第三章 多维随机变量的函数的分布
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第五节 多维随机变量的函数的分布
引言 问题的一般提法为:(X1,…,Xn)为n维随机变
量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xn的函数 yi=gi(x1, x2,…, xn), i=1,2,···,m；
要求(Y1,…,Ym)的概率分布. 设(X,Y)为二维随机变量,讨论
(1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维 随机变量),
b(n1+n2+…+nm,p)。
二、连续型随机变量函数的分布
问题：
设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要 求Z的概率密度。
一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),
FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z} P{( X ,Y ) D | D : g( x, y) z}
直观上，按二项分布的定义,若Xi～b(ni,p),则Xi表示ni 次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出
现的概率均为p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm独立,可知 Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次独立试验中A出现的次数, 而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得Y～
12
0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
34
5
0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 W=6
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 W=7
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 W=8
例2: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和 b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的 分布律.
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
D
D:g( x, y )z
然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).
例: 设(X,Y)的概率密度为
1
f ( x, y) (1 x2 y2 )2
－∞<x<+∞, －∞<y<+∞
求 Z X 2 Y 2 的概率密度
解: 我们先求Z的分布函数FZ(z)。 当z≤0时, FZ(z)=0，当z>0时
C C C i
ki
n1
n2
k n2 n2
i0
k
所以
C p q C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
k
k n1 n2 k
n1 n2
i0
可见，Z～b(n1+n2,p).
这个结果很容易推广至多个的情形:若
Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～ b(n1+n2+…+nm,p)。
(2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量 (Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。
一、离散型随机变量函数分布
我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。 例1: 设(X,Y)的分布律为
YX 0 00 1 0.01 2 0.01 3 0.01
12 0.01 0.03 0.02 0.04 0.03 0.05 0.02 0.04
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布 律。
解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。
P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0； P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} +P{X=1,Y=1}
(3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.
i
P{W i} P{ X k,Y i k} k 0
W的分布律为
W0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
W=0
YX 0 00
W=1 W=2
设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f ( x, y)dxdy x yz
积分区域如图,化成累次积分,得
z y
FZ (z)
V=3 V=4 V=5
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
(2) U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3 P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3. U的分布律为
V0
1
2
FZ (z) P{Z z} P{ X 2 Y 2 ) z} P{X 2 Y 2 z2 }
2
Z
f ( x, y)dxdy d
1
r dr
D:x2 y2 z2
0
0 1r2 2
于是可得Z的概率密度为
2z
f
Z
z
FZ ( z )
(1
z
2
)2
z0
0 其它
1．Z=X+Y的分布：
=0.01+0.01+0.02=0.04； 同理，可求出其它取值的概率。 所以V的分布律为
V0
1
2
3
4
5
P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
V=0
YX 0 00
V=1 V=2
12
0.01 0.03
1 0.01 0.02 0.04
Baidu Nhomakorabea
2 0.01 0.03 0.05
3 0.01 0.02 0.04
3
P 0.28 0.30 0.25 0.17
U=0
YX 0 00
U=1 U=2 U=3
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5
0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
解: Z的可能取值为0,1,…, n1+ n2，固定k于上述范围内,
由独立性有
k
P{Z k} P{X Y k} P{X i,Y k i}
i0
k
k
P{X i} P{Y k i}
C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
i0
i0
k
因为
引言 问题的一般提法为:(X1,…,Xn)为n维随机变
量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xn的函数 yi=gi(x1, x2,…, xn), i=1,2,···,m；
要求(Y1,…,Ym)的概率分布. 设(X,Y)为二维随机变量,讨论
(1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维 随机变量),
b(n1+n2+…+nm,p)。
二、连续型随机变量函数的分布
问题：
设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要 求Z的概率密度。
一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),
FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z} P{( X ,Y ) D | D : g( x, y) z}
直观上，按二项分布的定义,若Xi～b(ni,p),则Xi表示ni 次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出
现的概率均为p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm独立,可知 Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次独立试验中A出现的次数, 而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得Y～
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0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
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0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 W=6
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 W=7
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 W=8
例2: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和 b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的 分布律.
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
D
D:g( x, y )z
然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).
例: 设(X,Y)的概率密度为
1
f ( x, y) (1 x2 y2 )2
－∞<x<+∞, －∞<y<+∞
求 Z X 2 Y 2 的概率密度
解: 我们先求Z的分布函数FZ(z)。 当z≤0时, FZ(z)=0，当z>0时
C C C i
ki
n1
n2
k n2 n2
i0
k
所以
C p q C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
k
k n1 n2 k
n1 n2
i0
可见，Z～b(n1+n2,p).
这个结果很容易推广至多个的情形:若
Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～ b(n1+n2+…+nm,p)。
(2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量 (Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。
一、离散型随机变量函数分布
我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。 例1: 设(X,Y)的分布律为
YX 0 00 1 0.01 2 0.01 3 0.01
12 0.01 0.03 0.02 0.04 0.03 0.05 0.02 0.04
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0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布 律。
解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。
P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0； P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} +P{X=1,Y=1}
(3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.
i
P{W i} P{ X k,Y i k} k 0
W的分布律为
W0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
W=0
YX 0 00
W=1 W=2
设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f ( x, y)dxdy x yz
积分区域如图,化成累次积分,得
z y
FZ (z)
V=3 V=4 V=5
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0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
(2) U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3 P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3. U的分布律为
V0
1
2
FZ (z) P{Z z} P{ X 2 Y 2 ) z} P{X 2 Y 2 z2 }
2
Z
f ( x, y)dxdy d
1
r dr
D:x2 y2 z2
0
0 1r2 2
于是可得Z的概率密度为
2z
f
Z
z
FZ ( z )
(1
z
2
)2
z0
0 其它
1．Z=X+Y的分布：
=0.01+0.01+0.02=0.04； 同理，可求出其它取值的概率。 所以V的分布律为
V0
1
2
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4
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P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
V=0
YX 0 00
V=1 V=2
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1 0.01 0.02 0.04
Baidu Nhomakorabea
2 0.01 0.03 0.05
3 0.01 0.02 0.04
3
P 0.28 0.30 0.25 0.17
U=0
YX 0 00
U=1 U=2 U=3
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1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
解: Z的可能取值为0,1,…, n1+ n2，固定k于上述范围内,
由独立性有
k
P{Z k} P{X Y k} P{X i,Y k i}
i0
k
k
P{X i} P{Y k i}
C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
i0
i0
k
因为