2020年山东春季高考数学试题及答案
2020年山东春季高考数学试题及详解答案
山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3}，则 A ∩B 等于（ ） （A ）{1，2，3}（B ）{1，3}（C ）{1，2} （D ）{2}2．|x －1|＜5的解集是（ ） （A ）(－6，4)（B ）（－4，6） （C ） (－∞, －6)∪(4, ＋∞)（D ）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)3．函数y ＝x +1 +1x 的定义域为（ ）（A ）{x | x ≥－1且x ≠0}（B ）{x |x ≥－1}（C ）{x x ＞－1且x ≠0}（D ）{x |x ＞－1}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝3，则a 6等于（ ） （A ）-5（B ）5（C ）-9（D ）96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB →→（A ）→a + 12→b（B ） －→a + 12→b（C ）→a － 12→b（D ）－→a － 12→b7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }（B ）{x |x ＝π2＋k π}（C ）{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }（D ）{x |x ＝－π2＋k π，k ∈Z }8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（ ） （A ）函数的最大值是1（B ）函数图象的对称轴是直线x =1（C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞) （D ）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） （A ）10（B ）20（C ）60（D ）10010．如图所示，直线l 的方程是（ ） （A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0 （C ）3x －3y －1＝0（D ）x －3y －1＝011．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（ ） （A ）p ，q 都是真命题（B ）p ，q 都是假命题（C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 （D ）无法判断12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（ ） （A ）－3（B ）－1（C ）1（D ）313．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→AP ︱的值是（ ） （A ）10（B ）210（C ）6 2（D ）5 214．关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。
2020年高考数学山东卷 试题+答案详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20° B.40° C.50° D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62% B.56% C.46% D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.()2,6- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-+∞ D.[1,0][1,3]- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则CC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线10.下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A.πsin(3x +B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b-> C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16.已知直四棱柱ABCD –A1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。
山东春季高考数学试题及答案
数学试题注意事项:1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分。
满分 120 分，考试时间为 120 分钟。
考 生请在答题卡上答题。
考试结束后，去诶能够将本试卷和答题卡一并交回。
2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结 果精确到。
卷一（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分。
在每小题列出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请将符合题目要求的字母选项代号选出，并填涂在答题卡上。
） 1.已知全集U 1,2 ，集合 M 1 ，则C M 等于 ( )U（B ） 1（D ） 1,2（A ） （C ） 21 2.函数 y 的定义域是( )x 2 （A ）[2,2] （B ） (,2] [2,,2) （C ）(2,2) （D ）(,2) (2,,2) 3.下列函数中，在区间(,0) 上为增函数的是( )1（A ） y x （B ） y 1 （C ） y （D ） y xx 4.已知二次函数 f (x) 的图像经过两点(0,3),(2,3) ，且最大值是 5，则该函数的解析式是( )（A ） f (x) 2x 8x 11 （B ） f (x) 2x 8x 12 2 （C ） f (x) 2x 4x3 （D ） f (x) 2x 4x 32 2 5. 在等差数列 a 中, a 5 ，a 是 4 和 49 的等比中项，且a 0 ，则a 等于( )n 1 3 3 5 （A ） 18 （B ） 23 （C ） 24 （D ） 326. 已知 A(3,0), B(2,1) ，则向量 AB 的单位向量的坐标是 ( )（A ）(1,1) （B ） (1,1)2 22 2（C ）( , ) 2 2 （D ）( , )2 2 7. 对于命题 p ,q ，“ p q ”是真命题是“ p 是真命题”的 ( )（A ）充分比必要条件 （C ）充要条件 （B ） 必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件8.函数 y cos x 4cos x 1的最小值是（ ）2 （A ）3 9.下列说法正确的是（ （A ）经过三点有且只有一个平面 （B ） 2 （C ）5 （D ）6）（C）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直（D）经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直10.过直线10与240的交点，且一个方向向量v(1,3)的直线方程是x y x y（11.文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（（A）72（B）120（C）144（D）28812.若a,b,c均为实数，且0，则下列不等式成立的是（（C）a b2213.函数f(x)2,g(x)l og x，若f(1)g(9)，则实数的值是（kkx3（B）－6（C）0（D）182)的值是（15.已知角终边落在直线y3x上，则cos(45（C）17.已知圆C和C关于直线y x对称，若圆C的方程是(x5)y4，则C的方程是221212（（A）(x5)y22222（C）(x5)y22222118.若二项式(x)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项nx19.从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在相同条件下经过多轮测试测试，成绩分析如表1—1所示，根据表中数据判断，（B）乙x220.已知A,A为双曲线1(0,0)的两个顶点，以A,A为直径的圆与双曲线a b12a2b212a2的一条渐近线交于M,N两点，若△A M N的面积为，则该双曲线的离心率是（21（B）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分。
