高等代数知识点总结 PPT
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高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数知识点总结课件
详细描述
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
高等代数第一讲代数系统PPT课件
带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数PPT (60)
4x3 3x2 3x 4x3 4x2 4x
x2 7x 1 x2 x 1
6x 2 rx
f x 3x2 4x 1 g x 6x 2
商 q x 3x2 4x 1
余式 r x 6x 2
引理. 设 a x , b x , c x F x, 若 deg b x deg c x , 则
cx axbx ax 0 cx.
定理1(带余除法). 0 g x , f x F x 存在 q x , r x F x 使得
f x qxgx rx
其中 deg r deg g . 且满足条件的 q, r 由 f, g 唯一确定.
q x : g x 除 f x 的商
第四章 多项式 4.2 带余除法与整除
4.2.1 带余除法
约定: F 是数域
一、带余除法
整数运算: 加, 减, 乘
整数的带余除法: 设有整数 a, b, 其中 b 不为零, 则存在 整数 q, r 使得 a qbr 且0 r b . 此时商 q 与余数 r 是由 a, b 唯一确定的.
r x : g x 除 f x 的余式
n
m
证明: 设 f x ai xi , g x bj x j , anbm 0.
i0
j0
存在性 对多项式 f 的次数 n 用数学归纳法.
1 若 n deg f deg g m 0, 令 q x 0, r x f x 即可.
问题: 如何将整数集上的带余除法推广到多项式环上? 能否类似于整数来讨论多项式的整除理论?
引例. 求 f x 3x4 x3 3x 1 除以 g x x2 x 1 的商和余式
g x x2 x 1
3x2 4x 1 q x
3x4 x3 3x 1 f x
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数第4章多项式4.6重因式与重根ppt课件
x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
pk1 x k24/4/1
高等代数
p x p x g x, 从而 px kpx g x px gx,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
r 53
2024/4/1
高等代数
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
2024/4/1
高等代数
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
2024/4/1
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
pk1 x k24/4/1
高等代数
p x p x g x, 从而 px kpx g x px gx,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
r 53
2024/4/1
高等代数
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
2024/4/1
高等代数
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
2024/4/1
高等代数课件
变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数课件
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
高等代数【北大版】17PPT课件
h (i) 0 ,i 1 ,2 ,, n 1 ,
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数课件
1 2 C C ( x) x 6 x 100 9
内容小结
总成本函数
C C ( x) C0 C1 ( x)
x
平均成本函数 C C ( x) C ( x) 销售收入函数
作业
P50 17；18
R R(q) pq
销售利润函数 L L(q) R(q) C (q) 供需均衡函数 Q S
V0
V0 h 2 r
所以圆柱形封闭罐头盒表面积为：
S S V0 2 2r r
2
(r 0)
二、经济方面函数关系式
（1）在生产过程中，产品的总成本 C为产量 q的单调 增加函数，记作
C C (q) C1 C2 (q)
求该商品的均衡价格p0。 解： 由供需均衡条件Q=S，可得
2 1 20.3 p 2.7 p 3 3
因此可得均衡价格为p0=23。
例5 某产品总成本C万元为年产量 qt 的函数，
C C (q) a bq
2
其中a，b为代定常数.已知固定成本为400万元，且当 年产量 q 100t 时，总成本C=1000万元.试将平均单 位成本 C 万元/t表示为年产量 qt 的函数. 解： C (0) a
2 108 x 2 2 x V V ( x) x h 4x 1 3 3 27 x x (m ) 4 2 108 x 因 h0 即 0 得 0 x6 3
4x
例3 欲做一个容积为 V0 的圆柱形封闭罐头盒，试将 圆柱形封闭罐头盒表面积 S 表示为底半径 r 的函数. 解： r 2 h
产品销售价格p元/kg，它与日产量 xkg 的关系为 1 p p( x) 46 x 3 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表示为日产 量 xkg 的函数. 解：总收益 R R( x) xp( x) x(46 1 x) 1 x 2 46 x 3 3 1 2 总成本 C C ( x) x 6 x 100 9 1 2 1 2 总利润 L L( x) R( x) C ( x) ( x 46 x) ( x 6 x 100) 3 9 4 2 x 40 x 100(元) 9 因 x 0, p 0 0 x 138
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
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• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
f a ( x x 1 ) n 1 L ( x x t) n t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
|U V|i1Lim式 U -i1 --L ---i-m - 式 V i-1 -L ---i-m -
1
x1 V x12
M x n1
1
1L
x2 L
x
2 2
L
M
x n1 L
1
xn
x
2 n
(x j xi )
M
1i j n
x n1 n
V 0 x1, ..., xn 互 不 相 同
对单位矩阵做一次初等变换
•
每个秩数为r的矩阵都等价于
Ir 0
0
0
• 对于m×n矩阵A，B下列条件等价
1. AB，即A可由初等变换化成B
2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价
1. A是可逆矩阵
2. |A|0
3. 秩A=n
4. 有B使得AB=I或BA=I
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1.复数域上次数≥1的多项式总有根 2.复数域上的n次多项式恰有n个根 3.复数域上的既约多项式恰为一次式 4.复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5.实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二 次式 6.实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次 式之积
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
运算及其关系
；
|A | j 1 L j k
式 A i j 1 1 L L i j k k 代 余 式 A i j 1 1 L L i j k k
|U V|i1Lim式 U -i1 --L ---i-m - 式 V i-1 -L ---i-m -
标准分解
f a ( x x 1 ) m 1 L ( x x s ) m sp 1 n 1 L p t n t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数 的最大者.
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0， 则f(x)恒等于0.
• Eisenstein判别法：
设 f(x ) a n x n L a 1 x a 0 是整系数多项式，若
有素数p使得 p |a n ,p |a n 1 ,...,p |a 0 ,p 2 |a 0
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论
命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多
项式之和 ff0f1Lfn ，fn≠0，且其中fi是0或i次 齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.
5. A是有限个初等矩阵之积
6. A(行或列)等价于I
Ir
0
7. A的列(行)向量组线性无关
8. 方程组Ax=0没有非零解
9. 对任意b,Ax=b总有解
10. 对某个b,Ax=b有唯一解
11. A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)
对于m×r矩阵G,下列条件等价 1. G是列满秩矩阵,
1
O
0L 1
MO M
1L 0
O
1
1
O
1
c
1
O
1
1
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
MO
cL 1
O
1
对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A
矩阵等价
• A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB
• 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵
• A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ
；Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
|A | j1Ljk
式 A ij1 1L Lijk k 代 余 式 A ij1 1L Lijk k
分块三角形行列式
A0 A*
| A|| B|
*B 0B
0
A*
A(1)mn| A||B|
B* B0
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
矩阵分解
设A的秩数为r, 则A有如下分解
1.
A
P
Ir
0
Q
,其中P,Q为可逆矩阵
0 0
2. A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF
3. A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r (满秩分解)
f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
f ap1 n1Lptnt
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约 多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt 由f唯一确定.
高等代数知识点总结
一元多项式
基本概念：
次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具
重要结论：
• 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得