专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题
专升本高数第一轮--第三章--一元函数积分学
运算法则
3.1.1 不定积分的概念
微分法:
积分法: ( ? ) f (x)
互逆运算
设已知F( x),求f ( x)
设已知f (x),反问题求F(x)。
一、不定积分的定义
定义1 若在某一区间上，F’(x)=f(x) ，则在这个 区间上，函数 F(x) 叫做函数 f(x) 的一个原函数。
1. f (xn1)xndx f (xn1)d(xn1) n 1
3.
f
(ln x
x)
dx
f
(ln
x)d
ln
x
2.
f
(
x) x
dx
2
f
(
x)d(
x)
4.
f (1)
x x2
dx
－
f
( 1 )d ( 1 ) xx
5. (sin x)cos xdx f (sin x)d(sin x) 6. f (ex )exdx f (ex )dex
1
1
t
dt
2(t ln | 1 t |) C
将t x回代 原式 2( x ln | 1 x |) C
当被积函数含有两种或两种以上的根式 k x,, l x时，
可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）
例20 求
1 dx.
x(1 3 x )
第三章 一元函数积分学
引言
积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分 是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微 分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上 却有着紧密的内在联系。
河北专接本数学(一元函数积分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
河北专接本数学（一元函数积分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．f(x)为[a，b]上的连续函数，则∫abf(x)dx－∫abf(t)dt的值[ ]．A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定正确答案：C 涉及知识点：一元函数积分学2．已知F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则∫axf(t＋2a)dt＝[ ]．A．F(x)－F(a)B．F(t＋2a)－F(3a)C．F(x＋2a)－F(3a)D．F(t)－F(a)正确答案：C 涉及知识点：一元函数积分学3．可积函数f(x)的每一条积分曲线在横坐标为xo的点处的切线[ ]．A．都平行于x轴B．都平行于y轴C．都互相重合D．都互相平行正确答案：D 涉及知识点：一元函数积分学4．椭圆(a＞b＞0)绕x轴旋转得到的旋转体的体积V1和绕y轴旋转得到的旋转体的体积V2之间的关系为[ ]。
A．V1＞V2B．V1＜V2C．V1＝V2D．V1＝3V2正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学5．＝[ ]．A．0B．1C．πD．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学填空题6．＝________．正确答案：0 涉及知识点：一元函数积分学7．∫－∞0e2xdx＝________。
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学8．设F(x)＝x∫1x2sin tdt，则F’(x)＝________．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．若∫f(x)dx＝arctan(2x＋1)＋C，则f(x)＝________．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学10．＝________。
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学11．∫－22(｜x｜＋2x)e－｜x｜dx＝________．正确答案：2—6e－2 涉及知识点：一元函数积分学12．积分＝_______。
正确答案：2e2＋2 涉及知识点：一元函数积分学13．已知xex为f(x)的一个原函数，则＝_______。
学研教育—浙江专升本高数一元函数微分学53题及答案(汇编)
一元函数微分学 1．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．x yx f x ∆∆=→∆00lim)(' B ．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000C ．00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ D ．hx f h x f x f h )()21(lim)('0000--=→ 2．若e cos x y x =，则'(0)y =( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 3．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( )A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -4．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( )A ．1-B ．2C ．1D ．21-5．设)(x f 在a x =处可导,则xx a f x a f x )()(lim 0--+→=( )A ．)('a fB ．)('2a fC ．0D ．)2('a f6．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→hh f h f h )2()2(lim（ ）A ．4B ．0C ．2D ．3 7．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（ ）A ．0B ．6-C ．1D ．3 8．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→hh f h f h )()(lim（ ）A ．1B ．0C ．2D ．39．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim→h hx f f )()h - x (00-( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关10．设)(x f 在1=x 处可导，且21)1()21(lim0=--→h f h f h ，则=)1('f （ ）A ．21B ． 21-C ． 41D ．41- 11．设==-)0('')(2f ex f x 则( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2 12．导数)'(log x a等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1 C ．x x a log 1 D ．x 113．若),1()2(249102+-++=x x x x y 则)29(y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×10 14．设',)(',)()(y x f e e f y x f x 则存在且==( )A ．)()()()('x f x x f x e e f e e f +B ．)(')(')(x f e e f x f x ⋅C ．)(')()(')()(x f e e f e e f x f x x f x x ⋅++D ．)()('x f x e e f15．设=---=)0('),100()2)(1()(f x x x x x f 则 ( )A ．100B ．100!C ．！100-D ．100- 16．若==',y x y x 则( )A ．1-⋅x x x B ．x xxln C ．不可导 D ．)ln 1(x x x +17．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 18．设==-',)2(y x y x 则( )A ．)1()2(x x x +--B ．2ln )2(x x -C ．)2ln 21()2(x x x+- D ．)2ln 1()2(x x x +-- 19．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使20．设,)()(x g x f y =则=dx dy ( ) A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y - B ．])(1)(1[2x g x f y - C ．)()('21x g x f y ⋅ D ．)()('2x g x f y ⋅ 21．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．若在)b a,(内0)('>x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('<x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('≥x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在22．若)(y x f =在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（ ）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．123．设函数)(yx f =为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（ ） A ．211k k =B ．121-=⋅k kC ．121=⋅k kD ．021=⋅k k24．设0x 为函数)(x f 在区间()b a ,上的一个极小值点，则对于区间()b a ,上的任何点x ，下列说法正确的是（ ） A ．)()(0x f x f > B ．)()(0x f x f < C ．)()(0x f x f -> D ．)()(0x f x f -<25．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0=x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（ ） A ．若0x x <时, 0)('>x f ；而0x x >时, 0)('<x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值 B ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值 C ．若0x x<时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时, )('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值26．0)('0=x f ,0)(''0≠x f ，若0)(''0>x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（ ）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点 27．b x a <<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在()b a ,内（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹 28．数()e x f x x =-的单调区间是( ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增 29．数43()2f x x x =-的极值为（ ）．A ．有极小值为(3)fB ．有极小值为(0)fC ．有极大值为(1)fD ．有极大值为(1)f -30．x e y =在点(0,1)处的切线方程为( )A ．x y +=1 B ．x y +-=1 C ．x y -=1 D ．x y --=131．函数x x x x x f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23+++=轴交点的坐标是( ) A ．)0,61(- B ．)0,1(- C ．)0,61( D ．)0,1(32．抛物线xy =在横坐标4=x的切线方程为 ( )A ．044=+-y xB ．044=++y xC ．0184=+-y xD ．0184=-+y x33．