山东春季高考试题及答案
山东春季高考试题及答案一、语文试题1. 阅读理解题阅读下文，回答以下问题：（1）文章中提到的“春意盎然”是什么意思？（2）作者通过哪些细节描写春天的景象？【答案】（1）“春意盎然”指的是春天的气息非常浓厚，万物复苏，生机勃勃的景象。
（2）作者通过描写嫩绿的柳条、盛开的花朵、温暖的阳光等细节来描绘春天的景象。
2. 古文翻译题将以下古文翻译成现代汉语：“不以物喜，不以己悲。
”【答案】这句话的意思是：不因为外界的事物而感到高兴，也不因为自己的事情而感到悲伤。
二、数学试题1. 选择题下列哪个选项不是正整数？A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】D2. 解答题求下列方程的解：\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]【答案】\[ x = 2 \]因为这是一个完全平方公式，可以简化为 \( (x-2)^2 = 0 \)。
三、英语试题1. 完形填空题阅读下面的短文，从A、B、C、D四个选项中选择最佳答案填空：In the past, people used to think that the earth was flat. However, _______, we now know that it is round.A. thereforeB. otherwiseC. consequentlyD. nowadays【答案】D2. 作文题请以“My Dream Job”为题写一篇不少于120字的英语短文。
【答案】My Dream JobMy dream job is to become a teacher. I have always admired teachers for their patience and knowledge. As a teacher, I would have the opportunity to educate and inspire young minds.I believe that teaching is not just about imparting knowledge, but also about guiding students to become responsible and compassionate individuals. I am eager to make a difference in the lives of my students and to contribute to the bettermentof society.四、综合试题1. 历史选择题以下哪位历史人物不是唐朝的皇帝？A. 李世民B. 李隆基C. 武则天D. 赵匡胤【答案】D2. 地理简答题简述中国四大地理区域的特点。
2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)
2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|x^25x+6=0}，B={x|x^23x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. { }2. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最大值为M，则M的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√35. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i6. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最小值为n，则n的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√310. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i二、填空题（每小题5分，共20分）11. 若log2(3x2)=1，则x的值为_________。
12. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为_________。
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为_________。
2020山东省春季高考数学试卷真题及答案详解(精校版)
山东省2020年普通高校招生（春季）考试数学试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1．已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（）A ．∅B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d 2．函数()1lg f x x=的定义域是（）A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞ C ．[)()0,11,+∞U D ．()1,+∞3．已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数4．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ 5．在等比数列{}n a 中，11a =，22a =-，则9a 等于（）A ．256B ．-256C ．512D ．-5126．已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A ．()()22211x y ++-=B ．()()22214x y ++-=C ．()()22211x y -++=D ．()()22214x y -++=8．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A ．12B ．120C ．1440D ．172809．在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．56B ．56-C ．70D ．70-10．直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=11．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞ 13．已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．14．下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥15．已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（）A ．()2,6-或()2,1B ．()2,6--或()2,1-C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--16．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A ．225B ．116C ．125D ．13217．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A ．3B ．6C ．8D ．1218．已知变量x ，y 满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数23z x y =+的取值范围是（）A ．[]0,6B ．[]4,6C ．[]4,10D ．[]6,1019．已知正方体1111ABCD A B C D -（如图所示），则下列结论正确的是（）A ．11//BD A AB ．11//BD A DC ．11BD A C ⊥D ．111BD AC ⊥20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos 2c B A b =，则tan A 等于（）A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或13二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .22．若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.23．已知球的直径为2，则该球的体积是______.24．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.25．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.三、解答题（本大题5个小题，共40分）26．已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩.（1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.27．某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.28．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+02ππ32π2πsin()A x ωϕ+03-3根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值和最小值.29．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.30．已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A + ，求直线l 的方程.1．C 【分析】利用补集概念求解即可.【详解】{},U M b d =ð.故选：C 2．B 【分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.所以函数定义域为()()0,11,+∞ .故选：B 3．C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数.故选：C 4．A 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 5．A 【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，22a =-，所以212a q a ==-，所以()198812256a q a ==⨯-=，故选：A.6．D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.7．B 【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.8．C 【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有3254351440C C A =种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有3243C C 种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有55A 种情况.所以共有3254351440C C A =种不同安排方法.故选：C 9．A 【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第4项的二项式系数为388765632C ⨯⨯==⨯，故选：A.10．D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.11．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.12．A 【分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-，故选：A.13．B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0∞-上递增.注意到01a =，所以B 选项符合.故选：B 14．D 【分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果.【详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误；B 项：根据12<、45<易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误；D 项：2x 恒大于等于0，D 正确，故选：D.15．C【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥ ，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--= ，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，故选：C ．16．B【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有5232=种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以213216P ==.故选：B17．B【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以210a =，28c =，可得5a =，4c =，所以22225169b a c =-=-=，可得3b =，所以该椭圆的短轴长26b =，故选：B.18．C【分析】作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．【详解】如图，作出直线:230l x y +=，向上平移直线l ，l 最先过可行域中的点A ，此时2204z =⨯+=，最后过可行域中的点(2,2)B ，此时223210=⨯+⨯=，所以z 的取值范围是[4,10]．故选：C ．19．D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.11//AA BB ，1BB 与1BD 相交，所以1BD 与1AA 异面，故A 错误；B.1BD 与平面11ADD A 相交，且11D A D ∉，所以1BD 与1A D 异面，故B 错误；C.