第7章_3_描述函数法介绍
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2
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
此时的描述函数 N ( A) 为实函数， 说明 x1 (t ) 与
e(t ) 同相。
14
7.5.3 典型非线性环节的描述函数
=0
输出基波分量为
x1 (t ) = A1 cos ωt + B1 sin ωt
= X 1 sin (ωt + φ1 )
A1 = B1 =
1
π
1
∫
2π
0 2π
x(t ) cos ωtdωt x(t ) sin ωtdωt
2 1
∫ π
2 1
0
X1 = A + B
A1 φ1 = arctan B1
13
非线性特性的描述函数为：
自持振荡。
23
Im
1 − N ( A)
非线性系统稳定 不产生自持振荡 0 Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
24
∞← A
ω
G ( jω )
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的右侧，即曲线 G ( jω )包围临界 1 点轨迹线 − ， 则非线性系统不稳定。 在任何扰动 N ( A)
描述函数与线性元件的频率特性不同， 一般是 输入正弦振幅
A 的函数， 记为 N ( A) 。
当非线性元件具有储能特性（即N的特性不是用 N 代数方程，而是用微分方程描述）时，描述函数才是
A与 ω 的函数，记为：N ( A, ω )
。
8
r
e
-
N ( A)
y
G (s)
c
c = N ( A)G ( jω )e e = r −c
+∞
A
A=a
1 − k
1 − N ( A)
0
Re
ω
G ( jω )
系统稳定， 无极限环
35
【例7-18】 带有饱和特性的系统方块图如下， 】
x
e
-
0
k
a
e
Hale Waihona Puke xK s (0.1s + 1)(0.2 s + 1)
c
饱和特性的参数为：a = 1
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
a
A
G ( jω )
ω
b
不 0 稳 定 区 域
Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
28
注释
1 自持振荡的振幅 A0 是两条曲线交点处函数 − N ( A) 的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 ω0 是两条曲线交点处函数 G ( jω ) 的自变元 ω 的值。 对应于自持振荡（极限环）的交点！
1 负实轴上 −∞, − 区段。 k
32
稳定交点，代 表稳定极限环
Im
+∞
A
1 − N ( A)
A=a
1 − k
0
Re
ω
G ( jω )
33
Im
A=a
+∞
b1 为不稳定点 b2 为稳定点 0 Re
A
1 − N ( A)
b2
b1
1 − k
ω
G ( jω )
条件稳定系统
34
Im
5
e(t ) = A sin ωt
∞
非线性环节
y (t )
y (t ) = Y0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = Y0 + ∑ Yn sin ( nωt + φn ) = ∑ Yn sin ( nωt + φn )
n =1 ∞ n =1 n =1 ∞
一次谐波 分量近似
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )
6
在一定的近似条件下， 非线性元件的特性与通过 频率特性描述的线性元件的特性相类似。 非线性环节
e(t ) = A sin ωt
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )
输出基波分量
复变函数
Y1 jφ1 N ( A) = e A
7
称为描述函数 描述函数。 描述函数
N ( A) k
1
饱和特性
0
1
a A
18
7.6 非线性系统的描述函数分析
本节主要研究下列内容： 非线性系统的稳定性， 系统是否产生自持振荡； 如何确定自持振荡的振幅和频率； 系统的校正方法，以及消除自持振荡的方法。
19
7.6.1 非线性系统的稳定性分析
r
-
e
N ( A)
x G(s)
c
非线性系统产生自持振荡的必要条件为：
r
e
N ( A)
y
-
G (s)
c
N ( A)
非线性环节， 是几个物理部件的等效非线性。
4
用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设： 系统只有一个非线性环节； 假设非线性环节是时不变 定常 时不变的(定常 时不变 定常的)； 非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波 分量。 非线性环节N后面的线性环节必须具有低通 滤波特性； 假设非线性特性关于原点对称（奇函数 奇函数）。 奇函数
10
7.5.2 描述函数的计算
给定非线性系统方块图如下：
r
e
-
N ( A)
x
G (s)
c
非线性元件的正弦输入为
e(t ) = A sin ωt
11
非正弦周期输出：
x(t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = A0 + ∑ X n sin ( nωt + φn )
38
《自动控制原理》 自动控制原理》 课程结束。 课程结束。 感谢您的认真听课！ 感谢您的认真听课！
39
1 饱和特性的描述函数
x b −a
0 0
x a
A
e
0
b
α1
π
2π
ωt
−b
