2.12.2逻辑联结词命题公式

定义2.1.5
•设P，Q是两个命题，命题 “P当且仅当Q” 称为P等价Q，记以PQ。规定，PQ是 真的当且仅当P，Q或者都是真的，或者都 是假的。
•例如， P ： a2+b2=a2， Q： b=0，
PQ： a2+b2=a2当且仅当b=0 。
例2.1.1
•如果你走路时看书，那么你会成为近视眼。
•令P：你走路；Q：你看书； R：你会成为 近视眼。
•例如，P：f(x)是可微的，Q：f(x)是连续 的， PQ： 若f(x)是可微的，则f(x)是连续的。
• 由定义知，如果P是假命题，则不管Q是 什么命题，命题 “如果P，则Q”在命题 逻辑中都被认为是真命题。
• 例如，P： 22=5，Q： 雪是黑的， 于是，命题 “如果22=5，则雪是黑的” 是真命题。
• 设P是一个命题，命题 “P是不对的”称 为P的否定，记以P，读作非P。P是真 的当且仅当P是假的。
• 例如： P：吉大是中国最大的大学。
P：吉大不是中国最大的大学。
定义2.1.2
•设P，Q是两个命题，命题 “P或者Q”称 为P，Q的析取，记以PQ，读作P或Q。 规定PQ是真的当且仅当P，Q中至少有一 个是真的。
• 古典数理逻辑：命题逻辑和谓词逻辑—是计算 机科学很重要的数学基础。
• 现代数理逻辑：逻辑演算、证明论、公理集合 论、递归论和模型论 。
数理逻辑的创始人--莱布尼茨
(Leibniz, Gottfried Wilhelm)
1646-1716
➢德国数学家、物理学家、哲学家等， 一个举世罕见的科学天才。研究领域涉 及到逻辑学、数学、力学、地质学、法 学、历史学、语言学、生物学以及外交、 神学等诸多方面. ➢出生于德国东部莱比锡的一个书香之 家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授， 母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的 父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留 下了丰富的藏书。
规定：
1. 公式(G)的括号可以省略，写成G。 2. 整个公式的最外层括号可以省略。 3. 五种逻辑联结词的优先级按如下次序递增：
，，，， • 例如，我们写符号串
PQRQSR 就意味着是如下公式：
((P(QR))(Q((S)R)))
§2.2.2 解释
•定义2.2.3 设G是命题公式，A1, …, An是出现在 G中的所有原子。 指定A1, …, An的一组真值， 则这组真值称为G的一个解释。
•因为一个命题公式的解释的数目是有穷的， 所以命题逻辑的判定问题是可解的(可判定的， 可计算的)，亦即，命题公式的恒真，恒假性 是可判定的。
2.1 命题以及逻辑联结词
2.1.1 命题
• 所谓命题是指一句有真假意义的话。 • 例如：上海是中国最大的城市
今天是星期二 所有素数都是奇数 1+1=2 • 命题用大写英文字母P，Q，…，P1，P2，…，表 示。
• 如果一个命题是真的，就说它的真值是1； 如果一个命题是假的，就说它的真值是0。
定义2.1.1
• 15岁时，进了莱比锡大学学习法律，一进校便 跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还 广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作， 并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听 了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后， 莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他 在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲 学硕士学位 。
就可以记为{P，Q，R}
定义2.2.5
•公式G称为恒真的(或有效的)，如果G在它的所 有解释下都是真的； 公式G称为恒假的(或不可 满足的)，如果G在它的所有解释下都是假的；公 式G称为可满足的，如果它不是恒假的。
•考虑G1= (P→Q) →P，
•G2=(P →Q) P，
•G3=P P。
•G1= (P→Q) →P，G2=(P →Q) P •G3=P P。
• “不可兼或” 不可以用来表示.
