第讲等腰三角形与直角三角形

第17讲等腰三角形与直角三角形

考点1

等腰三角形与等边三角形

等腰三角形概念有两条边①的三角形是等腰三角形.

性质

1.等腰三角形是轴对称图形，一般有②条对称轴.

2.性质1：等腰三角形的两底角③(简写成“等边对④”).

3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的⑤、底边上的⑥相互

重合(简写成“三线合一”).

判定等角对⑦.

等边三角形概念有⑧条边相等的三角形叫做等边三角形.

性质

1.具有一般等腰三角形的所有性质；

2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于⑨；

3.等边三角形是轴对称图形，共有⑩条对称轴.

判定 1.三个角都⑪的三角形是等边三角形；

2.有一个角是⑫的等腰三角形是等边三角形.

考点2 直角三角形

概念有一个角是⑬的三角形叫做直角三角形.

性质1.直角三角形的两个锐角⑭.

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑮.

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑯.

4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的○17等于斜边c的○18，即○19=c2.

判定1.有一个角是○20或两个锐角○21的三角形是直角三角形.

2.如果三角形一边上的中线等于这条边的○22，那么这个三角形为直角三角形.

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的○23等于第三边的○24，那么这个三角形是直角三角形.

【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长.

1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部.

2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.

命题点1 等腰三角形的性质与判定

例1 (2014·丽水)如图，在△A BC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是20.

【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形，利用三线合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，从而求出△ABC的周长.

方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵——由一推二.

1.(2014·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为( )

A.25°

B.45°

C.35°

D.30°

2.(2014·河南)在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于1

2

BC的长为半径作弧，两弧相交于

两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为.

3.(2014·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是.

命题点2 直角三角形

例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝5，求AB的长.

【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.

【解答】

方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )

A.20

B.10

C.5

D. 5 2

2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B=60°，BC＝6.则AB的长为.

3.如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AM是BC边上的中线，且AM=

4.求△ABC的周长.(结果保留根号)

命题点3 勾股定理

例3 (2013·呼和浩特)如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.

【思路点拨】作一条高线CD，构造直角三角形，利用∠CAB=120°和AC=30 m求出CD和AD；然后在Rt△CDB中利用勾股定理求出DB的长.

【解答】

方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.

1.(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )

A.4，5，6

B.1.5，2，2.5

C.2，3，4

D.1，2，3

2.(2013·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米

3.(2014·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是cm.

4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第

一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20 cm，宽AB=16 cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D 恰好落在BC边上的F处，……请你根据①②步骤解答下列问题：

(1)找出图中∠FEC的余角；

(2)计算EC的长.

第1课时基础训练

1.(2013·毕节)已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )

A.16

B.20或16

C.20

D.12

2.(2013·成都)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

3.(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°,以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为( )