角的轴对称性 (4)
轴对称图形全章复习
《轴对称图形》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．3.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.4.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点二、线段、角的轴对称性1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.。
1.4(2)角的轴对称性
角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等． 角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言： 几何语言：
平分∠ 平分 ， ∵OP平分∠MON， 点C在OP上，且CA⊥OM于A， 在 上 ⊥ 于 ， CB⊥ON于B， ⊥ 于 ， ＝ ． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道： 我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上 边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等． 的距离相等
反过来： 反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、 如果点P AOB的内部，且点P到边OA、 的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ 的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 三条中线的交点 C.三条高的交点 三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， 、如图， 平分∠ 中 平分 ， 于 ， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ， ， 吗 说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点 别作P OA、OB的垂线段PC、PD， 别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再 的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD． 重合
轴对称知识点
轴对称知识点轴对称知识点汇总在平平淡淡的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
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轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;（4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2）三线合一、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
2.4 线段、角的轴对称性(4)
阐述证明思路；
完成证明过程．
利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．
开放的分析过程，提供了多样化的思考路径．
指导学生完成练习．
解完题后，说说你的发现，提出你的问题．
练习：课本P56练习．
学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？
1．结合图形认真审题．
2．分析、讨论证明思路．
3．口述证明思路及证明过程．
4．讨论归纳得到结论：三角形
的三个内角的角平分线相交于一点．
运用例题引导学生逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．
采用“要证，只要证”的思考方法引导学生逐步学会“分析法”．
分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．
问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心”，为学习三角形的内切圆打好基础．
例3已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
分析：要证AD垂直平分EF，
只要证：，．
已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，
线段角的轴对称性
（二）新授
1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？
学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PC=PD，再沿原折痕折纸，会有什么结论？
完成练习P25、1
5、例题：任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？
学生思考，回答，老师用课件给出证明过程：
点O在∠APB的平分线上。
因为OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，即点O到∠APB的两边的距离相等，
学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点：角平分线上的点到角的两边距离相等。
3、上节课我们已经学习了：若点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上。今天我们又学了若点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗
所以点O在∠APB的平分线上。
理由是：到角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
思考：点P也在AOB的平分线上吗?为什么？
完成练习P25、2
（三）小结：今天，我们学习了角的轴对称性，角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边距离相等。到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线是到角两边距离相等的点的集合。
课堂练习得分
1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为.
八年级数学上册苏科版角的轴对称性
离相等的所有点的集合.
（2）∵ PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE ∴ OP平分∠AOB.
∠AOC=∠BOC
PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
【习题精讲】 1、（教科书P55.练习）
利用网格画图： （1）在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等； （2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F（如图② ），
PE与PF相等吗？
通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论.
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为M、N，
则∠PME＝∠PNF＝90°，
M N
∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN， ∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°， ∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠FPN，
P O
O
D’
答：点O在另两个内角的平分线上
答：点O不在另两个内角的平分线上
【变式2】
从图中得出的结论：①AD∥BC；②∠AOB＝∠DOC＝90论为 ① ② ④ （写序号）
如图：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
O
∵AO，BO为∠A、∠B的平分线，
∴BE＝CF．
∴BE＝2.5 ．
3、（教科书P59.第11题）
在七年级下册“证明”如一章的学习中，我们曾做过如下的实验：
画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）把三角尺的直角顶点落在射线OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB垂直，垂足分别为E、F（如图① ）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
分析： （1）P到∠BAC两边的距离相等，P在∠BAC的平分线上
《线段、角的轴对称性》习题
线段、角的轴对称性练习一、填空：1．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴是 。
②线段的垂直平分线上的点到 距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的 上2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是 。
②角平分线上的点到 距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在 上。
二、基础练习1、三角形ABC 中，DE 垂直平分AC ，AB=10cm ，BC=7cm,则三角形BCD 的周长等于2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，CD=5cm ，则DE 的长是 。
三、作图1．如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B 。
（1） 在直线l 上求一点P ，使PA=PB ；（2） （2）在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB 。
2．如图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？3．如图有A 、B 、C 三个镇，现要建一个变电站P ，使得变电站到三镇的距离相等. l ·· A B c ba C E B D AA B C在上图中作出变电站的P 的位置（保留作图痕迹）4.如图，已知∠AOB 及点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。
四、中考小试 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60· C B O A · D。
第2 章轴对称图形：厘清概念掌握重点
