【数学试题】浙江省温州市新力量联盟2019学年第一学期期末考试

C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 若用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则
这样的六位数共有（ ）个
A. 120
B.132
C..144
D.156
8. 随机变量 的分布列如下:
其中 ，䳌， 成等差数列，则
A.
B. t
C.
的最大值为（ ） D.
9. 正四面体 ABCD 中，CD 在平面 内，点 是线段 t 的中点，在该四面体绕 t 旋转的过程中，直线 与平面 所成角的余弦值不可能是 ( )
【解析】
设直线 的方程为 ࠀ 䁤 ᦙ， h h ， ，
联立
ࠀ ࠀ䁤
ᦙ，整理得 − 䁤 − ᦙ ࠀ 䁮，
Δ ࠀ 䁤 − − ᦙ ࠀ h ᦙ 䁤 䁮，
则 h ࠀ 䁤， h ࠀ− ᦙ，
因此 h
ࠀ䁤 h

师 ᦙ ࠀ 䁤 ᦙ， h ⋅ ࠀ ᦙ，
由题意可知：
ࠀ 䁮，则 h
综上：①展开式中 项的系数为：.. ；
② 所有项系数的和为：h .
14. 在△ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为
，已知 ࠀ
ࠀ
ࠀ ，则 th ࠀ________. △ ࠀ_________.
【解析】
由于
ࠀ，
则
ࠀ
，解得 ࠀ ，
由于
ࠀ
，
ࠀ
，利用正弦定理
ht
ࠀ ht ，
则
ht

所以
ࠀ h䳌
师
故选择：D．


老
2. 已知双曲线 A.
杰 ࠀ h 的一条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线的离心率（ ）
B.
C.
D.
【解析】
冯

双曲线
学
ࠀ h 的一条渐近线的倾斜角为 ，
数 则该条渐近线方程为 ࠀ
；所以 ࠀ ，解得 ࠀ ；
所以 ࠀ ࠀ
ࠀ ，
下面是一个圆台，高为 2，上底面半径为 1，下底面半径为 2，
学 所以组合体体积为：h
数 故选择：C .
h h h
h ࠀh
5. 函数 ࠀ
ln h 的图象大致为（ ）
【解析】 因为 − ࠀ −
−h
师 ࠀ−
h
=− −
h
老 −h ࠀ− −
h − ࠀ−
，
所以
杰 为奇函数，图像关于原点对称，排除 B，D,
这样的六位数共有（ ）个
冯
A. 120
学 B.132
C..144
D.156
数 【解析】 先排 0,2,4，再让 1,3,5 插空，总的排法共 ⋅
ࠀh ，
其中 䁮 在排头，将 1,3,5 插在后三个空的排法共
⋅

此时构不成六位数，
ࠀ h，
故总的六位数的个数为：h − h ࠀ h ．
故选择：B .
h
h
h
，且 g 有两个极值点 h,
（i）求实数 a 的取值范围
（ii）证明: h 䳌 .
温州新力量联盟 2019 学年第一学期期末考试
高三数学解析
一、选择题
1. 若 ࠀ
， ࠀ
A.
䳌䁮
ࠀ log h ，则
B.
h䳌 䳌䁮
ࠀ（ ）
C.
䳌 䳌䁮
D. h 䳌
【解析】
根据题意可得： ࠀ
h， ࠀ
温州新力量联盟 2019 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
一、选择题
1. 若 牰 A. C.
，牰
牰 log
h ，则
B.
h
D. h
牰（ ）
2. 已知双曲线
牰 h 的一条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线的离心率（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 设 满足的约束条件
,若目标函数 牰
䳌 䳌 䳌䳌
的最大值为 h ，则
的最小值为 （ ）
h−
−h ࠀ−
−h 解得
ࠀ
⋅ −h −h h
1 当 䳌 䳌 时，则 䳌 䁮,注意到 䁮
h
h
则
h

h
h 于是
h
，
即数列 单调递增
师
从而
因此 䳌 䳌
老
2当 ࠀ 3当
时，由条件可知 时，
杰 ࠀ 满足条件 䁮 则
h
注意到 ࠀ
冯 h h
hh
而
h 䁮故
，满足条件
学 综上，所求实数 的取值范围为： ，
䳌
A.
B. t
C. hh
D.
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线描绘的是某几何体的三视图如图 所示，该几何体的体积为 （ ）
A. h
B. t
C. h
D. h线
5. 函数 牰 ln
h 的图象大致为（ ）
6. 已知 䳌 且 h，则 쳌䁖
䳌 䳌h 是
h 䳌 成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
若方程 ࠀ 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是_____.
【解析】
函数
ࠀ

