二自由度系统振动1共44页文档
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❖ 数学工具：线性代数、矩阵理论
车辆悬架
车辆悬架结构简图
车辆悬架结构简图
本节讲三个问题：
❖ 1、 二自由度系统运动微分方程的矩阵 表示形式；
❖ 2、 系统动能、势能和能量耗散函数的矩 阵表示形式；
❖ 3、 运动微分方程的耦合问题。
二自由度系统简图
下面是一个典型的二自由度弹簧阻尼质量系统简图
❖ 下面通过实例说明：方程是否存在耦 合以及存在什么类型的耦合取决于所 取的描述系统的广义坐标，并不是系 统本身的性质。
汽车的二自由度振动模型
❖ 汽车板簧以上部分被简化为 一刚性杆，质心 C，质量 mk2。为绕前质后心板转簧动刚惯度量，I忽c ，略k了1, 减振器阻尼和干摩擦等其他 形式的阻尼，不计板簧以下 部分的质量和刚度。
系统的动能为
ET
1 2
m 1 x&1 2
1 2
m 2 x&2 2
1 2
x&1
x&2
m 0
1
0 m2
x&1 x&2
1 x& T M x&
2
质量矩阵的二次型
系统势能的矩阵表达形式
U
1 2
k1 x12
1 2
k2
(
x1
x2 )2
1 2
k3
x
2 2
1 2
x1
x
2
k1 k
k
2
2
对于本例，如果 c2 0,k2 0
则微分方程组变成两 个独立的微分方程
m1&x&1 c1x&1 k1x1 0 m2&x&2 c3x&2 k3x2 0
解耦
❖ 如何消除方程的耦合是（手工）求解多 自由度系统运动微分方程的关键，从数 学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角 矩阵。
不同坐标系下的运动微分方程
k2 x1
k2
k
3
x2
1 xT K x
2
刚度矩阵的二次型
系统能量耗散函数的矩阵表达形式
D
1 2
c1 x&12
1 2
c2 ( x&1
x&2 )2
1 2
c3 x&22
1 2
x&1
x&2
c1 c2 c2
c2 c2 c3
x&1 x&2
1 x&T C x&
2
阻尼矩阵的二次型
激励向量；
M & x & C x & K x F ( t)
和单自由度微分方程的关系
❖ 单自由度系统
m & x& cx & kxf(t)
❖ 如果将 m , c , k 看作一维矩阵，x,x&,& x&, f t
看作一维向量，则单自由度和多自由度微分 方程具有相同的形式。
系统动能的矩阵表达形式
概论
❖ 大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的
物理本质。 举例：汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度
模型
❖ 与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上 的新概念，需要新的分析方法。
❖ 二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自 由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题 的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。
ET
1x& TMx& 0
2
质量矩阵一定是正
， U1xTKx0 2
定的； 刚度矩阵和阻尼矩
D1x& TCx& 0
阵是半正定的
2
三、运动微分方程的耦合问题
m 0 1m 0 2 & x & x & & 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x & & 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( tt) )
运动微分方程建立
❖ 取 m1、m2静平衡位置为坐标原点，水平向右
为两个坐标的正向，根据牛顿第二定律得到
m m 2 1 & x & & x & 2 1 k k 2 1 x (1 x 2 c 1 x x & 1 1 ) k c 2 2 ((x x & 1 2 x x & 2 1 )) c k 2 3 (x x & 2 1 c x & 3 2 x & )2 F F 1 2 (t(t))
kji
（二阶混合偏导数在什么条件下与求导次序无关？）
微分方程的构造步骤
❖ 1 .写出系统动能、势能和能耗散函数的表达式 ❖ 2. 对这三个函数求偏导数，从而得到质量，刚
度和阻尼矩阵的各个元素 ❖ 3. 写出矩阵形式的运动微分方程。
质量，刚度和阻尼矩阵的性质
❖ 由于能量为标量，对于任意的x0,x&0 ,
质量，刚度和阻尼矩阵的确定
通过对以上三个函数求偏导数，可以分别
求出三个矩阵的各个元素
mij x& 2iE xT&j x& 2jETx& i mji
2D 2D
cij x&ix& j x&jx& i cji
多自由度系统的 质量矩阵，刚度 矩阵和阻尼矩阵 是对称矩阵
Fra Baidu bibliotekkij
2U xixj
2U xjxi
其中定义
M
m1
0
0
m2
, Cc1c2c2
c2 c2 c3
, Kk1k2k2
k2 k2 k3
质量矩阵 阻尼矩阵
刚度矩阵
运动微分方程的矩阵形式
定义：
xx1 x2 T x&x&1 x&2T
& x& & x& 1 & x& 2T
F(t)F 1(t) F 2(t)T
矩阵形式的运动微分方程
位移向量； 速度向量； 加速度向量；
❖
由于c
、
2
k
2
的存在，使得两个质量 m1、 m2
的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为
非对角矩阵，微分方程存在耦合
耦合的分类
❖ 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 惯性耦合
❖ 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 弹性耦合
❖ 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合
非耦合
❖ 如果三个矩阵都是对角矩阵，则系统的运动 微分方程没有任何耦合，变为两个独立的单 自由度方程，各个未知量可以单独求解
整理,得
m m 2 1 & x & x & & 2 1 c (c 2 1 x & 1 c 2 (c )x 2 & 1 c c 3 2 )x x & & 2 2 ( k k 2 1 x 1 k2 (k )x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ((tt))
矩阵形式的改写
❖ 在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵 记号 (写为矩阵形式)
m 0 1m 0 2 & x & x & & 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x & & 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
