乘法规律
【例3】 回到文首的问题上来，某一家赌场开出的参赌条件是：每人每次出资1元掷骰子3枚，如出现3个6点则奖100元，否则付出的1元归赌主所有.
你认为这条规则公平吗？试简述理由.
【解析】 不妨将投出的3枚骰子编号为1，2，3.
显然第1枚骰子出现6点的概率是1
6
；在第1枚骰子出现6点的条件下，第2枚骰子出现6点的概率也是
1
6
；在1，2号骰子都出现6点的条件下，第3枚骰子再出现6点的概率还是16.根据分步计数原理，3枚骰子同时出现6点的概率是1111666216
⨯⨯=.
这就是说，这家赌场所设置的参赌规则1：100是不公平的，只有将规则定为1：216
才算公平.
事实上，一切赌场都是赢利机构，它们所制定的参赌规则都不可能公平.
在本例中掷骰子3枚，每枚是否出现6点互相没有影响，这种事件就是相互独立事件. 一般地：相互独立事件A 与B 同时发生的概率是
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）. （4）
如果事件A ，B ，…X 都互相独立，那么它们同时发生的概率是
P （A ·B ·…·X ）=P （A ）·P （B ）·…·P （X ）. （4′）
链接：某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A ．
81125 B.54125 C.36125 D.27125
【解析】 设此人在3次射击中，至少有两次击中目标的事件为A ，则A 有两种情况.
一是3次全击中，其概率为3
3275125
⎛⎫
= ⎪⎝⎭；
另一是3次射击恰有两次击中，这又有2
3C 种情况，每种情况都是2中1不中，故其概
率为：2
23
3354
C 155125
⎛⎫
⎛⎫⋅⋅-=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭. 这两种情况互斥，根据公式2，所求概率为()275481
125125125
p A =
+=
，选A. 【说明】 1.本题虽然不是骰子模型，却很容易改造成为骰子模型：掷骰子3枚，其中至少出现2个6点的概率是多少？读者不妨解之.（参考答案：
227
） 2.本例的题型属于“独立重复试验”.一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中该事件恰好发生k 次的概率
()()
()15n k
k k
n n P k C P P -=-.
● 五看骰子 见到概率“期望”
抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可能取的值有1，2，3，4，5，6共6种不同的结果，每种结果出现的概率都是
1
，写成分布列就是：
这样，抛掷一枚骰子，得到点数的期望是：
()1
123456 3.56
E ξ=
+++++= ()11226n n E x p x p x p ξ=++++L L
.
需要说明的是：
1．ξ是随机试验过程中的自变量，而P 则是ξ的函数.在本质上它与函数()y f x =中的变量x 与y 的关系是一样的.不同的是，一般地说，x 表示连续型的变量，它是不可数的；而ξ则是离散型的随机变量，它是可数的，只能在正整数范围内取值；
2．写出离散型随机变量的分布列，实质上是写出某种试验过程中所有不同的试验结果及其发生的概率；
3．任一离散型随机变量的分布列都具有如下的两个性质：
（1）0,1,2,i P i ≥=L ； （2）121P P ++=L . 这两个性质是检测分布列是否写得正确的主要标准.
4．所谓ξ的数学期望就是ξ各种取值的平均数.如果ξ的不同值出现的概率都相等，它就是简单平均数；如果ξ的不同值出现的概率不全相等，它就是加权平均数.
例如：同时投掷10枚骰子，出现3个1点，4个2点，2个5点和1个6点，那么这次投掷中平均点数是多少？
显然，用
()1
1256 3.54
+++=计算是不妥的，正确的算法是： ()1
13245261 2.7110
⨯+⨯+⨯+⨯=.
这里所掷相同点的次数3，4，2，1便称为权.
如果利用期望公式6，那么应该先写出点数ξ的分布列. ∵()()()()3421
1,2,5,6
p p p p ξξξξ========，故有： ξ的期望1256 2.7210101010
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=
比较1,2两种算法，可见它们的实质是一样的.而且在多种情况下，第1种算法更为简便.因此我们说，求期望就是求平均数.
【例4】 掷骰子3枚，如果出现6点就能获奖，写出离散型随机变量ξ的分布列和获奖的数学期望.
【解析】 掷骰子3枚，随机变量ξ=0，1，2，或3.
ξ=0表示3枚骰子中没有一个出现6点，∴P （ξ=0）=3
5125
6216⎛⎫= ⎪⎝⎭；
ξ=1表示3枚骰子中恰有一个出现6点，∴P （ξ=1）=2
131575
C 66216⎛⎫⋅⋅= ⎪
⎝⎭； ξ=2表示3枚骰子中恰有2个出现6点，∴P （ξ=2）=2
23
1515
C 66216
⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭；
ξ=3表示3枚骰子都出现6点，，∴P （ξ=3）=3
116216⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
ξ的数学期望是：
E ξ=0×125216+1×75216+2×15216+3×1
216=12
.