四边形11A BCD 是矩形，不是菱形，所以对角线1BD 与1AC 不垂直，故C 错误；D.连结11B D ，1111B D A C ⊥，111BB A C ⊥，1111B D BB B ⋂=，所以11A C ⊥平面11BB D ，所以111A C BD ⊥，故D 正确.故选：D20．A【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin 22A CB +=⇒，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b c R A B C=== ，sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=，tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B C A B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.21．53π180【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】因为sin 0.8α=，ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以453πarcsin 53rad 5180α=== ，故答案为：53π180.22．14【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值.【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =.故答案为：1423．43π【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：344133V ππ=⨯⨯=,故答案为：43π24．469【分析】先求得编号间隔为16以及样本容量，再由样本中所有数据编号为()005+161k -求解.【详解】间隔为021-005=16，则样本容量为480=3016，样本中所有数据编号为()005+161k -，所以样本中的最后一个个体的编号为()005+16301469-=，故答案为：469251+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：,2,2p c p c -=-∴=∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+= 23e ∴=±，又()1,e ∈+∞， 1.e ∴+126．（1）3；（2）35a -<<.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥，则()1215f a a -=--，因为()13f a -<，所以2153a --<，即14a -<，解得35a -<<.27．140里.【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ，则91260S =，147390a a a ++=.因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-，所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=，所以该男子第5天走140里.28．（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-.【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =，因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+，因为函数图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤，因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-，当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =.所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.29．（1）证明见解析；（2【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；（2）根据面面垂直的性质定理，可知CF ⊥平面ABFE ，再结合线面角的定义，可得得到直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.【详解】证明：（1）连接AF ，设点O 为AF 的中点，连接GO ，OH ，在ACF △中，又因为点G 为AC 中点，所以//OG CF .同理可证得//OH AB ，又因为E ，F 分别为正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点，故//EF AB ，所以//OH EF .又因为OH OG O ⋂=，所以平面//GOH 平面EFCD .又因为GH Ì平面GOH ，所以//GH 平面EFCD .（2）因为ABCD 为正方形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以四边形EFCD 为矩形，则CF EF ⊥.又因为二面角C EF B --为直二面角，平面EFCD 平面ABFE EF =，CF ⊂平面EFCD ，所以CF ⊥平面ABFE ，则AF 为直线AC 在平面ABFE 内的射影，因为CAF ∠为直线AC 与平面ABFE 所成的角.不妨设正方形边长为a ，则2a CF BF ==，在Rt ABF 中，AF ===因为CF ⊥平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以CF AF ⊥，在Rt AFC △中，AC =2sin a CF CAF AC ∠==即为直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.30．（1）28y x =；（2）)240x y --+.【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线l 的方程为()2y k x =+，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示OM ON + ，并利用()12//OM ON B A + ，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.【详解】解：（1）由椭圆2214x y +=可知24a =，21b =，所以2a =，1b =，则()22,0A ，因为抛物线的焦点为2A ，可设抛物线方程为22(0)y px p =>，所以22p =，即4p =.所以抛物线的标准方程为28y x =.（2）由椭圆2214x y +=可知()12,0A -，()20,1B -，若直线l 无斜率，则其方程为2x =-，经检验，不符合要求.所以直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 过点()12,0A -，则直线l 的方程为()2y k x =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组2(2)8y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得()22224840k x k x k +-+=.①因为直线l 与抛物线有两个交点，所以200k ⎧≠⎨∆>⎩，即()2222048440k k k k ≠⎧⎪⎨--⨯>⎪⎩，解得11k -<<，且0k ≠.由①可知212284k x x k -+=，所以()()()21212128482244k y y k x k x k x x k k k k-+=+++=++=+=，则()212122848,,k OM ON x x y y k k ⎛⎫-+=++= ⎪⎝⎭ ，因为()12//OM ON B A + ，且12(2,0)(0,1)(2,1)B A =--= ，所以2284820k k k--⨯=，解得2k =-2k =--因为11k -<<，且0k ≠，所以2k =-所以直线l的方程为(2(2)y x =-++，即)240x y --+.。
