等腰三角形与直角三角形讲义

等腰三角形与直角三角形讲义

1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____

2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度

3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为

（ C ）

A．30° B．150° C．30°或150° D．120°

【知识梳理】

1、等腰三角形及其性质

（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．

（2）性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

2、等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．

4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．

（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的

关系：或.

（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．

推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．

说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．

反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．

（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．

(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：

∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，

∴∠A＝30°．

【典型例题】

知识点一：等腰三角形

考点一：等腰三角形的判断与证明

例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．

（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

分析：

这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：

（1）①③，①④，②③，②④．

（2）选择①④来证明结论成立．

已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．

求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．

又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

∴△ABC为等腰三角形．

例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．

证明：

延长AO交BC于D．

在△ABO与△ACO中，

∴△ABO≌△ACO，

∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，

∴AO⊥BC．

考点二：利用等腰三角形求度数

例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．

分析：

本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．

解：

设∠A=x．∵AD=DE=EB

∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．

又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB=．

∴BDC=∠A＋∠ABD=．

∵BD=BC，AB=AC，

∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．

在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，

即，

∴x=45°，即∠A=45°．

例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．

（1）当H是AD与BE的交点时，

∵BE、AD是△ABC的高，

∴∠4=∠3=∠5=90°，

∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，

∴∠2=∠1．

又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，

∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．

又∵∠6＋∠DBA=90°，

∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．

（2）当H是AD、EB延长线的交点时，

∵BE、AD是△ABC的高，

∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，

∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，

∴∠1=∠CAD．

又∵BH=AC，

∴△DBH≌△DAC，

∴DB=DA，

∴∠5=∠6．

又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，

∴∠ABC=180°－45°=135°．

故∠ABC的度数为45°或135°．

考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．

例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）

方法一：

（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．

因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．

又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．

所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．

因为∠3=∠C＋∠4，

所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，

所以DE=CE．所以CE=BD．

所以AC=AE＋EC=AB＋DB．

方法二：

（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．

因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，

又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．

因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），

所以AC=AE．

因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．

例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？

如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．