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( )A ．1+-=x y B ．1--=x y C ．1+=x y D ．1-=x y 34．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( ) A ．12++-=x x y B ．12-+-=x x y C ．12++=x x y D ．12-+=x x y35．线22)121(++=x e y x 上的横坐标的点0=x 处的切线与法线方程( )A ．063023=-+=+-y x y x 与B ．063023=--=++-y x y x 与C ．063023=++=--y x y x 与D ．063023=+-=++y x y x 与36．函数处在点则0)(,)(3==x x f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线 37．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0=x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件38．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( )A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点 39．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 40．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( )A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点 41．数)(x f y =在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( )A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值 42．下列结论正确的有( )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导43．由方程y x e xy+=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x44．=+=x y y xe y ',1则( )A ．y y xe e -1 B ．1-y y xe e C ．yyxe e -+11 D ．y e x )1(+45．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f （ ）A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -46．设x x g e x f x cos )(,)(-==，则=)]('[x g fA ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -47．设)(),(x t t f y φ==都可微，则=dyA ．dt t f )(' B ．)('x φdx C ．)('t f )('x φdt D ．)('t f dx48．设,2sin xey =则=dy （ ）A ．x d e x 2sinB ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin49．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( ) A ．与x ∆等价的无穷小量 B ．与x ∆同阶的无穷小量 C ．比x ∆低阶的无穷小量 D ．比x ∆高阶的无穷小量50．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --51．下面等式正确的有( ) A ．)(sin sin x x x xe d e dx e e= B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x =52．设)(sin x f y =,则=dy ( )A ．dx x f )(sin ' B ．x x f cos )(sin ' C ．xdx x f cos )(sin ' D ．xdx x f cos )(sin '-53．设,2sin x e y =则=dyA ．xd e x2sin B ．x d ex2sinsin 2C ．x xd e xsin 2sin 2sinD ．x d e x sin 2sin答案 1．D 2．C 解：e cos e sin x x y x x '=-，(0)101y '=-=．选C ．3．C 解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C ．4．解：=--→h x f h x f h )()21(lim 000 1)('21)21(21)()21(lim0000-=-=----→x f h x f h x f h ，选C 5．解：)('2])()()()([lim )()(lim 00a f xa f x a f x a f x a f x x a f x a f x x =---+-+=--+→→，选B6．解：因为=--+→h h f h f h )2()2(lim 0 +-+→h f h f h )2()2([lim 0 ])2()2(hf h f ---=)2('2f ，故选A7．解：)0('f 6)3)(2)(1(lim )0()(lim00-=---=-=→→x x x x x x f x f x x ，故选B8．解：因为=--→h h f h f h )()(lim 0 +-→h f h f h )0()([lim 0 ])0()(hf h f ---=)0('2f ，故选C9．解：因为0lim→h )(')()h - x (000x f hx f f -=-,故选B10．解：因为=--→h f h f h )1()21(lim 021)1('222)1()21(lim 0=-=----→f h f h f h ）（ ，故选D11．解：222242)('',2)('x x x ex ex f xe x f ---+-=-=，2)0(''-=f 选C12．解：选B 13．解：01282829.....a x a x a x y ++++=，所以!29)29(=y ，选B14．解：)(')()('')()(x f e e f e e f y x f x x f x x ⋅+=+，选C15．解：!100)100()2)(1(lim )0()(lim)0('00=---=-=→→xx x x x x f x f f x x ，选B 16．解：)'('ln x x e y =)ln 1(x x x +=，选D17．解：,1202lim 2)2()(lim )2('22=---=--=++→→+x x x f x f f x x,1202lim 2)2()(lim )2('22-=---=--=--→→-x x x f x f f x x 选D 18．解：[]]1)2ln([)2('')2ln(--==--x x e y x x x ，选D19．解：选C 20．解：])()(')()('[21,)](ln )([ln 21x g x g x f x f y y ey x g x f -⋅='=-，选A21．C 22．A 23．B 24．A 25． C 26．B 27．C 28．解：()1e x f x '=-．令()0f x '=，则0x =．当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f ,当),0(+∞∈x 时0)(<'x f ,因此()e x f x x =-在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减．答案选C ．29．解：根据求函数极值的步骤，（1）关于x 求导，322'()462(3)f x x x x x =-=-（2）令'()0f x =，求得驻点0,3x =（3）求二阶导数2"()121212(1)f x x x x x =-=-（4）因为''(3)720f =>，由函数取极值的第二种充分条件知27)3(=f 为极小值．（5）因为''(0)0f =，所以必须用函数取极值的第一种充分条件判别，但在0x =左右附近处，)('x f 不改变符号，所以(0)f 不是极值．答案选A ． 30．1)0('=y ,曲线x e y =在点(0,1)处的切线方程为x y =-1,选A31．解：函数162131)(23+++=x x x x f 的图形在点)1,0(处的切线为x y 61=-，令0=y ，得61-=x ，选A 32．41421)4('==y ，抛物线x y =在横坐标4=x的切线方程为)4(412-=-x y ，选A33．1111'====x x x y ,切线方程是1-=x y ,选D34．1,)(2=+-=c c x x x f ,选A35．解：3)0('),121(2'2=++=y x e y x ,切线方程x y 32=- 法线方程x y 312-=-,选A36．选C37．由函数取得极值的必要条件（书中定理）知选D38．解：选D39．解：,)1(22)1(4)1(2'',12'22222222x x x x x y x x y +-=+-+=+= 422222)1(2)1(2)22()1(4'''x x x x x x y ++--+-=,)1(124)1(4)1(23233222x x x x x x +-=+-+=令0''=y 得1,1-=x ，0)1('''≠±y ， )2ln ,1(与)2ln ,1(-为拐点，选B40．选D 41．选D 42．选C 43．解：)'1()'1('y xy y e xy y y x +=+=++，选B 44．解：''y xe e y y y +=，选C ，应选A45．解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C 46．解：x x g sin )('=，所以x e x g f sin )]('[=，故选A47．解：选A 48．解：=dy ;sin 2sin 2x d e x 故选B49．解：因为)()('0x o x x f dy∆+∆=，所以21)('lim00==∆→∆x f x dy x ，故选B50．解：选C 51．解：选A 52．解：x x f y cos )(sin ''=，选C 53．解：选B。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数f(x)在x=0，则（分数：2.00）A.f(0)=0且f －' (0)存在B.f(0)=1且f －' (0)存在C.f(0)=0且f ＋' (0)存在√D.f(0)=1且f ＋' (0)存在解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有＋' (0)，故选C．2.设f(x)=e 2 + ，则f '（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) '3.设函数f(x)=xsinx，则f '（分数：2.00）B.1 √D.2π解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以．4.函数x=0处 ( )（分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导√C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；所以函数在x=0处不可导．5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ'，故选A．6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处f(x) ( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值√解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=00，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7.函数y=e x +arctanx在区间[一1，1]上 ( )（分数：2.00）A.单调减少B.单调增加√C.无最大值D.无最小值解析：解析：因y ' =e x0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8.设函数f(x)满足关系式f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x，且f ' (0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点√D.f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点解析：解析：由f ' (0)=0及f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x知f '' (0)=0且f '' (x)=x一[f ' (x)] 2，又x，f' (x)可导，所以f '' (x)可导，于是f ''' (x)=1—2f ' (x)f '' (x)，f ''' (0)=1＞0，而f '''，故f '' (x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9.设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf ' (x)一f(x)＜0，则(0，a)内是 ( )（分数：2.00）A.单调减少√B.单调增加C.有增有减D.不增不减(0，a)内单调减少．10.点(0，1)是曲线y=ax 3 +bx 2 +c的拐点，则有 ( )（分数：2.00）A.a=1，b=一3，c=1B.a≠0，b=0，c=1 √C.a=1，b=0，c为任意D.a、b为任意，c=1解析：解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y ' =3ax 2 +2bx ，y '' =6ax+2b ，(0，1)为拐点，所以y ''(0)=0，得a≠0，b=0，故选B ．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设f '(x)=g(x)，则2x)]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：g(sin 2x)sin2x ）解析：解析：2 x)]=f ' (sin 2 x)．(sin 2 x) ' =2sinxcosxf ' (sin 2 x)=sin2xg(sin 2x)．12.设y=(3x+1) 27，则y (27)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3 27．27！）解析：解析：对于形如y=(ax+b) n的函数，其k 阶导为y (k)k (ax+b) n －k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y (27)=27！．3 27 ． 13.若f '(x 0 )=1，f(x 0 )=0，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：－f '(x 0 )=－1．14.函数F(x)=∫ 1 x(2－＞0)的单调递减区间是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0＜x ＜[*]）解析：解析：由F(x)=∫ 1 x(2一 )dt(x ＞0)，则F '(x)=2一． 令F '(x)=0，得时，F '(x)＜0，F(x)单调递减．15.设点(x 0 ，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点，且f ''(x 0 )≠0，则f ''(x 0 )必定 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不存在） 解析：解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.当h→0，f(x 0 +3h)一f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，求f '(x 0 )． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为h→0，f(x 0 +3h)－f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，即 所以，3f '(x)+2=0，即f '(x 0．)解析：17.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x 一a[一1)]=x +2a ．)解析：18.设f(x)在x=1处有连续导数，且f ' (1)=2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设y=y(x)由所确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，由隐函数求导)解析：20.计算lnl．01的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f '(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f ' (1)．0．01=0+1．0．01=0．01．)解析：给定曲线 4.00）(1).求曲线在横坐标为x 0的点处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由y ' = 可知曲线y= 在横坐标为x 0的点处的切线方程为) 解析：(2).求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由切线方程y一(x—x 0 )分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L 2=X 2＋Y 2= ．令=0，得驻点x 0 = ．由此可知，L 2在x 0 = 处取得极小值，即最小值，)解析：21.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f ' (ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因[e x f(x)] ' =e x f(x)+e x f ' (x)=e x [f(x)+f ' (x)]，故设F(x)=e x f(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F ' (ξ)=0．即e ξ [F(ξ)+f ' (ξ)]=0，e ξ＞0，则f(ξ)+f ' (ξ)=0．)解析：22.设f(x)在[0，c]上有定义，f ' (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f ' (ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有f(a)=af '(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f '(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f '(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f '(ξ)＞f '(η)，而a≥0，故af '(ξ)≥af ' (η)，于是f(a+b)≤f(b)+af ' (ξ)=f(b)+f(a)．)解析：23.证明：当0＜x sinx+tanx＞2x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f ' (x)=cosx+sec 2 x一2， f '' (x)=一sinx+2sec 2xtanx=sinx(2sec 3 x一1)＞0，x∈(0，)，因此f ' (x)单调增加，故f ' (x)＞f ' (0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．)解析：24.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f ' (ξ)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[ ，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈( ，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η(0，1)，使F ' (ξ)=0，f ' (ξ)=1．)解析：25.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr 2h+ πr 3，S=3πr 2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．)解析：。
专升本一元函数微分学题目与答案A
二、一元函数微分学 练习题（A ） 一．选择题1．()1sin,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续 2．设()2421,f x x x =++则 ()=-'1f ( ) A ．1 B ．3 C ． -1 D ． -3 3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f x = ( ) A ．()54!1x + B ．()54!1x -+C ．()55!1x + D ．()55!1x -+4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )A ．2B ． -2C ．12 D ． -125．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0lim x df dx+→= ( )A ． 1B ． -1C ． 2D ．-26. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 ( )A. 1)]([!+n x f nB. 1)]([+n x f nC. n x f 2)]([D. n x f n 2)]([!7．设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于 ( )A.－1B. 0 C .1 D. ∞8. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 ( ) A.a = 1, b = 0 B. a = 0, b 为任意常数 C. a = 0, b = 0 D.a = 1, b 为任意常数 9. 曲线2211x x ee y ---+=（ ）A.没有渐近线；B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 10. 设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim( )A ．()x f 'B ．()0f 'C ．不存在D ．∞ 11. 当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =（ ） A ．-2 B． CD ．212. 曲线y =322(1)x x -（ ） A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 B ．只有水平渐近线 C ．有垂直渐近线x=1D ．没有渐近线13. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ）A ．0()f x 是()f x 极大值；B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点14. 已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（ ）实根A 一个B 两个C 三个D 四个15. 设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的 （ ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件 二．填空题1．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =2． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭3． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是 4．()y f x =由方程33sin 60x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 5．设()10110n n n f x a x a x a x a --=++⋯++，则 ()()0n f = 6 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.7. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy____ __ 8. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ____ __9. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000___ ____10. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_____ __ 11. x xx f +-=11)(, 则)()(x f n = ___ ____12．设()f x =()f e '= 13． 7186223---=x x x y 单调区间_____ __14． )0(82>+=x x x y 单调区间___________ 15． x x x y 6941023+-=单调区间___________ 16． )1ln(2x x y ++=单调区间___________17． 53523++-=x x x y 拐点及凹或凸区间 __________ 18． )1ln(2+=x y 拐点及凹或凸区间___________ 19．)1ln(x x y +-=的极值___________ 20．x x y -+=1的极值____________21. 曲线32x y x =+的铅直渐近线为三、计算题 1.求下列函数的导数 (1)．531-=x y (2)．x x e y x+=1(3)．1004)13(-=x y (4)．122-+-=x x e y(5)．bx e y ax sin =（b a ,为常数） (6)．3cos 12e ey x x ++= (7)．xxy --+=1111 (8)．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=(9)．)1lg()1(22x e x y x -++=- (10)．)1ln(2x x y ++=(11)．xy 1tan 2= (12)． 322)13(+=x y(13)．101010lg 10x y x x =+++ (14).(2)a b y u +=(15).3333x y x =+ (16).3y =(17).2()(21)f t t t =- (18).y =(19). ln(y x = (20)．4)sin(=++xy e y x(21). x y x = (22). 22arctan()1xy x=-(23) ln(y x x = (24) 21(1)arctan cos 2y x x x =++(25) 2cos 3y x = (26) 22sin 0y x y --=(27) ln()y xy = (28) x y e y ln =2. 求下列函数的高阶导数（1）()2ln 1y x =-，求y ''； （2）()2y f x b =+，求y ''；（3）arcsin y x =，求y ''； （4）22arctan 1xy x=-，求y ''；（5）3ln y x x =，求 (4)y ； （6）11xy x-=+，求()n y ；（7）．已知2sin()0xy y π-=，求01|x y y =='及01|x y y ==-''；（8）.223=-y x y ，求22dxyd ；（9）. ln y x x = , 求 y ''.3.根据导数定义，求下列函数的导数 （1）12+=x y ，求1='x y ； （2）()ln f x x =，求()f x '.4. 求下列函数的微分 (1) 设 )ln(ln x y =，求 dy ；(2) 设ln tan 2xy =, 求dy ；(3) sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy ；(4) 221cos 5ln xx y -+= ，求 y ' 及 dy ；(5) y e = y ' 及 dy ；(6) xy e y x -=, 求 y ' 及 dy ；(7) 求 13cos x y e x -= 的微分；(8) 设 cos 2x y e = ，求 dy ；(9) 3cos cos x y x x e =+，求 dy ；(10) 求 2xe y x= 的微分.5.求下列函数的极限(1)．x xx 5tan 3sin lim π→ (2). 求02lim sin x x x e e x x x-→---(3)．22)2(sin ln lim x xx -→ππ (4)．)0(lim ≠--→a a x a x nnm m a x(5)．xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→ (6)．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(7). xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→ (8). 0lim sin x xx e e x-→-(9). 2ln cos 2lim()x x x ππ→- (10). cot limcot 3x xx π→(11). 0ln lim ln cot x xx+→ (12). 2lim x x x e -→+∞四．综合题1．设()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦，求()()n f x .2. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=.3. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '.4. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '.5. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''.6. 判断函数的单调性（1）判断函数x y e x =-的单调性.（2）判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.7．求下列函数的单调区间(1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x = (4) 2()1xf x x=+.8.求拐点及凹凸区间（1）求曲线32231214y x x x =+-+的拐点；（2）问曲线 4y x =是否有拐点；（3）求曲线y =（4）求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A．f(0)=0且f－’(0)存在B．f(0)=1且f－’(0)存在C．f(0)=0且f＋’(0)存在D．f(0)=1且f＋’(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)=e2+，则f’(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)=(e2)’+．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=xsinx，则f’()= ( )A．B．1C．D．2π正确答案：B解析：因为f’(x)=sinx+xcosx，所以=1．知识模块：一元函数微分学4．函数f(x)=在x=0处( )A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学5．设y=x2+2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：y=x2+2x一1(x＞0)，y’=2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y’(1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=，故选A．知识模块：一元函数微分学6．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x) ( )A．不可导B．可导且f(0)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．知识模块：一元函数微分学7．函数y=ex+arctanx在区间[一1，1]上( )A．单调减少B．单调增加C．无最大值D．无最小值正确答案：B解析：因y’=ex+＞0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．知识模块：一元函数微分学8．设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2，又x，f’(x)可导，所以f’’(x)可导，于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，而f’’’(0)=，故f’’(x)在x=0左、右两侧异号，故选C．知识模块：一元函数微分学9．设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf’(x)一f(x)＜0，则在区间(0，a)内是( )A．单调减少B．单调增加C．有增有减D．不增不减正确答案：A解析：在区间(0，a)内单调减少．知识模块：一元函数微分学10．点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有( )A．a=1，b=一3，c=1B．a≠0，b=0，c=1C．a=1，b=0，c为任意D．a、b为任意，c=1正确答案：B解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y’’(0)=0，得a≠0，b=0，故选B．知识模块：一元函数微分学填空题11．设f’(x)=g(x)，则[f(sin2x)]=________．正确答案：g(sin2x)sin2x解析：[f(sin2x)]=f’(sin2x)．(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x)．知识模块：一元函数微分学12．设y=(3x+1)27，则y(27)=________．正确答案：327．27！解析：对于形如y=(ax+b)n的函数，其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n－k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y(27)=27！．327．知识模块：一元函数微分学13．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=_________．正确答案：一1解析：=－f’(x0)=－1．知识模块：一元函数微分学14．函数F(x)=∫1x(2－)dt(x＞0)的单调递减区间是_________．正确答案：0＜x＜解析：由F(x)=∫1x(2一)dt(x＞0)，则F’(x)=2一．令F’(x)=0，得时，F’(x)＜0，F(x)单调递减．知识模块：一元函数微分学15．设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f’’(x0)≠0，则f’’(x0)必定_________．正确答案：不存在解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．知识模块：一元函数微分学解答题16．当h→0，f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，求f’(x0)．正确答案：因为h→0，f(x0+3h)－f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，即所以，3f’(x0)+2=0，即f’(x0)=．涉及知识点：一元函数微分学17．求曲线处的切线方程．正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x=1处有连续导数，且f’(1)=2，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设y=y(x)由所确定，求．正确答案：，由隐函数求导涉及知识点：一元函数微分学20．计算lnl．01的近似值．正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．涉及知识点：一元函数微分学给定曲线y=。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
微积分第三章习题参考答案
一.1. 2 x2e x2 e x2 c
.2.
x2 ln x
x2 c .
2
4
3. xf ( x) f ( x) c . 4. x ln x x c .
5. x arcsin x 1 x2 c .
6. 1 x cos 2x 1 sin 2x c 1 x sin2 x x sin 2x c .
6
t3 dt
t 1
6
(t 2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
1 sin 2x 1 sin12x c.
4
24
( x 3)dx 1 (2 x 2)dx
2dx
6. x2 2x 5 2 x2 2x 5 x2 2x 5
1 ln( x2 2x 5) arctan x 1 c.
2
2
p54.三.1. 令x a sin t,
§3.2不定积分的换元法(53-54)
一.1. eex c , ln | ln x | c .
2. ln | x sin x | sin x 1 sin5 x 2 sin3 x c .
5
3
ln | sin x cos x | c n 2
3.
I
(sin
4.
河北专接本数学(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函数，则f(x)在点x＝0满足[ ]．A．f’(0)＝0；B．f’(0)＝1：C．f’(0)＝3：D．f’(0)不存在．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．已知，且ψ’(2)存在，则常数a，b的值为[ ]．A．a＝2，b＝1；B．a＝－1，b＝5；C．a＝4，b＝－5；D．a＝3，b＝－3．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．下列函数在[1，e]满足拉格朗日中值定理的是[ ]．A．Inlnx＋sinx；B．；C．ln(x＋2)；D．2In(2－x)．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．已知函数f(x)具有任何阶导数，且f’(x)＝[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n)(x)是[ ]．A．n![f(x)]n＋1；B．n[f(x)]n＋1；C．[f(x)]2n；D．n![f(x)]2n．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学5．若函数y＝f(x)有f’(x0)＝，则当△x→0时，该函数在x＝x0处的微分dy是△x的[ ]．A．等价无穷小；B．同阶但不等价的无穷小；C．低阶无穷小：D．高阶无穷小．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设由方程组确定了y是X的函数，则＝[ ]．A．；B．；C．：D．．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学7．下列结论错误的是[ ]．A．如果函数f(x)在点x＝x0处连续，则f(x)在点x＝x0处可导B．如果函数f(x)在点x＝x0处不连续，则f(x)在点x＝x0处不可导C．如果函数f(x)在点x＝x0处可导，则f(x)在点x＝x0处连续；D．如果函数f(x)在点x＝x0处不可导，则f(x)在点x＝x0处也可能连续．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学8．设函数f(0)在[a，b]上连续，则下列命题正确的是[ ]．A．f(x)在[a，b]上一定有最大值和最小值；B．f(x)必在区间内部取得最小值：C．f(x)必在区间端点处取得最大值；D．若f(x)在[a，b]内有极值，则此值必为最值．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学9．设＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学填空题10．f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋2013)，则f’(0)＝_______．正确答案：2013! 涉及知识点：一元函数微分学11．设y＝1＋xey，则＝_______．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学12．设函数y＝x3－1，则当x＝2，△x＝1时，dy＝_______；△y＝_______．正确答案：12，19 涉及知识点：一元函数微分学13．设函数f(x)＝xx，则f’(x)＝_______．正确答案：f’(x)＝x2(ln x＋1) 涉及知识点：一元函数微分学14．设，其导数在x＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2 涉及知识点：一元函数微分学15．函数y＝e－x2的极大值点为_______．正确答案：极大值y(0)＝1 涉及知识点：一元函数微分学16．＝_______。
河北专接本数学(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设f(x在点x0处可导，且，则f’(x0)等于[ ]．A．0；B．－2；C．1；D．2正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学2．若，则在点x＝0处[ ]A．f(x)3不可导，g(x)可导；B．f(x)可导，g(x)不可导；C．f(x)和g(x)都可导；D．f(x)和g(x)都不可导．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学3．某购物网站规定顾客所购买的物品不超过29元时，收取5元快递费，超过29元时不收耳)(快第费，则运费m是物品价值x的( )A．连续但不可微函数B．非连续函数C．可微的函数D．单增函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学4．设f(x)在x0处可导，则下列命题中不正确的是[ ]．A．存在B．不存在C．存在D．存在正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．设f(0)＝0，且存在，则等于[ ]．A．f’(x)；B．f(0)：C．f’(0)；D．f’(0)．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学6．函数y＝esinx，则y”等于[ ]．A．esinx；B．esinx(－sinx)；C．esinx[cosx]2；D．esinx[(cos x)2－sin x]．正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．设，则f(x)在点x＝0处[ ]．A．可导；B．不连续；C．连续但不可导；D．无定义．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学8．已知y＝x ln x，则y(12)等于[ ]．A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学9．设函数f(x)在x0处可导，则函数｜f(x)｜在x0处[ ]．A．必定不可导；B．必定可导；C．必定不连续；D．必定连续．正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在x0处可导，且＝( )．A．B．1C．D．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学11．已知y＝e－2xsin(3＋5x)，则微分dy＝( )A．e－2x[－5 cos(3＋5x)－2 sin(3＋5x)]dxB．e－2x[5 cos(3＋5x)＋2 sin(3＋5x)]dxC．e－2x[－5 cos(3＋5x)＋2sin(3＋5x)]dxD．e－2x[5 cos(3＋5x)－2 sin(3＋5x)]dx正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学12．下列关于极值的命题中，正确的是( )A．若f’(x0)＝0．则x0一定是f(x)的极值点B．极大值一定大于极小值C．若x0是f(x)的极值点，则x0一定是f(x)的驻点D．若f(x)在x0处取得极值且f’(x0)存在，则f’(x0)＝0正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学填空题13．已知，则f’(x)＝________．正确答案：2x 涉及知识点：一元函数微分学14．一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s(t)＝3t2＋1，t ＝2时的瞬时速度为_______．正确答案：l 2 涉及知识点：一元函数微分学15．y＝3—2ex在x＝0处的切线的斜率是_______．正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学16．曲线在点M处的切线斜率是3，则点M的坐标是_______．正确答案：(－1,0) 涉及知识点：一元函数微分学17．设y＝x22x＋esin 1，则y’＝_______．正确答案：y’＝2x＋1x＋x22xln 2 涉及知识点：一元函数微分学18．曲线y＝x2＋2x－3上切线斜率为6的点是_______．正确答案：(2，5) 涉及知识点：一元函数微分学19．设f(x)＝(x－1)(x－2)2(x－3)3(x－4)4，则f’(1)＝_______．正确答案：-648 涉及知识点：一元函数微分学20．设y＝xn＋3xn－1＋sin 1，则y(n)＝_______．正确答案：n! 涉及知识点：一元函数微分学21．曲线y＝x－在点(1，0)处的法线方程是_______．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学解答题解答时应写出推理、演算步骤。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
《一元函数微积分习题1-1到1-9》答案
《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,. 2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫ ⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同 因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x x x x f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ )()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数.(2)323x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)2211x x y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数.(5)1cos sin +-=x x y ;解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2xx a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=-- 所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数.(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数.且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .(2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .(4) x x y cos =;解: 非周期函数(5) x y 2sin =;解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .(6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.(2) u a y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.(3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u .(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y ax . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 122+=x xy . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2 反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ;当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x x y 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p .达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-= 圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数.由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F)(2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+n n 1111，即ε1>n 。
2成考高数之一元函数微分复习题与解析
方舟数学
）
A.单调增加
B.单调减少
C.先单调增加，后单调减少
D.先单调减少，后单调增加
14.设函数()在区间[, ]连续,在(, )可导，′() > 0.若() ∙ () < 0,则
y = ()在(, )（
A.不存在零点
）
B.存在唯一零点
15.( 2) =（
.
解析：考查导数的几何意义：y′ = 1 − sin ,切线斜率 = y ′ |=0 = 1
8. 曲线y = + 2 在点(0,1)处的切线方程为
.
解析：考查导数的几何意义：先求出y ′ = + 2
即切线斜率 = y ′ |=0 = 0 + 0 = 1
y − 1 = 1 ∙ ( − 0)得：y = + 1
10.设函数() = ln(3)，则′(2) =（
A.6
）
1
B. ln 6
1
C.2
D. 6
1
1
解析：′() = ，所以 = 2代入′()得′(2) = 2，答案为 C
11.设函数() = ln ，则′′() =（
1
1
A.
）
1
B. 2
2
C.− 2
1
D.−
14.设函数()在区间[, ]连续,在(, )可导，′() > 0.若() ∙ () < 0,则
y = ()在(, )（
A.不存在零点
）
B.存在唯一零点
C.存在极大值点
D.存在极小值点
解析：考查零点定理：′() > 0单调递增，() ∙ () < 0所以连续函数y = ()
专升本(国家)-专升本高等数学(二)分类模拟一元函数微分学(三).doc
专升本高等数学（-）分类模拟一元函数微分学（三）一、选择题丄、若下列各极限都存在，其中等式不成立的是2、已知函数f (X)在点Xo 处可导，Hf* (x 0)=2.则4T h等于A. 0 B ・ 1 C. 2 D ・ 43、 设f (x)在X 。
处不连续，则A. f (x 0)必存在B. f 1 (x 0)必不存在 ________________lim/(jr)lim /Xx)C. L 心必存在 D. TF 、 必不存在4、 椭圆x 2 + 2y 2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为 _________丄 丄.A ・-1B ・ 2 C. 2 D ・ 15、 设 y=x _3+3,则 y ，等于 _______A ・—3x —°B ・ 一3厂2C ・ 3x -4D ・-3x _4 + 3 6、 设£(x)=cos2x,贝Ijf 1 (0)等于 ____________ A. -2 B. -1 C ・ 0 D ・ 2 7、设函数f (x)=e _x2,贝Ijf n (x)等于 ____________A. e _x2 (2X 2-1)B. e 2 (1-2X 2)二、填空题则f ‘（o ）=9、曲线y=yx 在点（o, 1）处的切线的斜率k 为 _______A.JClim 空二^=心) B L& 工_・0c.liH /(a+2A)-/(c2)h=f (a)limD.A TC ・ 2e 2 (2X 2-1) D. 2e 2 (l-2x 2)/（龙）=（岛+1）10、设函数匸 1设函数，_1十2巴则W ______ •设函数y=sin In (x3),则y，= ___________ .设函数y=cos (e_x),则y f (0)= ____________设函数y=e cosx,则y”= __________y=^设函数占设函数f (x)=x3lnx,则f n (1)= ____________设函数y(r_2)=a x+x a+a a (a>0, a/1),则yE= _________________设函数y=e2x,则y n (0)= __________ ・设函数y=cos2 (-x),贝ljdy= __________ •解答题设函数f (x)在点x=0处可导,且f 1 (0) =1,求3云一2工、工£0,. 郸nox+氛工＞°在沪0处可导，求“b的值.(设函数心)设函数/(7^)=sinx,y=ln设函数2—w2+龙则f”(i)= _________f(x)=讨论函数工＞2在点x=1, x=2处的连续性和可导性.求下列函数的导数.26、27、28、设函数y设函数丄十広,求w・1 + JCy= arctan ■, _设函数1—工，求w.29、设函数》=4+分• Sm［nX，求八求下列隐函数的导数.30、求由方程e y=xy所确定的隐函数y=y (x)的导数血•31、设y=y (x)由方程e x-e y=sin (xy)所确定，求归用对数求导法求导数.32>设函数y= (lnx) x,求y'・33、设函数y=(tanx)sinx,求y —求下列函数的高阶导数.34、设函数y=xJ_nx,求y".=工35、设函数,求y”・36、设函数y=(丄+x?) arctanx,求y”・37、设函数』一由(工+丿1十工)求求微分.38、设函数y=x°sinx,求dy・39、设函数y=lm(l-x2),黍dy.40、设函数y=JXcosx,求dy.Intan 寻 +41、设函数/ ,求dy.答案：一、选择题z=O1> C ［解析］利用导数f(x)在点X。
高等数学一元函数微积分测试题
高等数学一元函数微积分测试题（时间：120分钟）1. 已知()1,0x r r =>，1n x +=lim n n x →∞．2. （1）0x →时，用幂函数表示()()111tan 1sin nnn nxx +-+的等价无穷小；（2）求()()20tan sin sin tan lim n n n x x x x +→-．3. 从椭圆()22221,0x y a b a b+=<<的焦点()0,C c 发射出一束光线，射到椭圆上一点()00,x y 上；（1）证明：反射光线必经过椭圆的另一个焦点()0,C c '-；（2）若反射光线再次射到椭圆上一点，记为()11,x y ，经再次反射射到点()22,x y ……依此类推，求lim n n x →∞和lim n n y →∞．4. 若函数()f x 在定义域内无穷阶可导，则称它是“光滑函数”证明：函数()4,0,0x x f x ex --=⎧⎪=⎨≠⎪⎩是光滑函数．5. 将曲线sin ,(0)2cos n nx t t y tπ⎧=<<⎨=⎩与坐标轴围成的面积用B 函数和Γ函数表示并求值． 6. 证明220130log tan d x x π⎰的敛散性；若收敛则求值．参考答案： 1.1．2. （1）212n x +； （2）0． 3. （2）0；b ．5.()()()()222!k!,22!1221,11122221+222,212+1!k n kn n k n n n n k n k k n k k π=⎛⎫⎛⎫Γ+Γ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭B +==∈ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫Γ+-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+N ．6. 收敛；0．。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(三)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(三)(总分：91.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：7，分数：13.00)1.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断．选项A中，[*]，原等式成立．选项B中，[*]，原等式成立．选项C中，[*]，原等式不成立．选项D中，[*]，原等式成立．2.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]．3.设f(x)在x0处不连续，则A．f(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在______C．必存在 D必不存在（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导．4.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A．-1 B． C D．1（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 方程两边对x求导数，可得2x+4y·y'=0，即[*]．由于切点处的横坐标与纵坐标相等，即x=y．因此所求的切线斜率为[*]．5.设y=x-3+3，则y'等于______∙ A.-3x-4∙ B.-3x-2∙ C.3x-4∙ D.-3x-4+3（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] y'=3x-4．6.设f(x)=cos2x，则f'(0)等于______∙ A.-2∙ B.-1∙ C.0∙ D.2（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] f'(x)=-2sin2x，f(0)=-2sin0=0．7.设函数f(x)=e-x2，则f"(x)等于______∙ A.e-x2(2x2-1)∙ B.e2(1-2x2)∙ C.2e2(2x2-1)∙ D.2e2(1-2x2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y'=e-x2·(-x2)'=-2xe-x2，y"=-2e-x2+4xe-x2=2e-x2(2x2-1)．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：15，分数：30.00)8.f'(0)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*] 依题意，有[*]，于是有[*]9.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，[*]10.f'(x)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]11.，则y' 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]12.设函数y=sin ln(x3)，则y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]13.设函数y=cos(e-x)，则y'(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：sin1）解析：y'=-sin(e-x)·(e-x)'=sin(e-x)·e-x，y'(0)=sin1．