䁮
h
䁮，则
䁮 ࠀ 䁮 ࠀ h ࠀ h．
䁮 时，
h， 䁮 时， ࠀ
h，
对称轴为：
ࠀ
h，开口向下，

函数的最大值为：
h
ࠀ
h，

䁮 时， 䁮
h，
方程 ࠀ 有且仅有 3 个不同的实数根，
师
则实数 的取值范围是： h ， h ．
所以双曲线的离心率为 ࠀ ࠀ ࠀ ．
故选择：A．
3. 设 满足的约束条件
䁮 䁮 ,若目标函数 ࠀ 䁮䁮
的最大值为 h，则 的最小值为 （ ）
A.
B. .
C. hh
D.
【解析】
根据题意作出可行域：
由图象可知函数 ࠀ
最大值，所以可得等式：
即
ࠀ．
在点
处取得
ࠀ h
而 ࠀ
则log
h 是 − h 䳌 䁮 的充分条件
但当 h 䳌 䁮 时不一定能推出log
h
（比如：䁮 䳌 䳌 h，
师 h，这时 − 䳌 䁮 无意义）
则log
老 h 是 − h 䳌 䁮 的不必要条件,
杰 故选择：A .
7. 若用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则
ࠀ ht
，整理得
ht
th
ࠀ ht
，
解得 th
ࠀ
，由 th
ࠀ

−

，解得

ࠀ h，
ht ࠀ ，
师
则
ࠀ
h
⋅
⋅ ht
ࠀ .
老
综上：① th ࠀ ；
②
ࠀ .
杰
冯
学
数
15. 直线 与抛物线 ࠀ 交于 A，B 两点， 为坐标原点，直线 OA，OB 的斜
率之积为 h，以线段 AB 的中点为圆心， 为半径的圆与直线 交于 P，Q 两点，则 t 的最小值为________.
17. 已知函数 牰 −
，若存在
，使得关于 的函数
牰
−
有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_______.
三、解答题
18. (本小题满分 14 分)已知函数 牰 쳌h
h
쳌h
䳌 的最
小正周期为
（1）当
时，求函数 的值域；
（2）已知△ABC 的内角 A，B，C 对应的边分别为 ，䳌， ，
若
牰 且 ＝4，䳌 ＝t，求△ABC 的面积.
13.
h 的展开式中 项的系数为________；
所有项系数的和为_________. (用数字作答)
14. 在△ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 䳌 ，已知 䳌 牰
牰
t 牰 ，则 쳌ht 牰________. △ t 牰_________.
15. 直线 与抛物线 牰 交于 A，B 两点， 为坐标原点，直线 OA，OB 的斜

ࠀh
h
ࠀ .
当且仅当 ࠀ 时，等号成立．
师 老
故选择：B．
杰
冯
学
数
䁮䁮
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线描绘的是某几何体的三视图如图 所示，该几何体的体积为 （ ）
师
A. h
B. .
C. h
老D. ht
【解析】
杰
冯 由三视图，该几何体是一个组合体，组合体上面是一个半径为 的半球，

老 综上：① 䁮 ࠀ h ； 杰 ② 实数 的取值范围是： h ， h .
冯
学 13. ሺ ͳ ሺ hͳ 的展开式中 项的系数为________； 所有项系数的和为_________. (用数字作答)
【解析】
数

hࠀ
h
h. 䁮 ⋯ ,
展开式中 项的系数为：h. 䁮 ࠀ ..
所有项系数的和为：令 ࠀ h，即 h h h ࠀ h
老 h ࠀ 䁮，即ᦙ
所以直线 的方程为： ࠀ 䁤 所以 h ࠀ 䁤 ，
杰，恒过点 䁮 ，
则圆的圆心为 䁤
冯 䁤 ，
ᦙ ࠀ 䁮，则 ᦙ ࠀ ，
学 由三角形的中线长定理可知：
ࠀ

t −
t

，
所以
数
t ࠀ

tࠀ



ࠀ
䁤 䁤
ࠀ h 䁤 .䁤
，
所以当 䁤 ࠀ 䁮 时， t 取最小值，最小值为 ．
16. 在△ABC 中，AC＝BC＝1，AB＝ ，且 ࠀ ， ࠀ ，
其中
䁮 h ，且
ࠀ h，若 M，N 分别为线段 EF，AB 中点，
当线段 MN 取最小值时
ࠀ_______.
【解析】
连接
，如图所示：
由等腰三角形中， ࠀ ࠀ h， ࠀ 知
ࠀ h䁮 ，
所以 ⋅
ࠀ−
h.