2020年山东省高考数学试卷（含详细解析）
保密★启用前2020年山东省高考数学试卷题号—四总分得分注意事项：1.答题前境写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选飓I-设集合』=国1安3,刀二（同254},则二（）A.{x|2<x<3}B.{x|2冬3}C.{x\l<x<4}D.(x|l<.r<4}c2・i<)】+2iA.1B.-1C.iD.—i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，何名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日曹是中国占代用来测定时间的仪器，利用与昌面玳立的岩针投射到岳面的影子来测定时间.把地球看成-•个球（球心记为O），地球上一点刃的纬度是指&4勺地球赤道所在平面所成角，点/处的水平而是指过点.4旦与OA垂宜的平面.在点X处放迎一个日号，若妙面与赤道所在平面平行，点X处的纬度为北纬40。
则曷针与点为处的水平面所成角为（）oA.20°B.40C.S(PD.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生总欢足球或游泳，60%的学生O 喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（A.62%B.56%，C.46%D.42%6.基本再生数/?。
.与世代间隔r是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指•个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/«）=矿描述累计感染病例数/（，）随时间r（单位:天）的变化规O 体，指数增长率尸与R。
，7•近似满足汽。
=1+尸70学者基于己有数据估计出仇=3.2X,E>.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（1应二0.69）A. 1.2天B. 1.8天C.25天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点.则而•而的取值范围是（A.(-2.6)B,(—6,2)O※※粟※※她※※^ !※※急※※上※※漓※※七※※共※※/※※磐※米C.(-2,4)D.(-4,6)8.若定义在A的奇函数/W在gO）单调递减,且.42）=0,则满足xf（x-\）>Q fiijx的取值范闱是（A.[-U1UIX+X)B.[-X-1JUI0J]£C•[一l,0]u[l,E D.[T,0]5L3]评卷人得分O.。
山东省春季高考数学试卷(含解析)
山东省春季高考数学试卷一、选择题1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于( )A. ?B. {1}C. {2}D. {1，2}2 •函数■，-= -p_—的定义域是( )A. [ - 2, 2] B .( — s, —2] U [2 , +R) C. (- 2, 2) D.( — s, —2)U( 2, +3. 下列函数中，在区间（-s, 0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C. .D. y=|x|4. 二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2x2+8x - 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2x2+4x+35. 等差数列{a n}中，a=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 326. 已知A ( 3, 0), B (2,1),则向量忑的单位向量的坐标是( )A. (1,-1)B. (- 1 , 1)7. “p V q为真”是“p为真”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件&函数y=cos2x - 4cosx+1的最小值是（）A.- 3B. - 2C. 5D. 69.下列说法正确的是（）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直A. 1B. 2C. - 1D. - 214.如果-:,:::..,那么.• |等于（）17.已知圆G 和C 2关于直线y= - x 对称，若圆C 的方程是 2 2 2 2 2 2 A. ( x+5) +y =2 B. x + (y+5) =4 C . (x - 5) +y =2 D . 18 .若二项式 f 三八的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式中的常数 项是（ ） A. 20B. - 20 C . 15D. - 1519 .从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技 能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为 （ ） 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩； 96 96 85 8510 .过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量j t :：，的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=011 .文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是 A. 72B. 120C. 144D. 28812.若a , b , c 均为实数，且 a v b v 0, 则下列不等式成立的是（2 2A. a+c v b+c B . ac v beC. a v bD .呼「「“'J13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若f (- 1) =g (9),则实数k 的值是（）A. — 18 B .-6 C. 0D. 1815.已知角 a 的终边落在直线 y= - 3x 上，则COS （ n +2 a ）的值是（B.16 .二元一次不等式 2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（（x+5） 2+y 2=4,则圆C 2的方程是2 2x + (y - 5) =4A.C .D.2 2' -(a>0, b>0)的两个顶点，以2 1 2 1 a b20.已知A, A为双曲线AA为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M N两点，若△ A MN的面积为―，则该双曲线的离心率是( )2A.匚B. _C. _D.匚3 3 3 3二、填空题：21 .若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于____________ .22 .在厶ABC中，a=2, b=3,Z B=2/ A 贝U cosA= ________ .2 223 .已知F i, F2是椭圆’< =1的两个焦点，过F i的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF16 36的周长等于_______ .24 .某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是_________ .■- x25 .对于实数m n,定义一种运算：，已知函数f (x) =a*a，其中0v a| n,V 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是______________ .三、解答题：26 .已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性；(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.27 .某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.28.已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示.(1)求证：DE//平面BCCB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.(1)求该函数的最小正周期;(2)求该函数的单调递减区间;(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.2 230.已知椭圆’的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心a2 b2率是，如图所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.参考答案与试题解析一、选择题29.已知函数1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于（）A. ?B. {1}C. {2}D. {1 , 2}【考1F：补集及其运算.点】【分根据补集的定义求出M补集即可.析】【解解：全集U={1, 2}, 集合M={1}，则?U M={2}答】故选：C.2 •函数；.-=-p——的定义域是（）A. [ - 2, 2] B . （-a, - 2] U [2 , +R） C. （- 2, 2） D.（-汽-2）U（2, + OO）【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可.【解答】解：函数丁二] ------ 2>0,即|x| >2,解得X V- 2或x > 2,•函数y的定义域是（-O,-2）U（2, +O）.故选：D.3.下列函数中，在区间（-O,0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C.，-丄D. y=|x|【考点】3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可.【解答】解：对于A函数y=x，在区间（-O, 0）上是增函数，满足题意；对于B,函数y=1，在区间（-O,0）上不是单调函数，不满足题意；对于C,函数y=—，在区间(-^, 0)上是减函数，不满足题意；x对于C,函数y=|x|，在区间(-8, 0)上是减函数，不满足题意.故选：A.4•二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2X2+8X- 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2X2+4X+3【考点】3W二次函数的性质.【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f (x) =a (x- 1) 2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3) , (2, 3),则对称轴x=1，最大值是5,可设 f (x) =a (x - 1) 2+5,于是3=a+5,解得a=- 2,故 f (x) =- 2 ( x - 1) 2+5= - 2x2+4x+3,故选：D.5.等差数列｛a n｝中，a1=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 32【考点】8F:等差数列的性质；84 :等差数列的通项公式.【分析】根据题意，由等比数列的性质可得( a s) 2=4X 49,结合解a s v 0可得a s的值，进而由等差数列的性质a5=2a3 - a1，计算即可得答案.【解答】解：根据题意，a a是4与49的等比中项，则(a3)2=4X 49,解可得a3=± 14,又由a3v 0,贝U a3= - 14,又由a1=- 5,则a5=2a3 —a1 = - 23,故选：B.6.已知A ( 3, 0), B (2, 1),则向量爲的单位向量的坐标是( )【考点】95:单位向量.【分析】先求出'.：；=(-1, 1),由此能求出向量：的单位向量的坐标. 【解答】解：••• A ( 3, 0) , B (2 , 1), •••：.；=(- 1, 1), •••丨：.；|=-,•••向量丁啲单位向量的坐标为( ―，丄一)，即(-二,—).|AB I |AB I 2 2故选：C.7•“p V q 为真”是“p 为真”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由真值表可知：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题,故由充要条件定义知 为真”是“p 为真”必要不充分条件【解答】解：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题，所以“p V q 为真”推不出“p 为真”，但“p 为真” 一定能推出“ p V q 为真”， 故“p V q 为真”是“p 为真”的必要不充分条件， 故选：B.&函数y=cosx - 4cosx+1的最小值是( )A.- 3B. - 2C. 5D. 6【考点】HW 三角函数的最值.【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y 的最小值.【解答】 解：T 函数 y=cos 2x - 4cosx+1= (cox - 2) 2- 3，且 cosx € [ - 1, 1]，故当 时，函数y 取得最小值为-2, 故选：B.A. ( 1, -1)B •(— 1 , 1)cosx=1 D.9. 下列说法正确的是（ ）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【考点】LJ :平面的基本性质及推论.【分析】在A 中，经过共线的三点有无数个平面； 在B 中，两条异面直线不能确定一个平面； 在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直； 在D 中，由线面垂直的性质得经过平 面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【解答】在A 中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故 A错误；在B 中，两条相交线能确定一个平面， 两条平行线能确定一个平面， 两条异面直线不能确定 一个平面，故B 错误；在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C 错误；在D 中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 故D 正确.