例 ３ 如 图 ４。
在 △Ａ Ｃ 中 ． Ａ Ｃ
Ⅳ
和 Ｂ Ａ Ｃ 的 平 分 线
图 ２
图 １
交 于 点 ０， Ｏ Ｄ上Ｂ Ｃ，
ＤＥ 上 ＡＣ． ＤＦ 上ＡＢ ．
Ｄ Ｃ
【 解 析 】如 图 ２ ，作 线 段 ＡＢ的 中垂 线
Ｃ Ｄ， Ｃ Ｄ与 ＭＮ 的 交 点 即为 所 求 ．
３８
’ Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
１ 一慧数 掌
知 学习园
【 概念透析 】
清概 念 掌握重点
扬 州 市 梅 岭 中学 金 鑫
重 点概 念 一 ： 线 段 的轴 对 称 性 线是 它的对称轴．
【 解 析 】 由 ＡＢ 的 垂 直 平 分 线 分 别 交
（ ４ ） ０Ｃ平 分 ＡＣ Ｂ吗 ？ 为什 么 ？
长 等于 ２ ９ ａ ｍ，求 Ｄ Ｃ 的
图 ３
长 ．
３９
【 解析】 （ １ ） Ｏ Ｄ与 Ｏ Ｆ相 等 ． （ 角平 分 线
Ｔ ｎ ｔ ｅｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
Ｊ Ｉ － ■ ■数 掌
１ ２ ｃ ｍ， ａＡＢ Ｄ 的周 长 等 于 ２ ９ ｃ ｍ，得 ＡＤ＋
Ｃ、＝ 线段 是 轴对 称 图 形 ，线 段 的垂 直 平 分 Ａ
Ｄ＝ ２ ９ — １ ２ ＝ １ ７ ｃ ｍ． 由 ＡＤ＝ Ｂ Ｄ． 得 ＡＤ＝ Ｂ Ｄ＝ 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 线 段 两 个 端 Ｂ ． ５ ｃ ｍ．由 Ｂ Ａ； ＡＣ ＝ １ ２ ｃ ｍ。 得 ＤＣ ＝ ＡＣ － Ａ Ｄ＝ 点 的距 离 相等 ． （ 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 性 ８
5.3.3角的轴对称性(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角的轴对称性在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-角的轴对称性质的应用：解决实际问题和几何作图问题，如求角的度数、证明线段相等或垂直等。教师需通过典型例题，使学生掌握如何运用这一性质。
举例：
在讲解角的轴对称性质时，教师可选用具体角度（如45°、60°等）进行演示，让学生观察和思考角的对称轴与角平分线的关系。
2.教学难点
-理解角的轴对称性质：学生对角的轴对称性质的理解可能不够深入，难以将其与实际问题和几何作图相结合。
-难点2：针对学生应用角的轴对称性质解决问题的困难，教师可采取以下措施：
a.分析典型例题，展示如何将角的轴对称性质应用于解题过程。
b.让学生进行小组讨论，互相交流解题思路和方法。
c.设计具有梯度的问题，引导学生逐步掌握角的轴对称性质的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“5.3.3角的轴对称性”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体或图形关于某条线对折后两边完全重合的情况？”（如折叠纸飞机）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角的轴对称性的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了角的轴对称性这一章节。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
江苏省数学八年级上学期期末复习专题(4) 线段、角的轴对称性
江苏省数学八年级上学期期末复习专题（4）线段、角的轴对称性姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017八上·下城期中) 如图，在，边上的垂直平分线交于点，已知，，则的周长为（）．A .B .C .D .2. （2分）如图，点E在BC上，AB//DE，∠B=80°，，则的度数为（）A . 40°B . 60°C . 50°D . 80°3. （2分）(2016·宝安模拟) 如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，以B为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP并延长交AC于点D，若△BDC的面积为20，则△ABD的面积为（）A . 20B . 18C . 16D . 124. （2分） (2019八上·苍溪期中) 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，，DE=2，AB=4，则AC的长是（）．A . 5B . 6C . 8D . 75. （2分） (2016八上·潮南期中) 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A . 4B . 3C . 6D . 56. （2分） (2018八上·东台月考) 如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A . 6 cmB . 10 cmC . 8cmD . 12 cm7. （2分） (2017七下·江阴期中) 如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为（）A . 108°B . 114°C . 116°D . 120°8. （2分）如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A . △ABD和△CDB的面积相等B . △ABD和△CDB的周长相等C . AD∥BC，且AD=BCD . ∠A+∠ABD=∠C+∠CBD9. （2分）(2019·碑林模拟) 如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·江津模拟) 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N 分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A .B .C .D . ﹣2二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）如图所示，直线a∥b，则∠A=________．12. （1分） (2020八上·舞钢期中) 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是________.13. （1分） (2018八上·三河期末) 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2 ，则S阴影=________cm2 ．14. （1分） (2016八上·防城港期中) 点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC 的度数为________．15. （1分） (2016八上·济源期中) 如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC=________．16. （1分） (2016八下·鄄城期中) 如图所示，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD=________．17. （1分） (2020八上·嘉兴月考) 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB.已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________度.18. （1分）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm．第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为________ cm2。
轴对称知识点总结 - 副本
1 ．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着，能够，那末这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做。
2 ．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着，能够互相重合，那末这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做。
3 ．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够彻底重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部份沿某直线对折能彻底重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部份都彻底重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部份看成两个图形，这两个部份图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4 ．线段的垂直平分线：l垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
(也称线段的中垂线) A B5 ．轴对称的性质：1⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那末对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6 ．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
例1 ：判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1 条对称轴，至多有3 条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
( ) ( ) ( ) ( )例2：下图曾经被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：方法12方法2 方法3例4 ：如图，已知：Δ ABC 和直线l，请作出Δ ABC 关于直线l 的对称三角形。
C C CABABll l例5：如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S 的位置，并将光路图补充完整。
苏科版八年级上第二章《轴对称图形》全章提优练习(含答案)【14份】