车辆悬架
车辆悬架结构简图
车辆悬架结构简图
本节讲三个问题：
❖ 1、 二自由度系统运动微分方程的矩阵 表示形式；
❖ 2、 系统动能、势能和能量耗散函数的矩 阵表示形式；
❖ 3、 运动微分方程的耦合问题。
二自由度系统简图
下面是一个典型的二自由度弹簧阻尼质量系统简图
❖ 下面通过实例说明：方程是否存在耦 合以及存在什么类型的耦合取决于所 取的描述系统的广义坐标，并不是系 统本身的性质。
汽车的二自由度振动模型
❖ 汽车板簧以上部分被简化为 一刚性杆，质心 C，质量 mk2。为绕前质后心板转簧动刚惯度量，I忽c ，略k了1, 减振器阻尼和干摩擦等其他 形式的阻尼，不计板簧以下 部分的质量和刚度。
系统的动能为
ET
1 2
m 1 x&1 2
1 2
m 2 x&2 2
1 2
x&1
x&2
m 0
1
0 m2
x&1 x&2
1 x& T M x&
2
质量矩阵的二次型
系统势能的矩阵表达形式
U
1 2
k1 x12
1 2
k2
(
x1
x2 )2
1 2
k3
x
2 2
1 2
x1
x
2
k1 k
k
2
2
对于本例，如果 c2 0,k2 0
则微分方程组变成两 个独立的微分方程
m1&x&1 c1x&1 k1x1 0 m2&x&2 c3x&2 k3x2 0
解耦
❖ 如何消除方程的耦合是（手工）求解多 自由度系统运动微分方程的关键，从数 学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角 矩阵。
不同坐标系下的运动微分方程
k2 x1
k2
k
3
x2
1 xT K x
2
刚度矩阵的二次型
系统能量耗散函数的矩阵表达形式
D
1 2
c1 x&12
1 2
c2 ( x&1
x&2 )2
1 2
c3 x&22
1 2
x&1
x&2
c1 c2 c2
c2 c2 c3
x&1 x&2
1 x&T C x&
2
阻尼矩阵的二次型
激励向量；
M & x & C x & K x F ( t)
和单自由度微分方程的关系
❖ 单自由度系统
m & x& cx & kxf(t)
❖ 如果将 m , c , k 看作一维矩阵，x,x&,& x&, f t
看作一维向量，则单自由度和多自由度微分 方程具有相同的形式。
系统动能的矩阵表达形式
概论
❖ 大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的
物理本质。 举例：汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度
模型
❖ 与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上 的新概念，需要新的分析方法。
❖ 二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自 由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题 的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。
ET
1x& TMx& 0
2
质量矩阵一定是正
， U1xTKx0 2
定的； 刚度矩阵和阻尼矩
D1x& TCx& 0
阵是半正定的
2
三、运动微分方程的耦合问题
m 0 1m 0 2 & x & x & & 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x & & 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( tt) )
运动微分方程建立
❖ 取 m1、m2静平衡位置为坐标原点，水平向右
为两个坐标的正向，根据牛顿第二定律得到
m m 2 1 & x & & x & 2 1 k k 2 1 x (1 x 2 c 1 x x & 1 1 ) k c 2 2 ((x x & 1 2 x x & 2 1 )) c k 2 3 (x x & 2 1 c x & 3 2 x & )2 F F 1 2 (t(t))
kji
（二阶混合偏导数在什么条件下与求导次序无关？）
微分方程的构造步骤
❖ 1 .写出系统动能、势能和能耗散函数的表达式 ❖ 2. 对这三个函数求偏导数，从而得到质量，刚
度和阻尼矩阵的各个元素 ❖ 3. 写出矩阵形式的运动微分方程。
质量，刚度和阻尼矩阵的性质
❖ 由于能量为标量，对于任意的x0,x&0 ,
质量，刚度和阻尼矩阵的确定
通过对以上三个函数求偏导数，可以分别
求出三个矩阵的各个元素
mij x& 2iE xT&j x& 2jETx& i mji
2D 2D
cij x&ix& j x&jx& i cji
多自由度系统的 质量矩阵，刚度 矩阵和阻尼矩阵 是对称矩阵
Fra Baidu bibliotekkij
2U xixj
2U xjxi
其中定义
M
m1
0
0
m2
, Cc1c2c2
c2 c2 c3
, Kk1k2k2
k2 k2 k3
质量矩阵 阻尼矩阵
刚度矩阵
运动微分方程的矩阵形式
定义：
xx1 x2 T x&x&1 x&2T
& x& & x& 1 & x& 2T
F(t)F 1(t) F 2(t)T
矩阵形式的运动微分方程
位移向量； 速度向量； 加速度向量；
❖
由于c
、
2
k
2
的存在，使得两个质量 m1、 m2
的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为
非对角矩阵，微分方程存在耦合
耦合的分类
❖ 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 惯性耦合
❖ 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 弹性耦合
❖ 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合
非耦合
❖ 如果三个矩阵都是对角矩阵，则系统的运动 微分方程没有任何耦合，变为两个独立的单 自由度方程，各个未知量可以单独求解
整理,得
m m 2 1 & x & x & & 2 1 c (c 2 1 x & 1 c 2 (c )x 2 & 1 c c 3 2 )x x & & 2 2 ( k k 2 1 x 1 k2 (k )x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ((tt))
矩阵形式的改写
❖ 在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵 记号 (写为矩阵形式)
m 0 1m 0 2 & x & x & & 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x & & 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )