28.斜弯曲
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2、内力及截面惯性矩的计算
M max
ql 2 2.1 103 N/m 4 2 m 2 8 8
,
4200Nm 4.2 kN m
屋面坡度为1:2：
tan 1 2
26 34
o
sin 0.447
cos 0.894
惯性矩为：
bh 120 mm (180 mm) Iz 0.583 108 mm4 12 12
3 3
0.583 10 m
3
4
4
3
hb 180 mm (120 mm) Iy 0.259 108 mm4 12 12
y max
h b 90 mm, z max 60 mm 2 2
3、强度校核
max
ymax Z max M max ( cos sin ) Iz Iy
分 布 规 律
z
z
z
M
计算 公式
N A
Q A
M n Ip
QS * I zb
Mzy Iz
组合变形
一、组合变形的概念 1、组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以 上的基本变形组合而成的。
1.5m
YA
T Tx C
Ty B P
XA
A A 2m 1m C B P
（2）、内力计算Mz=Fy x=Fcosφ• x=Mcosφ My=Fzx=Fsinφ•x=Msinφ
Z F φ y
2、应力的计算
M y M cos z y Iz Iz
M yz Iy
M sin z Iy
Mz y M yz M cos M sin I I I y I z z y z y
3、中性轴方程 M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
y0 Iz tg tg z0 Iy
中性轴
Fz 上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中 性轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 z 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， D1 φ 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 Fy 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 F 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 y 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正多边形 等的截面，无论力作用在哪个纵向平面内，梁只发生平面弯曲。
90 103 m 60 103 m 4200N m ( 0.894 0.447) 4 4 4 4 0.583 10 m 0.259 10 m
=10.16×106N/㎡=10.16MPa＞
10MPa
但最大工作应力不超过许用应力的5%， 故满足强度要求。
2. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） 二、计算原理、方法 ：
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作 用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解----应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。 后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的 结果。
斜弯曲 教学目的：
1、了解组合变形的概念 2、了解解决组合变形的方法步骤 3、掌握斜弯曲的概念及计算
重 点
1、组合变形的概念及解决方法； 2、斜弯曲的概念； 3、斜弯曲的计算。Baidu Nhomakorabea
难 点
斜弯曲的计算。
四种基本变形计算：
变形 外力 内力 (M) 应力 轴向拉压 轴向力 轴力(Ｎ) 正应力 剪切 横向力 剪力(V) 剪应力 扭转 外力偶 扭矩(Ｍn) 剪应力 平面弯曲A 横向力或外力偶 剪力(V) 剪应力 弯矩 正应力
三、 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称内 变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
如果我们将载荷沿两主形心轴 分解，此时梁在两个分载荷作 用下，分别在横向对称平面 ( XOZ 平面）和竖向对称平面 （ xoy 平面）内发生平面弯曲， 这类梁的弯曲变形称为斜弯曲， 它是两个互相垂直方向的平面 弯曲的组合。
D2
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周 边作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2
四、强度条件
压 max D1
中性轴
D2
Fz φ
拉max 拉
z D1 F y Fy
压max 压
F
q
Me
B
纵
向
对称面
A
x
FAy
M y F1 x
M z F2 x a
y
F2
FBy
a
z
x
M y z M z y Iz Iy
x
F1
y
M yz Iy
Mzy Iz
1、斜弯曲时杆件的内力计算
（1）.外力分解：Fz=Fsinφ Fy=Fcosφ
例题 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2，两屋架之间的距离为4m， 木檩条梁的间距为1.5m，屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁 采用120mm×180mm的矩形截面，许用应力[σ]=1 0MPa，试校核木檩 条梁的强度。
解：1、将实际结构简化为计算简图
q=1.4kN/㎡×1.5m=2.1kN/m，
危险点的确定：对于具有凸角又有两条对称轴 的截面（矩形、工字形）最大拉压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max M y max M z max Wy Wz max
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置，离中性轴 最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。