苏科版八年级上第二章《轴对称图形》全章提优练习（含答案）第1课时轴对称与轴对称图形1.下列图形中，对称轴的数量小于3的是( )n 且n为整数).如图，请你2.已知各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，也称为正n边形(这里3(1)边形有条对称轴(2)当n越来越大时，正多边形接近于，该图形有条对称轴.3.小明学习了轴对称知识后，忽然想起了参加数学兴趣小组时老师布置的一道题，当时小明没做出来，题目是这样的:有一组数据排列成方阵，如图.试用简便方法计算这组数据的和.小明想:不考虑每个数据的大小，只考虑每个数据的位置，这个图形是个轴对称图形，能不能用轴对称思想来解决这个问题呢?小明顺着这个思路很快解决了这个题目，请你写出他的解题过程.第2课时 轴对称的性质(1)1.如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A '处，点B 落在点B '处，若240∠=︒，则1∠的度数为( )A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°2.如图，点P 关于,OA OB 的对称点分别是12,P P ，12PP 分别交,OA OB 于点,D C ,12P P =16 cm ，则PCD ∆的周长为 cm.3.如图，O 为ABC ∆内部一点, 132OB =.(1)分别画出点O 关于直线,AB BC 的对称点,P Q ;(2)请指出当ABC ∠的度数为多少时，PQ =7，并说明理由;(3)请判断当ABC ∠的度数不是(2)中的度数时，PQ 的长度是小于7还是大于7，并说明你的判断的理由.第3课时 轴对称的性质(2)1.如图，点,A B 在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C ，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C 在图中共有( )A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个2.如图，在2×2的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的ABC ∆.请你找出网格纸中所有与ABC ∆成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的不角形共有 个.3.如图，在由边长为1的正方形组成的6×5方格中，点,A B 都在格点上.(1)在给定的方格中将线段AB 平移到CD ，使得四边形ABDC 是长方形，且点,C D 都落在格点上.画出四边形ABDC ,并叙述线段AB 的平移过程.(2)在方格中画出ACD ∆关于直线AD 对称的AED ∆.(3)求五边形AEBDC 的面积.第4课时 轴对称的性质—习题课7.如图，线段AB 在直线l 的一侧，请在直线l 上找一点P ，使PAB ∆的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.2.如图，在直线l 上找一点Q ，使得,QA QB 与直线l 的夹角相等.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.3. (1)如图①, P 是AOB ∠内一点，在,OA OB 上分别找点,C D ，使得PCD ∆的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.(2)如图②, ,P Q 是AOB ∠内的两点，在,OA OB 上分别找点,C D ，使得以,,,P Q C D 为顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.第5课时 设计轴对称图案1.在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按如图①②所示的方式对折，然后按图③中的虚线裁剪成图④样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是( )2.在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形按如图所示的方式摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种.3.在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC 和格点三角形DEF ，且ABC ∆和DEF ∆ 关于某条直线成轴对称，请在如图①~⑥所示的网格中画出六个这样的DEF ∆.(每种方案均不相同)第6课时 线段、角的轴对称性(1)1.如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点,,E D EC = 4 , ABC ∆的周长为23，则ABD ∆的周长为( )A. 13B. 15C. 17D. 192.如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于点,,D E AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点,F G .若AEG ∆的周长为2018，则线段BC 的长为 .3.如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点,F D 为线段CE 的中点，且18,72CAD ACB ∠=︒∠=︒.求证: BE AC =.第7课时 线段、角的轴对称性(2)1.设P 是ABC ∆内一点，满足PA PB PC ==，则P 是ABC ∆ ( )A.三条内角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点2.如图，在ABC ∆中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E .若EDC ∆的周长为24, ABC ∆与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为 .3.在ABC ∆中，,AB AC O =为平面上一点，且OB OC =.点A 到BC 的距离为8，点O 到BC 的距离为3.求AO 的长.第8课时 线段、角的轴对称性(3)1.如图，ABC ∆的面积为6,AC =3，现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的点C '处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是( )A. 3B. 4C. 5. 5D. 102.如图，//,,AB CD BP CP 分别平分,,ABC DCB AD ∠∠过点P ，且与AB 垂直.若AD =8，则点P 到BC 的距离为 .3.如图，MN 为ABC ∆的边AC 的垂直平分线，过点M 作ABC ∆另外两边,AB BC 所在直线的垂线，垂足分别为,D E ,且AD CE =，作射线BM .求证: BM 平分ABC ∠.第9课时 线段、角的轴对称性(4)1.如图，,ABC EAC ∠∠的平分线,BP AP 交于点P ，过点P 作,PM BE PN BF ⊥⊥，垂足分别为,M N .下列结论:①CP 平分ACF ∠;②180ABC APC ∠+∠=︒;③AM CN AC +=;④2BAC BPC ∠=∠.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③④D.①③2.如图，AD 是ABC ∆的角平分线，,DE DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，连接EF ,交AD 于点O .下列结论:①DE DF =;②OA OD =;③AD EF ⊥;④AE DF AF DE +=+; ⑤AD 垂直平分EF .其中一定正确的是 .(填序号)3.如图.在ABC ∆中，AB AC >，边BC 的垂直平分线DE 交ABC ∆的外角BAM ∠的平分线于点D ,垂足为,E DF AB ⊥，垂足为F .求证: BF AC AF =+.第10课时 等腰三角形的轴对称性(1)1.如图，在ABC ∆中，55,30B C ∠=︒∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD ∠的度数为( )A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°2.如图，在ABC ∆中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且,50AC CD BD BE A ===∠=︒，则CDE ∠的度数为 .3.如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒, ,D E 为斜边AB 上的两点，且,BD BC AE AC ==，求DCE ∠的度数.第11课时 等腰三角形的轴对称性(1)—习题课1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的底角的度数为( )A. 30°B. 75°C. 15°或30°D. 75°或15°2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒,60ABC ∠=︒，在边AC 所在的直线上找一点P ，使ABP ∆是等腰三角形，此时APB ∠的度数为 .3.在ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交所成的锐角为40°，求B ∠的度数.第12课时 等腰三角形的轴对称性(2)1.如图，在ABC ∆中，,36,,AB AC A BD CE =∠=︒分别是,ABC ACB ∠∠的平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.在ABC ∆中，50A ∠=︒，当B ∠的度数为 时，ABC ∆为等腰三角形.3.如图①，在ABC ∆中，,,AB AC ABC ACB =∠∠的平分线交于点O ，过点O 作//EF BC 交,AB AC 于点,E F .(1)图中有几个等腰三角形?猜想EF 与,BE CF 之间有怎样的数量关系，并说明理由.(2)如图②，若AB AC ≠，其他条件不变，则图中还有等腰三角形吗?如果有，分别写出来;另外在(1)中EF 与,BE CF 之间的数量关系还存在吗?(3)如图③，若在ABC ∆中, ABC ∠的平分线BO 与ABC ∆的外角平分线交于点O ，过点O 作//OE BC 交AB 于点E 、交AC 于点F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与,BE CF 之间的数量关系又如何?并说明你的理由.第13课时 等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.如图，120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠，且OP =2.若点,M N 分别在,OA OB 上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上2.如图，在等边三角形ABC 中，,,AE CD AD BE =相交于点,P BQ AD ⊥于点Q ,则线段,BP PQ 的数量关系为 .3.如图，C 为线段AB 上一点，ACM ∆,CBN ∆是等边三角形.,AN BM 相交于点,,O AN CM 交于点P , ,BM CN 交于点Q ，连接PQ .(1)求证: AN MB =;(2)求AOB ∠的度数;(3)求证: //PQ AB .