(仅供参考)电动力学(数学基础)
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电动力学习题课（一）
Feb 20th, 2009
1 特殊函数与爱因斯坦求和约定
1) Kronecker delta函数δij:
δij =
1 i=j 0 i=j
2) Levi-civita张量εijk:
1
εijk
=
−1 0
[ijk]是偶置换，即ijk = 123, 231, 312 [ijk]是奇置换，即ijk = 213, 132, 321 otherwise
∇2ϕ − µ0
∂2ϕ 0 ∂t2
=
−ρ
0
(2.8)
显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。
• 下标重复，Levi-civita张量为0：εiik = 0
• 单重求和：εijkεmnk = δimδjn − δinδjm ≡
δim δjm
δin δjn
• 两重求和：εijkεmjk = δimδjj − δijδjm = 3δim − δim = 2δim
• 三重求和：εijkεijk = 2δii = 6
(3.3)
如果∀r，a1, a2, a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。
下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢：
其中
d ≡ eˆxdx + eˆydy + eˆzdz
=
eˆx
(
∂ϕ1 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ1 ∂µ2
dµ2
(1.1) (1.2)
3) 爱因斯坦求和约定：公式中重复指标自动求和，略去求和号。
3
AiBi ≡ AiBi
i=1
(1.3)
注意：以上的定义只适用于平直空间，而不适用于弯曲空间（广义相对论考虑的空间）。
Levi-civita张量的性质：
• Levi-civita张量对于下标反称：εijk = −εjik
2
3 正交曲线坐标系
3.1 基本概念
定义：三维空间R3，如果∀p ∈ R3，∃一组独立、连续、单值函数：
u1 = f1(x, y, z), u2 = f2(x, y, z), u3 = f3(x, y, z)
(3.1)
并且其反函数
x = ϕ1(u1, u2, u3), y = ϕ2(u1, u2, u3), z = ϕ3(u1, u2, u3)
综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知：
(2.3) (2.4) (2.5)
(2.6)
d dt
(
∂L ∂x˙
)
−
∂L ∂x
=
d dt
(
∂L ∂x˙
)
−
∂L ∂x
=
0
(2.7)
Eq.(2.7)说明Lagrange’s Equation在变换Eq.(2.2)下是协变的。 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程：
[(
Байду номын сангаас∂ϕ1 ∂µi
)2
+
(
∂ϕ2 ∂µi
)2
+
(
∂ϕ3 ∂µi
)2
]
1 2
eˆi
=
1 gi
(eˆx
∂ϕ1 ∂µi
+
eˆy
∂ϕ2 ∂µi
+
eˆz
∂ϕ3 ∂µi
)
(3.4)
(3.5) (3.6)
(3.7) (3.8)
3.2 基矢
eˆi · eˆj = δij eˆi × eˆj = εijkeˆk
有了基矢的运算公式，便可以考虑矢量A = Aieˆi的运算： 1)点乘(dot product):
x = x + vt t =t
(2.2)
从Eq.(2.2)可以得到：
∂ ∂x
=
∂ ∂x
∂ ∂t
=
−v
∂ ∂x
+
∂ ∂t
进一步，可得：
∂x ∂t
=
∂x ∂t
注意：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。 又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为：
d dt
=
d dt
(3.2)
也独立连续单值，则称(u1, u2, u3)为p点的曲线坐标(Curvilinear Coordinates)，{(u1, u2, u3)}为 一般曲线坐标系。
在曲线坐标系中，位置矢量为r(u1, u2, u3)，那么微分线元为：
d ≡ dr = a1du1 + a2du2 + a3du3
3
(3.9) (3.10)
(3.11) (3.12) (3.13)
用Eq.(3.13)不难证明：
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
4)三重矢积(vector triple product):
+
∂ϕ1 ∂µ3
dµ3)
+
eˆy
(
∂ϕ2 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ2 ∂µ2
dµ2
+
∂ϕ2 ∂µ3
dµ3)
+
eˆz
(
∂ϕ3 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ3 ∂µ2
dµ2
+
∂ϕ3 ∂µ3
dµ3)
=
(eˆx
∂ϕ1 ∂µi
+
eˆy
∂ϕ2 ∂µi
+
eˆz
∂ϕ3 ∂µi
)dµi
≡
gieˆidµi
度量因子gi 基矢eˆi
gi
=
A · B = AiBjeˆi · eˆj = AiBi 2)叉乘(cross product):
A × B = AiBjeˆi × eˆj = εijkAiBjeˆk 3)三重标积(scalar triple product)：
A · (B × C) = Ameˆm · εijkBiCjeˆk = εijmAmBiCj
2 标量，矢量和张量的引入
2.1 定义
讨论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协变性，即描述物理规律的方程在惯性系变 换下形式不变。 由于运动总是在四维时空中进行，所以不妨设四维空间惯性系的变换为：
那么物理量可按如下分类：
xµ = aµν xν
(2.1)
1
• 标量C：不同惯性系变换下的不变量。 • 矢量A：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：Aµ = aµνAν
• 二阶张量T ：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：Tµν = aµλaνδTλδ • 类似可以知道n阶张量的定义。 注意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。
2.2 从伽利略变换到洛伦兹变换
在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lagrange’s Equation在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换：