表示为：(PQ) ( PQ) –异或
判断：
（1）今天晚上我在家中看戏或去剧场看戏。 （2）他可能是100米或400米冠军。 （3）我第一节课上数学课或上英语课。 （4）李梅是三好学生或优秀团员。 （5）张三生于1987年或1988年。 （6）老王或小李有一个去上海出差。 （7）李明是软件学院的学生，他住在312室
• 26岁设计出世界第一台乘法器，被认为是现代 机器数学的先驱者。
• Leibniz之梦：有一天所有的知识，包括精神和 无形的真理，能够通过通用的代数演算放入一 个单一的演绎系统。
• 1693年，发现了机械能的能量守恒定律。 • 与牛顿并称为微积分的创立者。
• 系统阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。
•设G是公式，I是G的一个解释，显然，G在I下 有真值，通常记为TI(G)。 •定义2.2.4 公式G在其所有可能的解释下所取真 值的表，称为G的真值表。
•显然，有n个不同原子的公式，共有2n个解释。
例
•G=PQ，设解释I，I’如下：
I：
I’：
PQ
PQ
11
则TI (G)=1，TI’ (G)=0
10
•若G是恒真的，则G是可满足的； 反之不对。
•如果公式G在解释I下是真的，则称I满足G； 如果G在解释I下是假的，则称I弄假G。
•在逻辑研究和计算机推理以及决策判断中，人 们对于所研究的命题，最关心的莫过于“真”、 “假”问题，所以恒真公式在数理逻辑研究中 占有特殊且重要的地位。
判定问题
•能否给出一个可行方法，对任意的公式，判 定其是否是恒真公式。
于是，上Biblioteka Baidu语句可表示为（PQ）R。
例2.1.2
•除非他以书面或口头的方式正式通知我， 否则我不参加明天的会议。
•令P：他书面通知我； Q：他口头通知我； R：我参加明天的会议。
于是，上述语句可表示为(PQ)R。
例2.1.3
•设P，Q，R的意义如下： P：苹果是甜的；Q：苹果是红的； R：我买苹果。 试用日常语言复述下述复合命题： (1) (PQ)R (2) (PQ)R
或 313室。
定义2.1.3
•设P，Q是两个命题，命题 “P并且Q”称 为P，Q的合取，记以PQ，读作P且Q。 规定PQ是真的当且仅当P和Q都是真的。
•例如，P：22=5，Q：雪是黑的， PQ：22=5并且雪是黑的。
定义2.1.4
•设P，Q是两个命题，命题 “如果P，则Q” 称为P蕴涵Q，记以PQ。 规定，PQ是 假的当且仅当P是真的而Q是假的。
P Q G1 P Q G2 P G3 0 01 000 0 0 0 11 011 1 0 1 01 100 1 11 111
• 从真值表可以看出G1对所有解释具有“真” 值，公式G3对所有解释具有“假”值，而 G2具有“真”和“假”值。
•G是恒真的当且仅当G是恒假的。
•G是可满足的当且仅当至少有一个解释I，使G 在I下为真。
离散数学讲义 第2章 命题逻辑
dx rx dt
2.1 逻辑联结词 2.2 命题公式
数理逻辑
• 数理逻辑是用数学的方法研究思维规律的一门 学科。由于它使用了一套符号，简洁地表达出 各种推理的逻辑关系，因此，数理逻辑一般又 称为符号逻辑。
• 数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它 为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计 等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。
•解：(1)如果苹果甜且红，那么我买。
(2)我没买苹果，因为苹果不甜也不红。
2.2 命题公式
§2.2.1 公式
•我们用大写的英文字母P，Q，R，…等代 表一个抽象的命题，或称为命题符号。 •定义2.2.1 命题符号称为原子。 •例如，Q，S，…等都是原子。
定义2.2.2 命题公式
• 命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串： (1) 原子是公式； (2) 0、1是公式； (3) 若G，H是公式，则(G)，(GH)， (GH)，(GH)，(GH)是公式； (4) 所有公式都是有限次使用(1)，(2)，(3) 得到的符号串。
•例：G=(PQ)R，其真值表如下：
P
Q
R
G
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
•有释若时I，公我其式们中G用中{出m现1，的…所，有m原n}子表为示AG1的，一…个，解An，
mi
Ai Ai
当Ai 在I下为1时 当Ai 在I下为0时
i 1,...,n
•例如，上例公式G的真值表中第二个解释
•例如： P：今天下雨，Q：今天刮风， 今天下雨或者刮风。
PQ：
注意
自然语言中的“或者”一词有两种用法：
• 1) “张三或者李四考了90分”, 表示两者可以 同时成立。这是“可兼或”。
• 按照联结词“”的定义，当P，Q都为真时， PQ也为真，因此，“”所表示的“或”是 “可兼或”。
• 2) “我明天到北京出差或者到广州去度假”， 表示的是二者只能居其一，不会同时成立。这 是“不可兼或”。