故选：D.10.过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量：1. 的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=0【考点】IB :直线的点斜式方程.【分析】 求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可.由方向向量. ■得: 直线的斜率k= - 3, 故直线方程是：y+2= - 3 （x - 1）, 整理得：3x+y -仁0, 故选：A.11 •文艺演出中要求语言类节目不能相邻， 现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中【解答】解：由2x-y-4=0解得：X=1y=-2,任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A. 72B. 120C. 144D. 288【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的 4 个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21G3=8种取法，将4个节目全排列，有A/=24种可能，则以排出8X 24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有G2G2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A2=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A2=6种情况，此时有6 X 2X 6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D.12. 若a, b, c均为实数，且a v b v 0,则下列不等式成立的是（）A, a+c v b+c B . ac v be C. a2v b2 D.；.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】A由a v b v 0，可得a+c v b+c;B, c的符号不定，则ac, bc大小关系不定；C, 由a v b v 0,可得a2> b2;D, 由a v b v 0,可得-a>- b? .' I ;【解答】解：对于A由a v b v 0，可得a+c v b+c,故正确;对于B, c 的符号不定，则 ac , be 大小关系不定，故错;2 2对于C,由a v b v 0,可得a > b ,故错； 对于 D,由 a v b v 0,可得-a >- b? 一_ “ _i ,故错; 故选：A13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若 f (- 1) =g (9),则实数 k 的值是( )A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】4H:对数的运算性质.【分析】由g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2- k ，解得即可. 【解答】 解：g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2-k , 解得k= - 1, 故选：C14•如果 ||_5 ：,那么 * ］等于()A.- 18 B . - 6 C. 0D. 18【考点】9R 平面向量数量积的运算.【分析】由已知求出 「|及［与一的夹角，代入数量积公式得答案. 【解答】解： ••• _：：二 _；,且V 皿］：：：> =n .则一-j= 1=3 X 6X(- 1) = - 18.故选：A.15 .已知角a 的终边落在直线 y= - 3x 上，贝U COS ( n +2 a )的值是(【考点】GO 运用诱导公式化简求值； G9任意角的三角函数的定义. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求 COS a ,利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式可求COS ( n +2 a )的值.【解答】解：若角a 的终边落在直线y= - 3x 上, (1)当角a 的终边在第二象限时，不妨取x= - 1,则y=3 , r=寸.j.；ld = !:',C.A.B . 土 - D. b2 ■所以COS a = ^，可得COS ( n +2 a ) =- COS2 a =1 - 2COS a ="' ；V10 5（2）当角a的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y= - 3,所以sin a =——,COS a =一，可得COS ( n +2 a ) = - COS2 a =1 - 2COS2% = 一‘ , V10V10 5故选：B.【考点】7B:二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】禾U用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可.【解答】解：因为（1, 0）点满足2x - y> 0,所以二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是： C.故选：C.17.已知圆G和C2关于直线y= - x对称，若圆C的方程是(x+5) 2+y2=4,则圆G的方程是( )A. ( x+5) 2+y2=2B. x2+ (y+5) 2=4C. (x - 5) 2+y2=2D. x2+ (y -5) 2=4【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆G的圆心关于y= - x的对称点，再由圆的标准方程得答案.【解答】解：由圆C的方程是（x+5）2+y2=4,得圆心坐标为（-5, 0）,半径为2,设点（-5, 0）关于y= - x的对称点为（x o, y o）,•••圆C2的圆心坐标为（0, 5）, 则圆C2的方程是x2+ （y - 5）2=4. 故选：D.18•若二项式讳勺展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数上■项是( )A. 20B. - 20 C • 15 D.- 15【考点】DB二项式系数的性质.则*，解得16.二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：•二项式1’的展开式中只有第4项的二项式系数最大，•••n=6,x6—3r则展开式中的通项公式为T r+i=C6r? (- 1) r?x --------------- .令6- 3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62? (- 1) 2=15,故选：C.19•从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为( )成绩分析表A.甲B.乙C.丙D. 丁【考点】BC极差、方差与标准差.【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可.【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙, 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加.故选：B.2 220.