Feb 20th, 2009
1 特殊函数与爱因斯坦求和约定
1) Kronecker delta函数δij:
δij =
1 i=j 0 i=j
2) Levi-civita张量εijk:
1
εijk
=
−1 0
[ijk]是偶置换，即ijk = 123, 231, 312 [ijk]是奇置换，即ijk = 213, 132, 321 otherwise
∇2ϕ − µ0
∂2ϕ 0 ∂t2
=
−ρ
0
(2.8)
显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。
• 下标重复，Levi-civita张量为0：εiik = 0
• 单重求和：εijkεmnk = δimδjn − δinδjm ≡
δim δjm
δin δjn
• 两重求和：εijkεmjk = δimδjj − δijδjm = 3δim − δim = 2δim
• 三重求和：εijkεijk = 2δii = 6
(3.3)
如果∀r，a1, a2, a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。
下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢：
其中
d ≡ eˆxdx + eˆydy + eˆzdz
=
eˆx
(
∂ϕ1 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ1 ∂µ2
dµ2
(1.1) (1.2)
3) 爱因斯坦求和约定：公式中重复指标自动求和，略去求和号。
3
AiBi ≡ AiBi
i=1
(1.3)
注意：以上的定义只适用于平直空间，而不适用于弯曲空间（广义相对论考虑的空间）。
Levi-civita张量的性质：
• Levi-civita张量对于下标反称：εijk = −εjik
2
3 正交曲线坐标系
3.1 基本概念
定义：三维空间R3，如果∀p ∈ R3，∃一组独立、连续、单值函数：
u1 = f1(x, y, z), u2 = f2(x, y, z), u3 = f3(x, y, z)
(3.1)
并且其反函数
x = ϕ1(u1, u2, u3), y = ϕ2(u1, u2, u3), z = ϕ3(u1, u2, u3)
综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知：
(2.3) (2.4) (2.5)
(2.6)
d dt
(
∂L ∂x˙
)
−
∂L ∂x
=
d dt
(
∂L ∂x˙
)
−
∂L ∂x
=
0
(2.7)
Eq.(2.7)说明Lagrange’s Equation在变换Eq.(2.2)下是协变的。 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程：
[(
Байду номын сангаас∂ϕ1 ∂µi
)2
+
(
∂ϕ2 ∂µi
)2
+
(
∂ϕ3 ∂µi
)2
]
1 2
eˆi
=
1 gi
(eˆx
∂ϕ1 ∂µi
+
eˆy
∂ϕ2 ∂µi
+
eˆz
∂ϕ3 ∂µi
)
(3.4)
(3.5) (3.6)
(3.7) (3.8)
3.2 基矢
eˆi · eˆj = δij eˆi × eˆj = εijkeˆk
有了基矢的运算公式，便可以考虑矢量A = Aieˆi的运算： 1)点乘(dot product):
x = x + vt t =t
(2.2)
从Eq.(2.2)可以得到：
∂ ∂x
=
∂ ∂x
∂ ∂t
=
−v
∂ ∂x
+
∂ ∂t
进一步，可得：
∂x ∂t
=
∂x ∂t
注意：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。 又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为：
d dt
=
d dt
(3.2)
也独立连续单值，则称(u1, u2, u3)为p点的曲线坐标(Curvilinear Coordinates)，{(u1, u2, u3)}为 一般曲线坐标系。
在曲线坐标系中，位置矢量为r(u1, u2, u3)，那么微分线元为：
d ≡ dr = a1du1 + a2du2 + a3du3
3
(3.9) (3.10)
(3.11) (3.12) (3.13)
用Eq.(3.13)不难证明：
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
4)三重矢积(vector triple product):
+
∂ϕ1 ∂µ3
dµ3)
+
eˆy
(
∂ϕ2 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ2 ∂µ2
dµ2
+
∂ϕ2 ∂µ3
dµ3)
+
eˆz
(
∂ϕ3 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ3 ∂µ2
dµ2
+
∂ϕ3 ∂µ3
dµ3)
=
(eˆx
∂ϕ1 ∂µi
+
eˆy
∂ϕ2 ∂µi
+
eˆz
∂ϕ3 ∂µi
)dµi
≡
gieˆidµi
度量因子gi 基矢eˆi
gi
=
A · B = AiBjeˆi · eˆj = AiBi 2)叉乘(cross product):
A × B = AiBjeˆi × eˆj = εijkAiBjeˆk 3)三重标积(scalar triple product)：
A · (B × C) = Ameˆm · εijkBiCjeˆk = εijmAmBiCj
2 标量，矢量和张量的引入
2.1 定义
讨论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协变性，即描述物理规律的方程在惯性系变 换下形式不变。 由于运动总是在四维时空中进行，所以不妨设四维空间惯性系的变换为：
那么物理量可按如下分类：
xµ = aµν xν
(2.1)
1
• 标量C：不同惯性系变换下的不变量。 • 矢量A：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：Aµ = aµνAν
• 二阶张量T ：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：Tµν = aµλaνδTλδ • 类似可以知道n阶张量的定义。 注意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。
2.2 从伽利略变换到洛伦兹变换
在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lagrange’s Equation在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换：