第14课时 等腰三角形的轴对称性(3)1.如图，在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥ ,垂足分别为,E F .若M 是BC 的中点，则图中等腰三角形有( )A. 1个B. 3个C. 4个D. 5个2.如图，在四边形ABCD 中，90BCD BAD ∠=∠=︒ , ,AC BD 相交于点,,E G H 分别是,AC BD 的中点.如果80BEC ∠=︒，那么GHE ∠的度数为 .3.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在边AC 上(不与点,A C 重合), DE AB ⊥于点E ，连接,BD F 为BD 的中点.试猜想A ∠与CEF ∠的关系并证明.第2章 轴对称图形第1课时 轴对称与轴对称图形1.D2. 3 4 5 6 7 8(1) n(2)圆 无数3. 从方阵的数据看出，正方形的一条对角线上的数据都是10.若把这条对角线所在的直线作为对称轴，把这个方阵对折，对称轴两侧重合的小正方形内的数据之和都是10，相加后如图所示，这样方阵中的所有数据之和为1010100⨯=第2课时 轴对称的性质(1)1.A2. 163. (1)如图，过点O 画OH AB ⊥，垂足为H ，在垂线段OH 的延长线上取一点P ，使得PH OH =P ，此时点P 就是点O 关于直线AB 的对称点，同理画出点Q .(2)当90ABC ∠=︒时，7PQ =理由：如图，连接BP 、BQ∵点O 、P 关于直线AB 对称∴直线AB 垂直平分OP∴90BHO BHP ∠=∠=︒，PH OH =∵BH BH =∴BHO BHP ∆≅∆ ∴132OB PB ==，OBH PBH ∠=∠ 同理132OB QB ==，OBC QBC ∠=∠∴1133722PB QB +=+= 若7PQ =，则PB QB PQ +=，此时P 、B 、Q 三点共线∴180PBQ ∠=︒ ∴1902ABC OBH OBC PBQ ∠=∠+∠=∠=︒ (3)当90ABC ∠≠︒时，7PQ <理由：∵90ABC ∠≠︒∴P 、B 、Q 三点不在同一直线上，此时构成PBQ ∆∴PB BQ PQ +>.由(2)，得7PB BQ +=∴7PQ <第3课时 轴对称的性质(2)1.D2. 53.(1)如图，将线段AB 先向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长度，得线段CD (平移过程不唯一).(2)如图，画点C 关于直线AD 的对称点E ，连接AE 、DE ，则AED ∆即为所求. ( 3)1152(35)21322ACD AEBDC AEBD S S S ∆=+=⨯⨯+⨯+⨯=五边形梯形第4课时 轴对称的性质—习题课1. 由干线段AB 的长度是固定的，要使PAB ∆的周长最短，只要PA PB +最短即可.如图，过点A 作它关于直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 于点P ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆就是周长最短的三角形，∴点P 即为所求.2.如图，过点A 作它关干直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 于点Q .连接QA 、QB ，此时AQH BQD ∠=∠，∴点Q 即为所求.3. (1)如图①，过点P 分别作关于射线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接12P P ，分别交OA 、OB 于点C 、D ，连接PC 、PD 、CD ，此时PCD ∆的周长最短，∴点C 、D 和PCD ∆即为所求.(2)如图②.过点P 、Q 分别作射线OA 、OB 的对称点1P 、1Q ，连接11PQ ，分别交OA 、OB 于点C 、D ，连接PC 、PQ 、QD 、CD ，此时四边形PCDQ 的周长最短，∴点C 、D 和四边形PCDQ 即为所求.第5课时 设计轴对称图案1.A2. 133.要使DEF ∆和ABC ∆于某条直线成轴对称，关键是确定适当的对称轴.再根据轴对称的性质画出符合条件的图案，可以以33⨯的正方形网格图的对称轴为对称轴画出所求的DEF ∆，有四个不同位置的三角形;也可以以ABC ∆的边AC 、BC 的中点连线所在的直线为对称轴画出所求的DEF ∆，有一个三角形;还可以把过ABC ∆的顶点C 与边AB 平行的直线作为对称轴画出所求的DEF ∆，也有一个三角形.如图①~⑥中的DEF ∆即为所求第6课时 线段、角的轴对称性(1)1.B2. 20183. 连接AE ，∵EF 是AB 的垂直平分线∴AE BE =∵在ADC ∆中.，18CAD ∠=︒，72ACB ∠=︒∴18090ADC CAD ACB ∠=︒-∠-∠=︒即AD EC ⊥∵D 为线段CE 的中点∴ED CD =∴AD 垂直平分EC∴AE AC =∴BE AC =第7课时 线段、角的轴对称性(2)1.D2. 63.∵AB AC =∴点A 在线段BC 的垂直平分线上∵OB OC =∴点O 也在线段BC 的垂直平分线上∴AO 所在的直线即为线段BC 的垂直平分线.设直线AO 与BC 交于点M .由题意，得8,3AM OM ==如图①.当点A 、O 在BC 的同侧时，835AO AM OM =-=-=;如图②，当点A 、O 在BC 的异侧时，8311AO AM OM =+=+=第8课时 线段、角的轴对称性(3)1.A2. 43.连接MA 、MC∵点M 在AC 的垂直平分线上∴MA MC =∵,MD AB ME BC ⊥⊥∴90ADM CEM ∠=∠=︒在Rt MAD ∆和Rt MCE ∆中MA MC AD CE=⎧⎨=⎩ ∴Rt MAD Rt MCE ∆≅∆∴点M 在ABC ∠的平分线上，即BM 平分ABC ∠.第9课时 线段、角的轴对称性(4)1.B2. ①③④⑤3.如图.在ABC ∆中，AB AC >，边的垂直平分线DE 交ABC ∆的外角BAM ∠的平分线于点D ,垂足为,E DF AB ⊥，垂足为F .求证: BF AC AF =+.3.过点D 作DN MC ⊥，垂足为N ，连接DB 、DC .∵DN MC ⊥,DF AB ⊥∴90AND AFD ∠=∠=︒∵AD 平分BAM ∠∴NAD FAD ∠=∠在DNA ∆和DNA ∆中，AND AFD NAD FAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DNA DFA ∆≅∆∴,AN AF DN DF ==∵DE 是边BC 的垂直平分线 ∴DB DC =∵DN MC ⊥,DF AB ⊥ ∴90DNC DFB ∠=∠=︒在Rt DFB ∆和Rt DNC ∆中DB DC DF DN =⎧⎨=⎩∴Rt DFB Rt DNC ∆≅∆∴BF CN =∵CN AC AN AC AF =+=+∴BF AC AF =+第10课时 等腰三角形的轴对称性(1)1.A2. 52.5°3.设,BDC x AEC y ∠=∠=∵BD BC =∴BDC BCD x ∠=∠=∵BDC ∆的内角和为180°∴1802B x ∠=︒-同理可求1802A y ∠=︒-∵在ACB ∆中，90ACB ∠=︒∴90A B ∠+∠=︒即1802180290x y ︒-+︒-=︒整理，得135x y +=︒∵DEC ∆的内角和为180°第11课时 等腰三角形的轴对称性(1)—习题课1.D2. 15°或30°或75°或120°3.分三种情况讨论:①当顶角BAC ∠为锐角时，如图①.∵DE 垂直平分AB∴90ADE ∠=︒∵40AED ∠=︒∴在Rt ADE ∆中，904050A ∠=︒-︒=︒∵AB AC = ∴1(18050)652B C ∠=∠=︒-︒=︒ ②当顶角BAC ∠为直角时，BA AC ⊥，此时//DE AC ，不合题意，舍去.③当顶角BAC ∠为钝角时，如图②.∵DE 垂直平分AB∴90ADE ∠=︒∵40AED ∠=︒∴在Rt ADE ∆中，50BAE ∠=︒∵BAE B C ∠=∠+∠∴50B C ∠+∠==︒∵AB AC = ∴150252B C ∠=∠=⨯︒=︒ 综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒第12课时 等腰三角形的轴对称性(2)1.D2. 50°或80°或65°2.在ABC ∆中，50A ∠=︒，当B ∠的度数为 时，ABC ∆为等腰三角形.3. (1)图中有5个等腰三角形：ABC ∆、AEF ∆、OBC ∆、EBO ∆、FOC ∆EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =+理由：∵BO 平分ABC ∠∴EBO OBC ∠=∠∵//EF BC∴EOB OBC ∠=∠∴EBO EOB ∠=∠∴BE OE =同理可证CF OF =∴EF OE OF BE CF =+=+(2)若AB AC ≠，则图中仍旧存在2个等腰三角形：EBO ∆和FOC ∆，EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =+仍旧存在.(3)图中存在等腰三角形EBO ∆和FOC ∆，EF 与BE 、CF 之间的数量关系是EF BE CF =- 理由：∵BO 平分ABC ∠∴EBO OBC ∠=∠∵//EF BC∴EOB OBC ∠=∠∴EBO EOB ∠=∠∴BE OE =同理可证CF OF =∴EF OE OF BE CF =-=-第13课时 等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.D2.2BP PQ =3. (1)如图，∵ACM ∆,CBN ∆都是等边三角形∴6160∠=∠=︒,,AC CM CN BC ==∵180ACB ∠=︒∴360∠=︒,120ACN MCB ∠=∠=︒在ACN ∆和MCB ∆中AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACN MCB ∆≅∆∴AN MB =(2)如图，由(1)，知ACN MCB ∆≅∆∴54∠=∠∵OQN ∆与CQB ∆的内角和均为180°，且OQN CQB ∠=∠∴160NOQ ∠=∠=︒∵180AOB NOQ ∠+∠=︒∴120AOB ∠=︒(3)如图，∵160∠=︒，360∠=︒∴31∠=∠在PCN ∆和QCB ∆中3154CN CB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴PCN QCB ∆≅∆∴PC QC =又360∠=︒∴PCQ ∆为等边三角形∴260∠=︒∴21∠=∠∴//PQ AB第14课时 等腰三角形的轴对称性(3)1.D2. 10°3. A CEF ∠=∠ 证明：,EBF x CBF y ∠=∠=∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒∴1809090A x y x y ∠=︒-︒--=︒--∵90ACB ∠=︒，F 为BD 的中点 ∴12CF BD BF == ∴FCB FBC y ∠=∠=∴2DFC FCB FBC y ∠=∠+∠=∵DE AB ⊥，F 为BD 的中点 ∴12EF BD BF == ∴FEB FBE x ∠=∠=∴2DFE FEB FBE x ∠=∠+∠=∴22EFC DFE DFC x y ∠=∠+∠=+ 又∵12CF BD =，12EF BD = ∴CF EF =∴CEF ECF ∠=∠∵CEF ∆的内角和为180° ∴11(180)(18022)9022CEF EFC x y x y ∠=︒-∠=︒--=︒-- ∴A CEF ∠=∠。