M max
ql 2 2.1 103 N/m 4 2 m 2 8 8
,
4200Nm 4.2 kN m
屋面坡度为1:2：
tan 1 2
26 34
o
sin 0.447
cos 0.894
惯性矩为：
bh 120 mm (180 mm) Iz 0.583 108 mm4 12 12
3 3
0.583 10 m
3
4
4
3
hb 180 mm (120 mm) Iy 0.259 108 mm4 12 12
y max
h b 90 mm, z max 60 mm 2 2
3、强度校核
max
ymax Z max M max ( cos sin ) Iz Iy
分 布 规 律
z
z
z
M
计算 公式
N A
Q A
M n Ip
QS * I zb
Mzy Iz
组合变形
一、组合变形的概念 1、组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以 上的基本变形组合而成的。
1.5m
YA
T Tx C
Ty B P
XA
A A 2m 1m C B P
（2）、内力计算Mz=Fy x=Fcosφ• x=Mcosφ My=Fzx=Fsinφ•x=Msinφ
Z F φ y
2、应力的计算
M y M cos z y Iz Iz
M yz Iy
M sin z Iy
Mz y M yz M cos M sin I I I y I z z y z y
3、中性轴方程 M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
y0 Iz tg tg z0 Iy
中性轴
Fz 上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中 性轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 z 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， D1 φ 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 Fy 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 F 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 y 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正多边形 等的截面，无论力作用在哪个纵向平面内，梁只发生平面弯曲。
90 103 m 60 103 m 4200N m ( 0.894 0.447) 4 4 4 4 0.583 10 m 0.259 10 m
=10.16×106N/㎡=10.16MPa＞
10MPa
但最大工作应力不超过许用应力的5%， 故满足强度要求。
2. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） 二、计算原理、方法 ：
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作 用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解----应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。 后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的 结果。
斜弯曲 教学目的：
1、了解组合变形的概念 2、了解解决组合变形的方法步骤 3、掌握斜弯曲的概念及计算
重 点
1、组合变形的概念及解决方法； 2、斜弯曲的概念； 3、斜弯曲的计算。Baidu Nhomakorabea
难 点
斜弯曲的计算。
四种基本变形计算：
变形 外力 内力 (M) 应力 轴向拉压 轴向力 轴力(Ｎ) 正应力 剪切 横向力 剪力(V) 剪应力 扭转 外力偶 扭矩(Ｍn) 剪应力 平面弯曲A 横向力或外力偶 剪力(V) 剪应力 弯矩 正应力
三、 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称内 变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
如果我们将载荷沿两主形心轴 分解，此时梁在两个分载荷作 用下，分别在横向对称平面 ( XOZ 平面）和竖向对称平面 （ xoy 平面）内发生平面弯曲， 这类梁的弯曲变形称为斜弯曲， 它是两个互相垂直方向的平面 弯曲的组合。
D2
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周 边作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2
四、强度条件
压 max D1
中性轴
D2
Fz φ
拉max 拉
z D1 F y Fy
压max 压
F
q
Me
B
纵
向
对称面
A
x
FAy
M y F1 x
M z F2 x a
y
F2
FBy
a
z
x
M y z M z y Iz Iy
x
F1
y
M yz Iy
Mzy Iz
1、斜弯曲时杆件的内力计算
（1）.外力分解：Fz=Fsinφ Fy=Fcosφ
例题 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2，两屋架之间的距离为4m， 木檩条梁的间距为1.5m，屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁 采用120mm×180mm的矩形截面，许用应力[σ]=1 0MPa，试校核木檩 条梁的强度。
解：1、将实际结构简化为计算简图
q=1.4kN/㎡×1.5m=2.1kN/m，
危险点的确定：对于具有凸角又有两条对称轴 的截面（矩形、工字形）最大拉压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max M y max M z max Wy Wz max
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置，离中性轴 最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。