−b e
α1
π
2π ωt
15
输出 x (t ) 的数学表达式为：
kA sin ωt x(t ) = ka = b kA sin ωt
0 < ω t < α1
α1 < ω t < π − α1 π − α1 < ω t < π
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为ω0 的等幅振荡， 或者说非线性系统的自持振荡。 这相当于线性系统开环频率特性 G ( jω ) 通过其 稳定临界点 ( −1, j 0) 的情形。
21
1 这样， − 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
作用下，该系统的输出将无限增大， 导致系统无法正常 工作，系统不可能产生自持振荡。
（2） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
25
Im
非线性系统不稳定 不产生自持振荡 0 Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
26
ω
G ( jω )
A
∞
1 − N ( A)
（3） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
7.5 非线性特性的描述函数法
描述函数法是达尼尔（P.J.Daniel）于1940年 首先提出的。 描述函数法的基本思想 非线性环节 正弦输入信号
一定假设条件
1
一次谐波 分量近似
等效 频率 特性
基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性 基波 振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等 的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率 称为基本频率。 谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为 谐波 谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波， 频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。 谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正 谐波分析 弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。
1 − =− N ( A)
π
2 a a a 2k arcsin + 1− A A A 1 1 当 A = a 时，− =− N ( A) k
( A ≥ a)
31
1 当 A → ∞ 时， − → −∞ N ( A)
饱和特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
36
Im
A
1 − N ( A)
a
−1
1 − 2
0
Re
ω
G ( jω )
37
本次课内容总结
负倒描述函数的概念； 负倒描述函数的概念； 非线性系统产生自持振荡的必要条件； 非线性系统产生自持振荡的必要条件； 在Nyquist图中非线性系统的稳定性判据； 图中非线性系统的稳定性判据； 图中非线性系统的稳定性判据 典型非线性特性对系统稳定性的影响； 典型非线性特性对系统稳定性的影响；
29
结论 描述函数法是一种工程近似方法。 当曲线 G ( jω )
1 与曲线 − 垂直相交， 或几乎垂直相交，而且， N ( A)
非线性元件的非正弦周期输出中的高次谐波已被充分 滤波的情况下， 用描述函数法得出的结果是较好的。
30
7.6.2 典型非线性特性对系统稳定性 的影响
1 饱和特性对系统稳定性的影响 饱和特性的负倒描述函数为
=0向
ω →∞
1 变化时，与非线性系统负倒描述特性 − N ( A)
曲线相交， 即曲线 G ( jω ) 通过临界点轨迹线上 A = A0 时的临界点，或通过临界点轨迹线上
A = A01 及
A = A02 时的两个临界点，则非线性系统可能产生自持
振荡。
27
Im a点对应一个自持振荡
1 − N ( A)
1 + N ( A)G ( jω ) = 0
或：
1 G ( jω ) = − N ( A)
称为非线性特性 的负倒描述函数 负倒描述函数
20
若正弦函数 可使式
A0 sin ω0t 的振幅 A0 及角频率 ω0
1 + N ( A)G ( jω ) = 0 成立，则正弦函数 A0 sin ω0t 是此特征方程的一个解，
消去
e 得 [ N ( A)G ( jω ) + 1] c = N ( A)G ( jω )r
9
当外部输入为零，即
r =0
时，
[ N ( A)G( jω ) + 1] c = 0
考虑非平凡情形，即 c ≠ 0 时
N ( A)G ( jω ) + 1 = 0
这是系统存在极限环的必要条件 必要条件。 必要条件 上式也称为非线性系统的特征方程 非线性系统的特征方程。 非线性系统的特征方程
16
饱和特性的描述函数为
2 2k a a a arcsin + N ( A) = 1− A A π A
( A ≥ a)
或写为：
2 N ( A) 2 a a a = arcsin + 1− k π A A A
17
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
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7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
此时的描述函数 N ( A) 为实函数， 说明 x1 (t ) 与