链接：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 【解析】 5个人分配到4个岗位服务，每岗至少1人，所以必然是某一个岗位有2人，
其余各岗都是1人.于是基本事件总数为24
54C A 240⋅=.
（Ⅰ）设“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”的事件为A ，则其余3人只能分配到B ，C ，
D 岗各1人，所以事件A 的种数为33
A 6=，于是332454A 1
()C A 40
P A ==.
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
140
． （Ⅱ）设“甲、乙两人不在同一个岗位服务的”事件为B ，则其对立事件为B ：“甲、乙两人在同一个岗位服务”.
由（Ⅰ），甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
1
40
.同理，甲、乙两人同时参加B ，C ，D 岗位服务的概率也是140.这四种情况互斥，∴()11
4.4010
p B =⨯=，所以，甲、乙两
人不在同一岗位服务的概率是()
19
11010
p B =-=.
（Ⅲ）由条件，参加A 岗位服务的人数至少1人，最多2人.所以随机变量ξ=1或ξ=2.且这两类世间互相对立.
设事件C ：恰有两人同时参加A 岗位服务，则事件C 的种数为23
53C A 60⋅=，而基本事件总数仍为24
54C A 240⋅=.∴()()601
22404
p C p ξ===
=. 而()()
13
11.44
p p C ξ===-=于是ξ的分布列是
● 六邀骰子 妙释 “方差” 真谛
【例5】 在某次商业活动中，甲、乙2人同时获得了头彩.可是头奖名额只有一个，于
当商家看到这个结果时全傻眼了.如果计算总点数，两人都是35；如果计算平均数，两人都是3.5.商家让他们重掷，却又遭到两人拒绝.亲爱的读者，你有办法解决吗？
【分析】 解决本例，仅用期望的知识已经不够了，必须借助方差：
()()()()222
11227n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅
+L L
或标准差：()8σξ=
.
【解析】 记甲在每次投掷骰子中所获得的点数为ξ. 则ξ的期望
()1
122231415262 3.510
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其方差： ()(
)()()()()2
22222
2211 3.52 3.53 3.5101010
1224 3.55 3.56 3.5 3.45
101010
D ξ=-⋅
+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅=
记乙在每次投掷骰子中所获得的点数为η
，则η的期望
()1
112133435161 3.510
E η=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=其方差： ()()()()()()2
22
2221131 3.52 3.53 3.5101010
311
4 3.5
5 3.5
6 3.5 1.85
101010
D η=-⋅
+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅=
因为乙所掷出的点数波动较小.故若两人中有且只有一人获头奖，则头奖应给乙.
【说明】 1.由于期望的实质就是平均数，所以本例利用求加权平均数的方法去求期望，计算反而更为简单；2.判断期望与方差的优劣，标准是不一样的.一般的说，因为期望反映平均数，所以其值越高越好，而方差则是反映数据温带性的，所以波动越小越好.
链接：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >> 【分析】 虽然是一道选择题，但数据不少，计算繁多.若处理不当，必然耗时费力.
对于客观题的基本原则是尽可能多想少算.即如本题要选出正确答案，按常规须要4个步骤：（1）求期望；（2）求方差；（3）求标准差；（4）比较3个标准差的大小.以上繁复计算达10次之多.如此操作决不是命题人的本意.
减少计算量的主要途径是：（1）利用求加权平均数的方法期望；（2）尽可能使用心算.
【解析】 ()7891058.520
x +++⨯=
=Q 甲
()()()()2222
21578.588.598.5108.5 1.2520
s ⎡⎤⨯-+-+-+-⎣⎦∴=
=
()()71068948.520
x +⨯++⨯=
=Q 乙
()()()()2222
2
2678.5108.5488.598.5 1.4520
s ⎡⎤⎡⎤⨯-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦∴=
= ()()71048968.520
x +⨯++⨯=
=Q 丙
()()()()2222
2
3478.588.5688.598.5 1.0520s ⎡⎤⎡⎤⨯-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦∴=
= 于是由222213s s s >>，得213s s s >>，选B.
● 七让骰子 验明“正态”真身
【例6】 将1枚投掷骰子1次，若出现奇数点则记0分，出现偶数点则记1分.试写出
这枚骰子投掷10次后得分和的分布列.
【解析】 记这枚骰子投掷10次后的得分和为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.共11种.