角的轴对称性
简单的轴对称图形：角的轴对称性教学目标知识技能1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征.2.探索并了解角的轴对称性及相关性质.3.会用尺规作角的平分线.过程与方法1.通过独立思考,小组合作探究,主动展示,经历角的平分线性质的形成与初步应用过程,从而增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力.2.通过观察、折叠等活动,发展空间观念,培养有条理的思考和规范的数学语言.情感态度与价值观1.通过活动体验学数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.2.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.教学重难点【重点】掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.【难点】角平分线的性质的应用.教学准备【教师准备】课件、基本作图工具.【学生准备】笔记本、基本作图工具、角的纸片等.教学过程一、新课导入:[导语]前面我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形,那么,我们之前学过的另一个基本图形“角”是不是轴对称图形?如果是,对称轴是怎样的直线?【活动内容】不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?[处理方式]学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论.教师要有足够的耐心,要为学生的思考留有时间和空间.通过探究,学习新知:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.[设计意图]体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础.二、知识探索：探究活动1角平分线的性质【活动内容】请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流.折纸要求:1.在折痕(即∠AOB的角平分线)上任意找一点C;2.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,点D是折痕与OA边的交点,即垂足;3.过点C折OB边的垂线,得到新的折痕CE,点E是折痕与OB边的交点,即垂足;4.将∠AOB再次对折.【问题】在上述的操作过程中,折痕CD与CE能重合吗?改变点C的位置,CD与CE还相等吗?你能解释其中的道理吗?小组交流展示成果.已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗?试说明理由.解:因为CD⊥OA,CE⊥OB（已知）所以∠CDO=∠CEO=90°（垂直的定义）在△CDO和△CEO中,∠CDO=∠CEO（已证）因为∠COD=∠COE（已知）OC=OC（公共边）所以△CDO≌△CEO （AAS）故：CD=CE. （全等三角形的对应边相等）(教师板书)结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.[处理方式]学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证.【即时训练一】判断下列说法是否正确.如图所示.1.因为OC平分∠BOA,所以CD=CE.()2.因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()3.因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()【即时训练二】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5 cm.求:点D到AB的距离.教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答.生:本题需要作出表示点D到AB的距离线段,然后利用角平分线的性质解答.解:过点D作DE⊥AB,垂足为E,因为AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,所以DE=DC=5 cm,即点D到AB的距离是5 cm.[设计意图]注重符号语言转化性质的条件和结论,是为了让学生更好地理解和应用解答问题,尤其是对图形的分析,是学生学习的弱项,加强对图形的标注和构造,为今后图形性质的学习打下坚实的基础.注意事项:角平分线性质中的距离,对应的必须是垂线段,不能认为是任意线段.探究活动2尺规作角的平分线对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线,对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢?下面我们探究用尺规作角的平分线.已知:∠AOB.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.(2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗?想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?学生交流后得到:OD=OE,CD=CE.△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?[处理方式]教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理.[设计意图]明确几何作图的基本思路和方法.在自己操作的过程中培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.探究活动3角平分线性质的应用一条公路与一条铁路所成角的平分线上有一点P,要从点P建两条路,一条到公路上,一条到铁路上,怎样修建距离最短?这两条路有什么关系?理由是什么?设公路与铁路交于点O,公路为OA,铁路为OB,过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则PM是到公路上的路,PN是到铁路上的路(垂线段最短).因为点P在公路与铁路所成角的平分线上,所以PM=PN.[设计意图]让学生进一步理解角的平分线的性质,并在此基础上学会利用角的平分线的性质解决简单的问题.[知识拓展]“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这句话逆过来说“到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否也正确呢？三、课堂小结：1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.四、随堂检测：1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB 于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为()A.4 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定答案:B4.如图所示,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是()A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT答案:D五、板书设计：角的轴对称性探究活动1角平分线的性质探究活动2尺规作角的平分线探究活动3角平分线性质的应用六、作业布置：【必做题】教材第127页习题5.5知识技能第1题.【选做题】教材第127页习题5.5数学理解第2,3题.教学反思1、成功之处：通过折纸操作,从而得到启发,在教师的引导下,让学生悟出角平分线的性质和用尺规作角的平分线,培养学生实践操作能力;学生在经历观察、类比、归纳等过程的基础上,再让学生实践用尺规作角的平分线的过程,进一步提升了学生的感性和理性的融合.在本课时中,营造了一个和谐的课堂学习氛围.2、不足之处：过多的关注学生的实践和操作,忽略了实践和操作的可行性，导致延误了很多时间，致使课堂教学未能按计划完成！另外，在整堂课时间的安排与掌控中，没有合理有效的合理安排，使得课堂结尾仓促！。
2-4 线段、角的轴对称性(解析版)
姓名： 班级2.4 线段、角的轴对称性本课重点（1）垂直平分线与角平分线的性质与判定 本课难点 （2）利用垂直平分线与角平分线的性质与判定解决实际问题全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·河北保定市·八年级期末）ABC 内一点P 到三边距离相等，则点P 一定是ABC （ ） A ．三条角平分线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：∵点P 到三边距离相等，∴点P 一定在三条角平分线的交点上，故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ，若ABC 的周长为16，3BE =，则ABD △的周长为（ ）A ．6B ．10C ．12D ．20【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD CD =，BE CE =，即可得到10AB AC +=、ABD △的周长为AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 为BC 的垂直平分线，∴BD CD =，BE CE =，∵ABC 的周长为16，3BE =，∴10AB AC +=，∴ABD △的周长为10AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+=，故选：B ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．3．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A 、B 、C 三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A 、B 、C 三名同学所在位置看作△ABC 的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边上高的交点D ．三边垂直平分线的交点 【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC 的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．4．