∵是
的中线，∴
ࠀ
h
ሺ
ͳ
ࠀ
h
ሺ
ͳ.
同理可得：
ࠀ
h
（
ͳ.
师
∴
ࠀ
−
ࠀ
h
ሺh
−
ͳ
h
显然

学
，则 ht
h，
数 设 BE 与平面 所成的角为 ，则可得
th h
考虑四个选项，只有选 A.
故选择：A .
10. 已知数列 满足: h ࠀ
hࠀ. h
都有
，则实数 的取值范围（ ）
，若对任意的正整数 ,
A. 䁮
B.
C.
D.
【解析】
因为
对任意的正整数 n 都成立，故 ࠀ h
由题知
− −
ࠀ
h− ⋅
因为 ሺhͳ ࠀ h 故选择：C .
冯 h 䁮，所以排除 A， 学
数
6. 已知 䁮 且 h，则 log
h是
h 䳌 䁮 成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】
当 h 时，
得 䳌 䁮，推出 − h 䳌 䁮
当 䁮 䳌 䳌 h 时，䁮 䳌
䳌 得 䁮，推出 − h 䳌 䁮
(1) 求th与t 的方程； (2) 若曲线t 是以原点为圆心，以 th 为半径的圆，动直线 与圆t 相切，
且 与椭圆t 交与 M，N 两点，△
的面积为 ，求 的取值范围.
22. (本小题满分 15 分)已知函数 牰
h
h
(1)当 h 时，函数 在区间 h 上的最小值为 t，求 的值;
(2)设 g ＝
A. h
B.
C. h
10. 已知数列 满足: h 牰
h牰t h
都有 䳌 ，则实数 的取值范围（ ）
D. h ，若对任意的正整数 ,
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11. 已知复数 牰 h
的实部为 ，则 =________， 牰_________.
12. 设函数 牰
h
䳌 ，则
牰________；
若方程 牰 䳌 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是_____.
且 t牰 ， 线牰h
线
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列
䳌 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
求数列 䳌
䳌 的前 n 项和 .
21. (本小题满分 15 分)已知抛物线th 牰 t 过点 h ，椭圆t 的两个焦点分 别为th t ，其中t 与抛物线th的焦点重合，过th与长轴垂直的直线交椭圆t 于 A，B 两点且 牰 .
A. h
B.
C. h
D. h
【解析】
考虑相对运动，让四面体 ABwk.baidu.comD 保持静止，平面 绕着 CD 旋转，
师 故其垂线也绕着 CD 旋转，如下图所示,取 AD 的中点 F，连接 EF，
则‖
老 则也可等价于平面 绕着 EF 旋转，
杰 在△ 中，易得 th
ࠀ，
如下图所示，将问题抽象为如下几何模型，
冯 平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 EP，绕着圆锥的轴 EF 旋转，
率之积为 h，以线段 AB 的中点为圆心， 为半径的圆与直线 交于 P，Q
两点，则
线 的最小值为________.
16. 在△ABC 中，AC＝BC＝1，AB＝ ，且t 牰 t ，tt 牰 t ，
其中
h ，且
牰 h，若 M，N 分别为线段 EF，AB 中点，
当线段 MN 取最小值时
牰_______.
，
数 故选择：B .
二、填空题
11. 已知复数 ࠀ h t t 【解析】
的实部为 ，则 =________， ࠀ_________.
因为 ＝ h t ＝ h
t
t t
t＝
－t 的实部为
，
所以 ＝ ，则 ＝ －t， ＝.
综上：① ࠀ ；
② ＝ .
12. 设函数
ࠀ

䁮
h
䁮 ，则
䁮 ࠀ________；
8. 随机变量 的分布列如下:
其中 ， ， 成等差数列，则 ሺ ͳ的最大值为（ ）
A.
B. .
C.
D.
【解析】
因为 ， ， 成等差数列，所以 ࠀ
，
又因为
ࠀ h 所以 ࠀ h ࠀ
所以
ࠀ
则
ࠀ −
ࠀ−
ࠀ−
师 老 − h ,
则
的最大值为 .
杰
故选择：D.
冯
学
数
9. 正四面体 ABCD 中，CD 在平面 内，点 是线段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线 与平面 所成角的余弦值不可能是 ( )
19. (本小题满分 15 分)如图，在四棱锥
t 中， t 、 牰 h，
CD＝3， ＝ ， 牰 ，∠ 牰 ，AB⊥平面 PAD，
点 M 在棱 PC 上.
(1)求证:平面 PAB⊥平面 PCD；
(2)若直线 PA 平面 MBD，求直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值.
20. (本小题满分 15 分)已知数列 是等差数列， 为其前 n 项和，