2016年福建教师招聘《中学数学》真题解析

2016年4月17 日福建教师招聘
中学数学》
一、单项选择题（10题，每题5分）
1.已知复数Z满足：（i 为虚数单位），则z等于（）
A.3/2 –1/2i
B.3/2+1/2i
C.-1+3i
D.-1/2+3/2i
1. 【答案】B.解析：，故选B.
2.已知集合A={X|y= √（1 -x）,x
∈R},B={y|y= +2x- 2}, 则A∩B等于（
A．Φ B.[- 3,+ ∞） C.[-3,- ∞） D.[-3.1]
【答案】D.解析：，
，选D.
3.下列命题错误的是（）
A.对于任意的实数a与b，均有|a|+|b| ≥|a+b|
B.存在a∈R,使得sin2a=2sina
C.存在a∈R对任意x∈R，使得<0
D.若（1+x）8=a0+a1x+a2x2+...a8x8, 则a4>a5 【答案】A.对于A中不等式，当且仅当a、b符号相同时等号成立。

4.方程表示的曲线是（）
A. 两条射线
B. 两个半圆
C.一个圆
D.两个圆
【答案】B.解析：方程可化为，且可得定义域为即或且在
时对称，因为圆的圆心在（2,0 ）所以图像为两个半圆，选B.
，是函数图像与
A.f(1) ≥23
B.f(1)=23
C.f(1) ≤23
D.f(1) > 23
5.已知函数f （x）=4 - 2nx+3在区间[-2,+∞）上是增函数，则f（1）的取值范围
是（）
答案】A.解析：因为函数f（x）=4 - 2nx+3在区间［- 2,+ ∞）上是增函数，所以函数的对称轴，，故选A.
6.设是两个平面，可推得的条件是（）
A．存在一条知识
B．存在一条直线
C．存在两条异面直线
D．存在两条平行直线
6. 【答案】Ｃ。

解析：Ａ显然不对只涉及一个平面。

Ｂ项如果相交，, 且ａ平行于
的交线，这时。

Ｄ项如果相交，，如果ａ∥ｂ并且平行于的
交线，这时，。

7.若圆
+kx+my-4=0与直线y=kx+1交于M,N两点且M,N两点关于直线x+y=0对称，则不等式组
，所表示的平面区域的面积是（）
C.1
D.2
A.1/
B.1/
A.f(1) ≥23
B.f(1)=23
C.f(1) ≤23
D.f(1) > 23
8.设函数f(x) 在[a,b] 上连续，则f(a).f(b) <0是方程f(x)=0 在( a,b )上至少有一根的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A.解析:根据零点存在性定理可得充分性，而方程f(x)=0 在( a,b )上至少有一根可得
f (a).f(b) 0，所以为不必要，选A.
9.下列可以用来描述知识与技能的理解水平的行为动词是()
A. 知道
B. 判断
C.分析
D.证明
【答案】 B.解析：判断为描述知识与技能的理解水平，知道为描述了解水平，分析和证明则为描述掌握水平的行为动词，故选B.
10.对于求函数f(x)=x3+2x2 - x+1,x ∈[- 1,3] 最大值的问题，下列关于该问题的解题过程所蕴涵的主要数学思想的表述中，不恰当的一项是()
A. 方程与函数思想
B. 特殊与一般思想
C.化归与转化思想
D.有限与无限思想
【答案】D.本题在结果过程中采用将原函数求导，并根据其导函数的取值范围确定原函数的单调性，再通过单调性判别最大值，分别体现了方程与函数、特殊与一般、以及化归与转化的思想，没有体现有限与无限的思想。

、填空题(共5题，共20分) 6空分值为4/4/4/2/2/4
11. 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和n ，记向量 ] 的概率是
11.【 答案】 。

解析：由题意并根据两个向量的夹角公式可得
由于所有的(ｍ，ｎ)共有６×６＝３６个，而满足ｎ－ｍ≥０的(ｍ，ｎ)共有２ 的概率为 。

12. 已知方程 xlnx - a=0有两个实数根，则 a 的取值范围是 ___。

13. 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律
的
答案】科学语言.
14. 建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问
题，用
等式、函数等表示数学问题中的 ___和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

答案】数学符号，数量关系.
15. 某地区山羊患某种病的概率是 0.4 ，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防 药，为了解药效任选 5只羊做实验，结果这 5只羊服用此药后均未患病，经计算得 5只羊都不生病的概 率为P=(1 - 0.4)5 ≈0.078, 据此推断这种新药是有效的。

这样一种推理过程根据的是 ___原理。

【答案】合情推理
三、简答题 12分
16. 下列是某次学生的作业，请阅读并回答问题
题目：解方程
b=(- 3,3) 的夹角为θ，则θ∈( 0， １个，故
答案】 解析：令
时， f(x) 单调递减，
时， f(x) 单调递增，最小值为
和有效工具。