（2021·吉林九年级二模）如图，在锐角三角形ABC 中，BC BA >，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，BA 长为半径作圆弧，交AC 于点D ；②分别以点A 、D 为圆心，大于12AD 长为半径作圆弧，计两弧交于点E ；③作射线BE ，交AC 于点P ，若60A ∠=︒，则ABP ∠的大小为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【分析】根据作图步骤可知BP ⊥AC ，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．【详解】由作图步骤可知：BP ⊥AC ，∴∠BP A =90°，∵60A ∠=︒，∴ABP ∠=90°-∠A =30°，故选：C ．【点睛】本题考查尺规作图——作垂线，熟练掌握各基本作图的步骤是解题关键．5．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB 于点F ，且DE ＝DG ，S △ADG ＝24，S △AED ＝18，则△DEF 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线的性质得到DH =DF ，进而证明Rt △DEF ≌Rt △DGH ，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积=△DGH 的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH =DF ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，DF DH DE DG =⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）， ∴△DEF 的面积=△DGH 的面积，设△DEF 的面积=△DGH 的面积=S ，同理可证，Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴△ADF 的面积=△ADH 的面积，∴24-S =18+S ，解得，S =3，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．6．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，点C 的对应点为点C '，C B ''的延长线交BC 于点D ，连接AD ．则下列说法错误的是（ ）A ．△ABC △ABC ''≅ B ．//AB BC ' C ．CDC CAC ∠∠''=D ．AD 平分BDB '∠【答案】B【分析】A 、根据旋转的性质即可判断；B 、由旋转角的任意性可以判断；C 、由三角形内角和为180︒且两个角相等即可判断；D 、利用角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解：A 、由旋转的性质可知：△ABC △ABC ''≅，故A 正确，不符合题意；B 、''ABC 由ABC 绕A 旋转任意角度得到，'//AB BC ∴只是特殊情况，故B 错误，符合题意；C 、''ABC AB C ≌，'C C ∴∠=∠，''1801C AC C ∠=︒-∠-∠，'1802CDC C ∠=︒-∠-∠，''12,CDC CAC ∠=∠∴∠=∠，故C 正确，不符合题意；D 、过A 分别作',C D CB 的垂线，垂直分别是,EF ，''ABC AB C ≌，''BC B C ∴=，''ABC AB C S S =△△； 11''22B C AE BC AF ∴⨯⨯=⨯⨯，AE AF ∴=， ',AE C D AF CB ⊥⊥，AD ∴平分BDB '∠，故D 正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．7．（2021·湖南八年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:1:3ACD ACB S S =△△．其中正确的有（ ）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④【答案】D【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．【详解】解：根据作图过程可知AD是BAC∠的角平分线，①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=12AD，∵AD=DB，∴CD=12DB，∴CD=13CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选D．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键．8．（2021·广东七年级期末）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE BC=，PG//AD交BC于F，交AB于G，①2ACB APB=∠∠；②S△P AC：S△P AB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【答案】B【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【详解】解：∵P A平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠P AB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠P AB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S △P AC ：S △P AB =（12AC •PN ）：（12AB •PM ）=AC ：AB ；故②不正确；∵BE =BC ，BP 平分∠CBE ∴BP 垂直平分CE ，故③正确；∵PG ∥AD ，∴∠FPC =∠DCP ∵PC 平分∠DCB ，∴∠DCP =∠PCF ，∴∠PCF =∠CPF ，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．9．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BAC ∠=∠B ．BAD B =∠∠C ．DE DC =D ．AE AC =【答案】B 【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B 在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B ∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．10．（2021·江西八年级期末）如图，在ABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交AB 于点E ，点P 是直线DE 上的一个动点，若5AB =，则PB PC +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】由条件可得点A 是点C 冠以ED 的对称点，即求PB+PC 的最小值就是求PB+PA 的最小值，在点P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值．【详解】解：∵ED 是AC 的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB ，∵P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值，∴PB+PC 的最小值=AB=5．故选：A 【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．【答案】4．【分析】作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，然后根据角平分线的性质进行判断．【详解】解：如图示，作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．12．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·全国八年级专题练习）已知：如图，点P在线段AB外，且P A=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作∠APB的平分线PC交AB于点C②过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC③取AB中点C，连接PC④过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】①③④ 【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确； ②过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；④利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．14．（2021·广东八年级期末）在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝6，AD 平分∠BAC ，则S △ABD ：S △ACD ＝___．【答案】5：6【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质得出DE ＝DF ，根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，设DE ＝DF ＝R ，∵S △ABD ＝12AB DE ⨯⨯＝152⨯⨯R ，S △ACD ＝12AC DF ⨯⨯＝162R ⨯⨯， ∴S △ABD ：S △ACD ＝5：6，故答案为：5：6．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（2021·四川八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BM BN =；分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内部交于点E ；作射线BE 交AC 于点F ．若2CF =，点H 为线段AB 上的一动点，则FH 的最小值是______．【答案】2【分析】如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．根据角平分线的性质定理证明GF =FC =2，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．由作图可知，FB 平分∠ABC ，∵GF ⊥BA ，FC ⊥BC ，∴GF =FC =2，根据垂线段最短可知，HF 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2021·辽宁九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90,22,C B PQ ∠∠=︒=︒垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC ，AB 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；作射线AF ，射线AF 与直线PQ 相交于点G ，则AGQ ∠的度数为__________度．