e(t ) 同相。
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7.5.3 典型非线性环节的描述函数
=0
输出基波分量为
x1 (t ) = A1 cos ωt + B1 sin ωt
= X 1 sin (ωt + φ1 )
A1 = B1 =
1
π
1
∫
2π
0 2π
x(t ) cos ωtdωt x(t ) sin ωtdωt
2 1
∫ π
2 1
0
X1 = A + B
A1 φ1 = arctan B1
13
非线性特性的描述函数为：
自持振荡。
23
Im
1 − N ( A)
非线性系统稳定 不产生自持振荡 0 Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
24
∞← A
ω
G ( jω )
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的右侧，即曲线 G ( jω )包围临界 1 点轨迹线 − ， 则非线性系统不稳定。 在任何扰动 N ( A)
描述函数与线性元件的频率特性不同， 一般是 输入正弦振幅
A 的函数， 记为 N ( A) 。
当非线性元件具有储能特性（即N的特性不是用 N 代数方程，而是用微分方程描述）时，描述函数才是
A与 ω 的函数，记为：N ( A, ω )
。
8
r
e
-
N ( A)
y
G (s)
c
c = N ( A)G ( jω )e e = r −c
+∞
A
A=a
1 − k
1 − N ( A)
0
Re
ω
G ( jω )
系统稳定， 无极限环
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【例7-18】 带有饱和特性的系统方块图如下， 】
x
e
-
0
k
a
e
Hale Waihona Puke xK s (0.1s + 1)(0.2 s + 1)
c
饱和特性的参数为：a = 1
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
a
A
G ( jω )
ω
b
不 0 稳 定 区 域
Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
28
注释
1 自持振荡的振幅 A0 是两条曲线交点处函数 − N ( A) 的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 ω0 是两条曲线交点处函数 G ( jω ) 的自变元 ω 的值。 对应于自持振荡（极限环）的交点！
1 负实轴上 −∞, − 区段。 k
32
稳定交点，代 表稳定极限环
Im
+∞
A
1 − N ( A)
A=a
1 − k
0
Re
ω
G ( jω )
33
Im
A=a
+∞
b1 为不稳定点 b2 为稳定点 0 Re
A
1 − N ( A)
b2
b1
1 − k
ω
G ( jω )
条件稳定系统
34
Im
5
e(t ) = A sin ωt
∞
非线性环节
y (t )
y (t ) = Y0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = Y0 + ∑ Yn sin ( nωt + φn ) = ∑ Yn sin ( nωt + φn )
n =1 ∞ n =1 n =1 ∞
一次谐波 分量近似
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )
6
在一定的近似条件下， 非线性元件的特性与通过 频率特性描述的线性元件的特性相类似。 非线性环节
e(t ) = A sin ωt
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )
输出基波分量
复变函数
Y1 jφ1 N ( A) = e A
7
称为描述函数 描述函数。 描述函数
N ( A) k
1
饱和特性
0
1
a A
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7.6 非线性系统的描述函数分析
本节主要研究下列内容： 非线性系统的稳定性， 系统是否产生自持振荡； 如何确定自持振荡的振幅和频率； 系统的校正方法，以及消除自持振荡的方法。
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7.6.1 非线性系统的稳定性分析
r
-
e
N ( A)
x G(s)
c
非线性系统产生自持振荡的必要条件为：
r
e
N ( A)
y
-
G (s)
c
N ( A)
非线性环节， 是几个物理部件的等效非线性。
4
用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设： 系统只有一个非线性环节； 假设非线性环节是时不变 定常 时不变的(定常 时不变 定常的)； 非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波 分量。 非线性环节N后面的线性环节必须具有低通 滤波特性； 假设非线性特性关于原点对称（奇函数 奇函数）。 奇函数
10
7.5.2 描述函数的计算
给定非线性系统方块图如下：
r
e
-
N ( A)
x
G (s)
c
非线性元件的正弦输入为
e(t ) = A sin ωt
11
非正弦周期输出：
x(t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = A0 + ∑ X n sin ( nωt + φn )