建立方程、不
解：原方程可化为
x-2=2x-1
x=-1
所以原方程的解x= -1
问题：（1）指出解题过程的错误之处，并分析产生错误的原因（4分）
（2）给出正确解法，并简述应采取哪些教学措施以避免此类错误的发生（8分）答案】详见解析
（１）解方程时没有首先考虑定义域，对数函数的运算法则没有理解透，是不正确的，当真数的幂指数为偶数时提到前面作为系数，此时真数是要加绝对值的。

导致解出来的这个根其实是增根，不符合题意的，正确的解却被遗漏了。

２）正确的解法是：原方程的定义域为
联立解得：ｘ＝１。

教学过程中要强调解方程时首先要考虑定义域，这是隐含的条件，也是必须要考虑的条件。

其次
运算法则适用的范围要记清楚，不要混淆。

引导学生自主思考、归纳、总结，帮助学生更好地学习知识、培养能力。

四、解答题（4题，每题12分）
17.已知向量m=（sinx,cosx ）,n=（cosx,cosx）,f（x）=m.n
（1）求函数f（x）的最小正周期（6分）
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围（6分）
1）
答案】
解析：1）
18已知数列{an} 满足
1）求的通项公式。

2）若求数列的前n项和
答案】（1）（2）
解析：（1）⋯⋯，将上式累加得到：
（2），利用分组求和法：分为三个数列分组求和得：
19.已知函数f（x）=ex（ax -1）
（1）当a=2时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程（4分）（2）判断f（x）的单调性（8分）
【答案】（1）x-y- 1=0（2）在上单调递增，在上单调递减
解析：（1）a=2, , , ,
所以综上所述
2
函数在 上单调递增，在 上单调递减
20. 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a >b >0），离心率为 1/2 ，F1为左焦点，椭圆上的动点 P 到焦点F1的 最大距离等于6
（ 1）求椭圆的方程（ 6分）
（2）若点P 与直线x-2y+t=0的最小距离d ∈[√5, ＋∞）, 求实数t 的取值范围（ 6分） 答案】（ 1） （2）
根据题意有当 m=8时t>m ，当m= - 8时， t<m.根据平行线间距离公式得，当 m=8时：
或3（舍），同理当 m= - 8时，t= - 13,综上可得
五、综合应用题（ 20分）
21. 下列是普通高中课程标准实验教科书必修《数学》第四册（人教版）关于“简单的三角恒等 变换”的部分教学内容，请阅读并据此回答问题。

例2. 求证：( 1)sin αcos β=1/2[sin( α+β)+sin( α - β )];
(2)
证明：( 1)因为 sin( α +β )=sin α cos β +cos α sin β
sin( α - β )=sin α cos β -cos α sin β
将以上两式的左右两边分别相加得
sin( α +β )+sin( α - β )=2sin α cos β
即 sin α cos β =1/2[sin( α +β )+sin( α - β )]
(2) 有( 1)可得sin( α+β)+sin( α - β)=2sin αcos β 设α +β =θ，α - β =φ
解析：（ 1） ， ，所以椭圆方程为
（2） 设椭圆与该直线平行的切线为x - 2y+m=0,带入到椭圆方程中，
得， 有，
(2)
那么α=（θ+φ）/2, β=（θ - φ）/2 把α，β的值带入（ 1）即得
问题：（ 1）写出该部分教学内容的教学目标、重点和难点（ 5分）
（2）写出该部分教学内容的教学应渗透的数学思想（ 2分）
（3）对该内容设计教学过程简案（ 8分）
（4）对例 2（2）给出另一种证明（ 5分）
【答案】详见解析
解析：（ 1）教学目标：
1、知识与技能：掌握三角恒等变换公式，能用三角恒等变换公式及二倍角公式正确解决简单的 三角恒等变换问题。

2、过程与方法：通过解决简单三角恒等变换问题，提升基础知识到实际运用的能力。

3、情感态度价值观：从问题的前后设置，感受数学知识运用的联系，体会逆向使用公式的思想 ，提高推理能力，激发数学学习的兴趣。

教学重难点：
1、教学重点：运用三角恒等变换公式解决简单的三角恒等变换问题。

2、教学难点：运用三角恒等变换公式以及倍角公式正确解决简单的三角恒等变换问题。

（2） 转化思想、类比思想
（3） 教学过程：
一、复习引入：复习三角函数和差公式以及倍角公式
、探索新知：问题：思考 与 的关系。

尝试用 表示
总结出：
三、课堂练习：求证：( 1)sin α cos β=1/2[sin( α+β)+sin( α - β
)];
证明：( 1)因为sin( α +β )=sin α cosβ +cosα sin β sin( α - β )=sin α cosβ - cosα sin β 将以上两式的左右两边分别相加得sin( α +β )+sin( α - β )=2sin α cosβ 即sin α cosβ =1/2[sin( α +β )+sin( α - β )] (2) 有( 1)可得sin( α+β)+sin( α - β)=2sin αcosβ 设α +β =θ，α - β =φ 那么α=(θ+φ)/2, β=(θ - φ)/2 把α，β的值带入( 1)即得
四、小结作业：1、本节课所学到那些公式，与之前的公式有何关
系？
2、作业：思考：代数式变换与三角变换有何不同？
4)。