【答案】56【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC ＝68°，由角平分线的定义得∠BAG ＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG 是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ ．【详解】解：∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°，∵∠B ＝22°，∴∠BAC ＝90°−∠B ＝90°−22°＝68°，由作法可知，AG 是∠BAC 的平分线，∴∠BAG ＝12∠BAC ＝34°，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴△AGQ 是直角三角形，∴∠AGQ ＋∠BAG ＝90°，∴∠AGQ ＝90°−∠BAG ＝90°−34°＝56°，故答案为：56．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．17．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，分别作AC ，AB 两边的垂直平分线PM 、PN ，垂足分别是点M 、N ．以下说法正确的是______（填序号）．①60P ∠=︒；②EAF B C ∠=∠+∠；③PE PF =；④点P 到点B 和点C 的距离相等．【答案】①②④【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC =EA ，FB =F A ，进而得到∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴∠PMA =∠PNA =90°，∠BAC =120°∴∠P =360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；∵∠BAC =120°，∴∠B +∠C =180°-120°=60°，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴EC =EA ，FB =F A ，∴∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ， ∴∠EAF =∠BAC -∠EAC -∠F AB =∠BAC -（∠B +∠C ）=120°-60°=60°，∴ ∠EAF =∠B +∠C ，②说法正确；△ABC 不一定是等腰三角形，∴PE 与PF 的大小无法确定，③说法错误；连接PC 、P A 、PB ，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴PC =P A ，PB =P A ，∴PB =PC ，即点P 到点B 和点C 的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是___．【答案】4360BPC ∠-︒【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BAC BPC ∠=∠-︒；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOC BAC ∠=∠，进而得出BOC ∠和BPC ∠的数量关系．【详解】解：BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠180(=︒-11)22ABC ACB ∠+∠1180()2ABC ACB =︒-∠+∠ 1180(180)2BAC =︒-︒-∠1902BAC =︒+∠，即2180BAC BPC ∠=∠-︒； 如图，连接AO ．点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC ∴==，OAB OBA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，1802AOB OAB ∴∠=︒-∠，1802AOC OAC ∠=︒-∠，360()BOC AOB AOC ∴∠=︒-∠+∠360(18021802)OAB OAC =︒-︒-∠+︒-∠，22OAB OAC =∠+∠2BAC =∠2(2180)BPC =∠-︒4360BPC =∠-︒，故答案为：4360BPC ∠-︒．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．【答案】作图见解析．【分析】根据题意，分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线即可求得【详解】解：分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线；作图步骤如下：①以O 为圆心，任意长度为半径作弧，交,OA OB 于两点,C D ，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 为半径在角的内部分别作弧，交于一点E ，作射线OE ；②分别以,M N 为圆心，以大于12MN 为半径在MN 的两侧分别作弧，交于,F G ,作直线FG ；FG 与OE 的交点P 即为所求如图所示，P 在AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线的交点上，点P 就是仓库应该修建的位置．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键．20．（2021·重庆南开中学七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 、F 分别为AB 边，AC 边上的点，连接DE 、DF ，使得DA 平分∠EDF ，且DE =DF ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ．（1）若DF //AB ，求证：AE =DE ；（2）求证：DG =CD ．【答案】见详解【分析】（1）先利用平行线性质证得EAD ADF ∠=∠，再利用角平分线的定义证得EDA ADF ∠=∠，利用等量代换可得EDA EAD ∠=∠，即可得到答案AE =DE ；（2）先证AED AFD ≌，得EAD FAD ∠=∠，即可利用角平分线的性质得到答案．【详解】解：（1）∵//DF AB ∴EAD ADF ∠=∠∵DA 平分∠EDF ∴EDA ADF ∠=∠∴EDA EAD ∠=∠∴AE =DE ．（2）∵EDA ADF ∠=∠，DE =DF ，AD=AD∴AED AFD ≌∴EAD FAD ∠=∠∵90ACB ∠=︒，DG ⊥AB ∴DG =CD ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及全等的应用，解题关键是利用性质找到角与角之间的关系．21．（2021·福建九年级一模）如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE，DE，设BC的延长线交DE于点G，连接AG．求证：AG平分DGB∠．【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．【详解】解：(1) 点E位置如图所示；(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知AED≌ABC，DE=BC，∴12AEDS DE AN=⋅，12ABCS BC AM=⋅，∴1122DE AN BC AM⋅=⋅，∴AN AM=，∴AG平分DGB∠．【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．22．（2021.江苏八年级期中）如图，ABC中，边AB BC，的垂直平分线交于点P．==．（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．（1）求证：PA PB PC【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴P A=PB，PB=PC．∴P A=PB=PC．（2）∵P A=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．23．（2021·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．【答案】见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE ∴EB 平分∠ABC ．（3）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF又∵AE= BE ∴AE=EF 【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形． 24．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在ABC 中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线AE 于E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥交AC 的延长线于G ．（1）求证：BF CG =；（2）若5AB =，3AC =，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接BE 、EC ，证明Rt BFE △≌Rt CGE △即可；（2）证明Rt AEF Rt AEG △≌△，则AF AG =，继而求得AF 的长【详解】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，∵ED BC ⊥，D 为BC 中点，∴BE EC =，∵EF AB ⊥，EG AG ⊥，且AE 平分FAG ∠，∴FE EG =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩，∴Rt BFE △≌Rt CGE △（HL ）∴BF CG =． （2）解：在Rt AEF 和Rt AEG 中，AE AE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt AEF Rt AEG △≌△（HL ），∴AF AG =，∴2AB AC AF BF AG CG AF +=++-=，∴28AF =，∴4AF =．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（2020·湖北）（1）模型：如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，求证：::ADB ADC S S AB AC =△△．（2）模型应用：如图2，AD 平分EAC ∠交BC 的延长线于点D ，求证：::AB AC BD CD =．