兰州大学物理类高数(上)期末试题及答案

兰州大学2009～2010学年第 一 学期

期末考试试卷（A 卷）

课程名称： 任课教师：

学院： 专业： 年级： 姓名： 校园卡号：

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有6小题, 每小题4分, 共24分)

1. 当0x →时，下述哪个量是2

()(1cos )ln(12)f x x x =-+ 的同阶无穷小量( ). （A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2

x

2.

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-+=00

1

sin )(2x a x x

e x x

f ax

在0x =处连续，则a =（ ）.

（A ） 1

（B ） 0 （C ） e

(D) 1-

3. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ ）.

（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(C) )(a f ' （D ） )

(31

a f '

4. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）

（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'

(C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'

（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-

5. 极限a

x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1

sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1

（B ） e

（C ） a

e

cot （D ） a

e

tan

6.设常数0k >

，则级数1

1

(1)ln(1n n ∞

+=-+

∑ ( )

（A ）绝对收敛（B ） 条件收敛 （C ）发散

（D ）

敛散性与k 有关

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

1. 设 =->)1arctan (12

x x d x （ ）

2

s ,sin cos t 4t t y t t π-=+=32. 曲线 x=co cos 对应的点处的切线斜率为________

3. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为

2

1

3x 0

4. x e dx __________=⎰

()()

2

dx

____________12x x =++⎰

5.

[]2()a _______

f x x ππ==16. 函数在-，上的傅立叶系数

三、（10分） 计算 2

60

sin lim

x t x

x te tdt x e →⎰

四、（10分） ''1y y xe =+求函数的二阶导数y

五、（8分）设a>0，函数()x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，证明存在(),a b ξ∈

----------------------------------------------------装-------------------------------订---------------------------------线--------------------------------------------------------

使得 ()()()()22'2ln ln f b f a f f b a

ξξξ-=-

六、（8分）

求定积分

1 七、（8分）过抛物线y =P （3，1）作切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形

面图形，求此平面图形绕轴旋转一周所成旋转体体积.

八、（8分）求级数()21

11n n x n +∞

=-∑的收敛域及和函数.

高等数学解答

一、单项选择题

B D A B

C B

二、填空题

1. 42x arc dx

+ 2. )

21 ()()3. 01-∞⋃+∞，， 4. 12 5. 11ln 22

x C x x +++++ 6. 4- 三、（10分） 计算 2

060sin lim x t x x te tdt x e →⎰

2

2220

656005

560sin sin 2lim =lim 621 lim 63x t x x x x x x x te tdt x e x x x e x e x e x x x →→→⋅+==+⎰解：

四、（10分） ''

1y y xe =+求函数的二阶导数y ()()()()''''''

'23

y y y 1y y 1121y y y y y y

y y y e e xe xe e xe xe xe xe =+⋅=-=⋅----2y 2y

解： ， e 由此可知 y +1+x e =

五、（8分）设a>0，函数()x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，证明存在(),a b ξ∈， 使得

()()()()22'2ln ln f b f a f f b a ξξξ-=- 解： 令 ()()2

x f x =F ，()ln x x =G ， 则 ()()()''

2x f x f x =F ，()'1x x =G ，

所以根据Cauchy 中值定理，存在(),a b ξ∈，

使得

()()

()()22'2ln ln f

b f a f f b a

ξξξ-=-