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《自动控制原理》 自动控制原理》 课程结束。 课程结束。 感谢您的认真听课！ 感谢您的认真听课！
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1 饱和特性的描述函数
x b −a
0 0
x a
A
e
0
b
α1
π
2π
ωt
−b
−b e
α1
π
2π ωt
15
输出 x (t ) 的数学表达式为：
kA sin ωt x(t ) = ka = b kA sin ωt
0 < ω t < α1
α1 < ω t < π − α1 π − α1 < ω t < π
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为ω0 的等幅振荡， 或者说非线性系统的自持振荡。 这相当于线性系统开环频率特性 G ( jω ) 通过其 稳定临界点 ( −1, j 0) 的情形。
21
1 这样， − 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
作用下，该系统的输出将无限增大， 导致系统无法正常 工作，系统不可能产生自持振荡。
（2） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
25
Im
非线性系统不稳定 不产生自持振荡 0 Re 角频率 ω 增大方向 振幅 A 增大方向
26
ω
G ( jω )
A
∞
1 − N ( A)
（3） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
7.5 非线性特性的描述函数法
描述函数法是达尼尔（P.J.Daniel）于1940年 首先提出的。 描述函数法的基本思想 非线性环节 正弦输入信号
一定假设条件
1
一次谐波 分量近似
等效 频率 特性
基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性 基波 振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等 的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率 称为基本频率。 谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为 谐波 谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波， 频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。 谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正 谐波分析 弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。
1 − =− N ( A)
π
2 a a a 2k arcsin + 1− A A A 1 1 当 A = a 时，− =− N ( A) k
( A ≥ a)
31
1 当 A → ∞ 时， − → −∞ N ( A)
饱和特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是
36
Im
A
1 − N ( A)
a
−1
1 − 2
0
Re
ω
G ( jω )
37
本次课内容总结
负倒描述函数的概念； 负倒描述函数的概念； 非线性系统产生自持振荡的必要条件； 非线性系统产生自持振荡的必要条件； 在Nyquist图中非线性系统的稳定性判据； 图中非线性系统的稳定性判据； 图中非线性系统的稳定性判据 典型非线性特性对系统稳定性的影响； 典型非线性特性对系统稳定性的影响；
29
结论 描述函数法是一种工程近似方法。 当曲线 G ( jω )
1 与曲线 − 垂直相交， 或几乎垂直相交，而且， N ( A)
非线性元件的非正弦周期输出中的高次谐波已被充分 滤波的情况下， 用描述函数法得出的结果是较好的。
30
7.6.2 典型非线性特性对系统稳定性 的影响
1 饱和特性对系统稳定性的影响 饱和特性的负倒描述函数为
=0向
ω →∞
1 变化时，与非线性系统负倒描述特性 − N ( A)
曲线相交， 即曲线 G ( jω ) 通过临界点轨迹线上 A = A0 时的临界点，或通过临界点轨迹线上
A = A01 及
A = A02 时的两个临界点，则非线性系统可能产生自持
振荡。
27
Im a点对应一个自持振荡
1 − N ( A)
1 + N ( A)G ( jω ) = 0
或：
1 G ( jω ) = − N ( A)
称为非线性特性 的负倒描述函数 负倒描述函数
20
若正弦函数 可使式
A0 sin ω0t 的振幅 A0 及角频率 ω0
1 + N ( A)G ( jω ) = 0 成立，则正弦函数 A0 sin ω0t 是此特征方程的一个解，
消去
e 得 [ N ( A)G ( jω ) + 1] c = N ( A)G ( jω )r
9
当外部输入为零，即
r =0
时，
[ N ( A)G( jω ) + 1] c = 0
考虑非平凡情形，即 c ≠ 0 时
N ( A)G ( jω ) + 1 = 0
这是系统存在极限环的必要条件 必要条件。 必要条件 上式也称为非线性系统的特征方程 非线性系统的特征方程。 非线性系统的特征方程
16
饱和特性的描述函数为
2 2k a a a arcsin + N ( A) = 1− A A π A
( A ≥ a)
或写为：
2 N ( A) 2 a a a = arcsin + 1− k π A A A
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