（3）类比应用：如图3，AB 平分DAE ∠，AE AD =，180D E ∠+∠=︒，求证：::BE CD AB AC =．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，即可得出ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出BD DEAB AE=，BD CDAB AD=，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即AB AM ACBE EM DC==，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，∴ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE 又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，AC AECAD DAEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴BD DEAB AE=，∴BD CDAB AD=，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，AD AED AEMDC EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故AB AM ACBE EM DC==，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点1．轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。
【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。
成轴对称的两个图形一定全等。
】2．轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。
】3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。
4．轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。
5．线段的轴对称性①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
】6．线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
7．角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
轴对称的性质及线段、角的对称性
轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。
2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。
知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
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第五章生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形（第3课时）
角的轴对称性
一、学生知识状况分析
学生在小学已经学习了简单的轴对称图形的有关知识，对轴对称图形已有一定的认识。
根据七年级学生有好奇心、求知欲较强，学生间相互评价、相互提问的积极性高，有参与实践探究活动的要求，因此本节通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。
由于学生对于观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
二、教学任务分析
本节是从折叠入手，使学生进一步认识角轴对称性，让学生通过动手操作、观察、自主探究角平分线的性质。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用，同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
本节的具体教学目标为：
知识目标：
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．能力目标：
1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
情感目标：
1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；
2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题
的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：动手操作，导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：动手操作，导入课题
活动内容：
[情境问题一]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分
成两个相等的角。
你有什么办法？（对折）再打开纸
片，看看折痕与这个角有何关系？
学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。
教师与学生一起动手操作。
展示学生作品。
活动目的：体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
活动效果：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．
第二环节：动手操作，探求新知
1、[情境问题二]对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平
分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A
点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD
的平分线，为什么？
教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。
学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
本次活动中，教师重点关注：
(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；
(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。
活动目的：说明用其他实验的方法可以将一个角平分。
培养学生的抽象思维能力
和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功。
活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体
验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解
决．
2、问题：
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的
方法。
已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的
仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线
吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法。
活动目的：从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。
活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．
第三环节：猜想再实践，发展几何直觉。
[情境问题三]将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继
续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程．学生观察思考后，分组讨论、交流：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等．再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等）
教师归纳，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示，强调定理的条件和作用．
活动目的：经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维．
活动效果：从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力
及理性精神，让学生体验成功。
第四环节：巩固基础，检测自我。
辨一辨：如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
判断：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD = CD
（2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD = CD
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD
= CD
练一练：1、如图，∵OC是∠AOB的平分线，又
________________∴PD=PE ( )
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
DE与DC相等吗？为什么？
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则
PE=__________cm.
4、已知△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,
求点D到AB的距离是多少？
活动目的：通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
活动效果：本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。
第五环节：课堂小结，布置作业。
小结：我们这节课学习了那些知识？
小节让学生畅所欲言，从不同角度谈论本节课的收获。
活动目的：通过小结归纳，完善学生对知识的梳理
活动效果：加深对本节知识的掌握。
四、教学反思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验角的轴对称性，为角平分线性质做好铺垫。
紧接着引出简易角平分仪推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．。