记投掷骰子1次出现奇数点的事件为A ，那么出现偶数点的事件为A . 显然()()
111,1.222
p A p A =
=-=由公式（5）：()()1n k k k
n n
P k C P P -=-得： ()0
10010101110C 1221024p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()1
101
110101110
1C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
102
2101011452C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭()3
103
3101011120
3C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
()4104
41010
112104C 1;221024p -⎛⎫
⎛⎫=-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
()5
106
5101011252
5C 1;221024
p -⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
图
1 以下()()101021064;1024p p ==
()()101012073;1024p p ==()()101045
82;1024p p == ()()10101091;1024p p ==()()10101
1001024
p p ==
可知ξ的分布列是：
ξ 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
11024
10
1024
45
1024
120
1024
210
1024
252
1024
210
1024
120
1024
45
1024
10
1024
11024
我们仔细观察这张表，不难发现它除仍然符合（1）0,1,2,i P i ≥=L ； （2）121P P ++=L 外，还具有对称性，即与首末等距离的两概率之值相等. 如果再计算期望与方差，可得：
()15120
01090360840126012608403609010510241024E ξ=
++++++++++=
= ()12560
25160405480210021048040516025 2.510241024D ξ=++++++++++=
=
如果在直角坐标系中画出它的图象如图1，那么我们已经可以见到正态曲线的雏形：它关于直线x =5对称，这正好与E ξ=5相吻合.（而方差或标准差则正态曲线的“高低”，“胖瘦”，这里略去.）
在这个图象中，如果过折线的各个顶点依次向右画x 轴的平行线段，得到10个小矩形.显然这些矩形面积之和近似等于折线与x 轴及其两端的垂线所包围平面部分的面积.
由于这些小矩形的宽度都是1，所以所有矩形面积的和为：
1
1045111102410241024
1024S ⎛⎫=++++⨯= ⎪⎝⎭L .
以上所分析的是n =10的情况.可以设想：当n →+∞时，这条折线的极限就是正态曲线，
这与利用频率分布直方图所得到的正态曲线，在实质上是一样的.
正态曲线的性质很多.但在解题中，最重要最实用的性质是如下两条：
图 2
图3 图4 （1）它关于直线x μ=对称.这里μ表示总
体平均数，即总体中变量ξ的期望；
（2）它的主要功能是利用面积来表示概率.
如图2，当[],x a b ∈时，直线x a =与x b =
之间所包围的平面部分的面积，就是总体在区间
(),a b 内取值的概率.特别地，整条正态曲线与x
轴所包夹的平面部分面积，一定是1.
链接1：设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-, 则 c =
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 条件(1)(1)P c P c ξξ>+=<-表示
如图3中两块阴影部分的面积相等，所以x c =必为
正态曲线的对称轴.
条件(2,9)N 说明题中总体平均数μ=2，也就是正
态曲线的对称轴为x =2.（方差29s =或标准差3σ=）.
故知c =2，选B.
链接2：在某项测量中，测
量结果ξ服从正态分布N （1，2σ）（σ>0），若ξ在
（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取
值的概率为 .
【解析】 如图4，条件N （1，2σ）说明正态
曲线的对称轴x =1，故当ξ在（0，1）内取值的概率
为0.4，时ξ在（1，2）内取值的概率亦为0.4，
∴ξ在（0，2）内取值的概率为0.8.
链接3：已知随机变量服从正态分布()22,N σ，()40.84P ξ≤=，则()()0P ξ≤=
A ．0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
【解析】 如图5，正态曲线的对称轴为x =2.
图 5 图6 ∵()40.84P ξ≤=，∴()410.840.16P ξ≥=-=. 而()()2222,p p ξξ≥+=≤-即
()()040.16p p ξξ≤=≥=.选A.
【评注】 以上3道试题，从题型看它们都不是 标准正态分布（标准正态分布的条件是期望μ=0，即 相应正态曲线的对称轴为y 轴）.若按常规解题，应首 先通过公式()F x =φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
转化为标准正态分布.其方法是：以下的解析是方法吗？？？ 【解析】由()()224220.84P P P ξξξσσ-⎛⎫≤=-≤=≤=
⎪⎝⎭， ()()022P P ξξ≤=-≤-22P ξσ
σ--⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭ 222211P ξφφσσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭0.16=. 显然这个计算将繁杂得多.
链接4：设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像
如图6所示.则有（ ）
A ．1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ<>
C ．1212,μμσσ><
D ．1212,μμσσ>>
【解析】 正态分布2()(0)N μσσ>，中，
x μ=表示对称轴，由图6知12120,0,μμμμ<>∴<.σ表示标准差.由正态分布公式 ()()()222,,2πx f x x μσσ--=∈-∞+∞可知，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，∴12σσ<.选A.。