14.f'(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：作变量代换，令[*]，则[*]，所以[*]15.，则f'(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2xcosx2）解析：令[*]=t，x=t2，则f(t)=sint2，即f(x)=sinx2，所以f'(x)=cos2·(x2)'=2xcosx2．16.f"(1)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：f(x)=ln(2-x)=ln(2+x)，[*] [*]17.设函数y=e cosx，则y"= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e cosx(sin2x-cosx)）解析：y'=e cosx·(-sinx)，y"=e cosx·sin2x+e cosx·(-cosx)=e cosx(sin2x-cosx)．18.y"= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]19.设函数f(x)=x3lnx，则f"(1)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：5）解析：f'(x)=3x2lnx+x3·[*]=3x2lnx+x2，f"(x)=6xlnx+3x2·[*]+2x=6xlnx+5x，f"(1)=5．20.设函数y(n-2)=a x+x a+a a(a＞0，a≠1)，则y(n)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：a x ln2a+a(a-1)x a-2）解析：y(n-1)=a x lna+ax a-1，y(n)=a x ln2a+a(a-1)x a-2．21.设函数y=e2x，则y"(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：4）解析：y'=e2x·(2x)'=2e2x，y"=2e2x·(2x)'=4e2x，y"(0)=4．22.设函数y=cos2(-x)，则dy=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-sin2xdx）解析：y'=2cos(-x)·[cos(-x)]'=2cos(-x)[-sin(-x)](-x)'=-sin2x， dy=-sin2xdx．三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：48.00)求下列函数的导数．（分数：12.00）(1).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列隐函数的导数．（分数：6.00）(1).求由方程e y=xy所确定的隐函数y=y(x) 3.00）正确答案：(方程两边同时对x求导，得e y·y'=y+x·y',(e y-x)y'=y，[*])解析：(2).设y=y(x)由方程e x-e y=sin(xy) 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程两边同时对x求导，得e x-e y·y'=cos(xy)·(y+xy')，[e y+xcos(xy)]y'=e x-ycos(xy)．[*]当x=0时，代入所给方程，即e0-e y=sin0，得y=0．[*])解析：用对数求导法求导数．（分数：6.00）(1).设函数y=(lnx)x，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=xln(lnx)，等式两边同时对x求导，得[*] 所以[*]) 解析：(2).设函数y=(tanx)sinx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=sinxln(tanx)，等式两边同时对x求导，得[*] [*]·y'=cosx·ln(tanx)+secx，所以y'=(tanx)sinx[cosx·ln(tanx)+secx]．)解析：求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）(1).设函数y=xlnx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=(x)'1nx+x(lnx)'=lnx+x·[*]=Inx+1，y"=(lnx+1)'=[*]．)解析：(2).y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] [*])解析：(3).设函数y=(1+x2)arctanx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=2xarctanx+(1+x2·[*]=2xarctanx+1，y"=2arctanx+[*])解析：(4).y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求微分．（分数：12.00）(1).设函数y=x4sinx，求dy．（分数：3.00）正确答案：(y"=4x3sinx+x4cosx，dy=y'dx=(4x3sinx+x4cosx)dx．)解析：(2).设函数y=ln(1-x2)，求dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数y=e-x cosx，求dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e-x(-x)'cosx+e-x(-sinx)=-e-x(sinx+cosx)，dy=y'dx=-e-x(sinx+cosx)dx．)解析：(4).dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]dy=y'dx=[cscx+e xlnx(lnx+1)]dx．)解析：。
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(三)_真题-无答案
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(三)(总分86,考试时间90分钟)一、选择题1. 函数f(x)=x在区间[0，3]上使罗尔定理成立的ξ=______A.1 B.2 C.-1 D.-22. 函数f(x)=e-xsinx在区间[0，π]上使罗尔定理成立的ξ=______A．B．πC．D．3. 函数f(x)=x3+2x在区间[0，1]上使拉格朗日中值定理成立的ξ=______A．B．C．±D．±4. 设函数f(x)在区间(a，b)内可导，x1和x2(x1＜x2)是(a，b)内任意两点，则下列结论正确的是______A.f(x2)-f(x1)=f'(x1)(x2-x1) B.在x1与x2之间恰好有一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) C.在x1与x2之间至少有一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) D.对于x1与x2之间的任意一点ξ，均有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)5. 函数的单调减少区间是______A.(-∞，-2)∪(2，+∞) B.(-2，2) C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(-2，0)∪(0，2)6. 函数y=ln(1+x2)在(-∞，+∞)内______A.单调增加 B.单调减少 C.先减后增 D.先增后减7. 以下结论正确的是______A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点 B.若x0为f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点 C.若f(x)在点x0处有极值，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0 D.若f(x)在点x0处连续，则f'(x0)一定存在8. 曲线y=6x-24x2+x4的凸(下凹)区间是______A.(-2，2) B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.(-∞，+∞)9. 设函数y=f(x)二阶可导，且f'(x)＜0，f'(x)＜0，又Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，dy=f'(x)Δx．则当Δx ＞0时，有______A.Δy＞dy＞0 B.Δy＜dy＜0 C.dy＞Δy＞0 D.dy＜Δy＜010. 曲线y=______A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线，又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线 D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线二、填空题1. 函数y=ln(x+1)在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=______．2. 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=______．3. 设函数y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为______．4. 函数f(x)=在区间[0，4]上的最大值点x=______．5. 设函数f(x)在区间[a，b](a＜b)上可导，且f'(x)＜0，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为______．6. 曲线y=x3-3x+1的拐点是______．7. 曲线y=的水平渐近线为______，铅直渐近线为______．三、解答题求下列极限．1.2.3. 求4. 求5. 求6. 求7. 求求下列函数的极值．8. 设f(x)=xe-x，求函数f(x)的极值．9. 求函数y=x3-3x2-9x+1的极值．10. 求函数y=x3-3x2-1的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．11. 求函数(x≠0)在区间[1，6]上的最大值和最小值．12. 求的渐近线．13. 设有一根长为l的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为S2，证明当S1+S2为最小值时．14. 将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如下图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做一个无盖的正三棱柱盒子，问当图中的x取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积．15. 欲做一个底为正方形，容积为108cm3的长方体无盖容积，问长方体的底面边长和高为多少时，用料最少，最少用料为多少?16. 计划建造一个深为4m，容积为1600m2的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元?17. 证明：当x≥0时，x≥arctanx．18. 证明：当x＞1时，．19. 证明：当x＞0时，．20. 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，证明方程f'(x)=0仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内．21. 设f(x)在(-∞，+∞)上可导，且f'(x)≠1，证明f(x)=x最多有一个实根．。
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第三章 一元函数积分学
1、计算下列不定积分 （1）⎰
-9
42
x dx （2）
⎰++dx x x 521
2
（3）
⎰
+-2
45x
x dx
（4）⎰
+dx x 922
（5）dx x
e x
⎰
-+
)12(2
（6）dx x
x 2
)2
cos 2(sin ⎰-
（7）dx x x x ⎰
-)tan (sec sec （8）
dx x x x
⎰-sin cos 2cos
2、计算下列不定积分 （1）⎰+-dx x
x x )
1)(12(
（2）dx x ⎰
-
)3
2cos(π
（3）dx x ⎰
-3
2)12(
（4）dx x x ⎰
2
cos
（5）dx x ⎰
-232
（6）xdx e x cos 2⎰
（7）⎰
dx x x 2
arcsin （8）
⎰+22)9(x dx
（9）⎰x dx 3sin
（10）xdx e x 3sin 2⎰
-
（11）⎰
xdx x 5sin 3sin
3、计算下列不定积分 （1）dx x x ⎰
++3
1
31
（2）
dx x
x
⎰+
3
1
（3）dx x
x
⎰-2
41
（4）
dx x x ⎰
-2
29
（5）dx x x ⎰
+2
22
)1( （6）
⎰+dx x
x )
1(110
4、计算下列不定积分 （1）xdx x cos 2⎰
（2）⎰
dx e x x 32
（3）⎰
+dx x x )1ln(4
（4）xdx x arccos 2⎰
（5）dx x
x
x ⎰
-+11ln
（6）⎰
xdx arc cot
（7）dx x x ⎰
++)1ln(2
（8）
dx x
x x ⎰
-2
1arcsin
5、求下列极限 （1）3
4
1lim
x dt t x
x ⎰
++∞
→
（2）2
)1ln(lim
x dt t x
x ⎰+→
6、计算下列定积分 （1）dx x x
⎰
--+2
1
3
（2）
dx x x ⎰
-+1
1
23)3(
（3）dx x x ⎰
+5
2
3
1
（4）
dx x
x ⎰
-+210
2
11
（5）⎰+1
01x
e dx
（6）
dx x x
⎰
-7
4
3
（7）
⎰
+2
1
ln 1e x
x dx
（8）
dx x )2
(cos 0
2⎰
π
7、计算下列定积分
（1）dx x
x
e
⎰+1ln 1
（2）
dx e x ⎰
-2
ln 0
1
（3）dx x
x
⎰++3
11 （4）
dx e
e x
x
⎰
+2
ln 0
21 （5）dx x
x ⎰
-2
1
21
（6）
dx x ⎰
-1
24
8、计算下列定积分 （1）dx x
⎰+1
2
)1ln(
（2）
dx x ⎰3
1
arctan
（3）dx e
x ⎰-1
2
11
2
（4）
xdx x
2cos 2
⎰-
π
π
9、求下列图形的面积 （1）曲线x
x
e y e y -==,与直线1=x 所围成的图形
（2）曲线x y 22
=与022=-+x y 所围成的图形
（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形
10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2
ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.
11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积 （1）1,12
+=+=x y x y
（2）e x y x y ===,0,ln
（3）1,0,3===x y x y
12、在曲线)0(2
≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为12
1， 试求：
（1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程
（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积
13、已知曲线三角形由抛物线x y 22
=及直线1,0==y x 所围成，求 （1）曲边三角形的面积；
（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积
14、求由曲线x
e y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋
转体的体积.
习题答案
1、（1）C x x +-+942ln 2
1
2
；（2）C x ++2
1
arctan
21；
（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）
C x x x x +++++)922ln(4
2992222；（5）C x e x
++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；
（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、 （1）C x x x x +--+21
2
3
2
23
4
（2）
C x +-)32sin(21π
（3）C x +-35
)12(10
3
（4）
C x +2sin 2
1
（5）
C x x x x +-+--233ln 3
323222 （6）C x x e x
++)cos 2(sin 5
12
（7）C x x
x x +-+
-2244
2arcsin )12( （8）
C x x x ++
+3arctan 541)
9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 2
1
sin 2cos 2 （10）C x x e x
++--)3cos 33sin 2(13
2 （11）C x x ++-
2sin 4
1
8sin 161 3、 （1）C x x +++32
)13)(2(5
1
；
（2）C x x x x +-+-61
21
6
5
67
arctan 625
676
（3）C x
x +--2
42ln
21； （4）C x
x x x +--
-+9
9ln 22
（5）C x x
x ++⋅
-2
121arctan 21 （6）C x x ++10
10
1ln
101 4、 （1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2
（2）
C e xe e x x
x x ++-333227
29231 （3）
C x x x x ++-+2242
arctan )1ln(2
1 （4）C x x x x +-+-22
219
2arccos 3
（5）
C x
x x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++
1)1ln(22
（8）C x x x ++--arcsin 12 5、 （1）
31；（2）2
1 6、 （1）12ln 3-； （2）2；
（3）
)26ln 25(2
1
- （4）
123
6
+-
π
（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）
3
32 （7）)13(2- （8）
2
π 7、 （1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）3
3π
-；（6）233+π
8、 （1）
2ln 22
+-π
（2）316
5
-+π
（3）1
（4）π
9、 （1）21
-+-e e （2）4
9
（3）
3
2 10、3=a 11、（1）6,157ππ==
y x V V ；
（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ5
2
,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30
π
=x V
13、（1）61；（2）4
π； 14、)21(21
--e π。