已知A, A为双曲线'(a>0, b>0)的两个顶点，以AA为直径的圆与双曲a2 b22线的一条渐近线交于M N两点，若△ A i MN 的面积为匚，则该双曲线的离心率是()2A W2B 座C -D 应~~3_ ~~3_~~3_【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A i (- a , 0)到直线渐近线的距离 d ,根据三角形的面积公式，即可求得△ AMN 的面积，即可求得 a 和b 的关 系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的渐近线方程 y= ± x ，设以A i A 为直径的圆与双曲线的渐近线 y=^a ax 交于M N 两点，△ A i MN 的面积S= x 2a x 丄=' ='，整理得：b= c ,2 c c 2 2贝H a 2=b 2 - c 2= • c 2, 即 a= c ,4 2双曲线的离心率e == _,故选B.二、填空题：21•若圆锥的底面半径为 1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 3 n .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2n ，则圆锥侧面积 S=n rl ，由此 能求出结果.【解答】 解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2 n r •••圆锥侧面积：［二厂二 丁n r|则A i (- a , 0)到直线y=—x 的距离d= aaXO-bXa |=ab=n X 1 X 3=3 n .故答案为：3 n ./ :jT H22.在△ ABC中，a=2, b=3,/ B=2/ A 贝U cosA=_4一【考点】HR余弦定理.【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解. 【解答】解：•••/ B=2/ A,• sin / B=2sin / Acos Z A,又T a=2, b=3,•由正弦定理可得：2 3 sinZ^A 2sin.ZAcos.ZA-sin Z A M 0, •- cos Z A==.4故答案为：一423.已知F1, F2是椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF的周长等于24【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF 2|=2a=12 , |QF1|+|QF2|=2a=12即可求得厶PQF的周长.【解答】解：椭圆——< =1的焦点在y轴上，则a=6, b=4,设厶PQF的周长为I ,16 36则l=|PF 2|+|QF2|+|PQ| ,=(|PF i|+|PF 2| ) + (|QF i|+|QF 2| )=2a+2a,=4a=24.• △ PQF的周长24 ,故答案为：24.24.某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是【考点】CB古典概型及其概率计算公式.本事件个数：m・，一」=4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率.【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=「| ,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m= 「4,•••其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：m 4 1P= = =「故答案为：=乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基【分析】先求出基本事件总数< 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是(-丄，2].3【考点】5B:分段函数的应用.【分析】求出f (x)的解析式，得出f (x)的单调性，根据单调性得出t - 1和4t的大小关系，从而可得t的范围.【解答】解：T 0 < a< 1,•••当x< 1 时，a x> a,当x > 1 时，a> a x,••• f (x)在(-g, 1]上单调递减，在(1, +8)上为常数函数, ••• f (t - 1)> f ( 4t),• t - 1 < 4t W 1 或t - 1 W 1 < 4t ,解得-—< t W—或厶--■ ■-:.3 4 4故答案为：(-_, 2].D1三、解答题:26. 已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性;(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.【考点】4N:对数函数的图象与性质.(x) =log 2 (3+x) - log 2 (3 - x)有意义，则< 3即可,由 f (- x) =log 2 (3 - x)- log 2 (3+x) =- f (x)，可判断函数 f (x)为奇函数.(2 )令f (x) =1,即一’「，解得x=1 .即sin a =1,可求得a .【解答】解：(1)要使函数f (x) =log 2 ( 3+x)- log 2 (3 - x)有意义，则 '" ? - 3 25.对于实数m n,定义一种运算:的』m,叮口已知函数(x) =a*a x，其中0< a 【分析】(1 )要使函数1 3-x>0v x v 3,•••函数f (x)的定义域为(-3, 3);T f (- x) =log 2 (3-x) - log 2 ( 3+x) =- f (x)，•函数f ( x)为奇函数.(2 )令 f (x) =1,即 4 二，解得x=1 .• sin a =1,•- a=2k r } —^~,(k€ Z).27. 某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.【考点】5D:函数模型的选择与应用.【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论.【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50X 0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中玄1=石,q=2, n=20,丄门-乡1 1•••共需缴费S20= - - =,_=219- =524288 - ,_ ~ 52.4 万元，~ 2 2 2•方案①缴纳的保费较低.28. 已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示(1)求证：DE//平面BCGB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.【考点】Ml:直线与平面所成的角；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1 )取AC的中点F,连结EF, DF,贝U EF// CG, DF// BQ故平面DEF//平面BCCB i, 于是DE//平面BCCB i.(2)在Rt△ DEF中求出tan / EDF.【解答】(1)证明：取AC的中点F,连结EF, DF,•••D, E, F分别是AB AC, AC的中点，••• EF// CC, DF// BC,又DF A EF=F, AC A CC=C,•••平面DEF// 平面BCCB i,又DE?平面DEF,•DE//平面BCCB i.(2)解：• EF// CG, CC丄平面BCCB.•EF丄平面BCCB i,•••/ EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1,贝U DF= , EF=1,(1) 求该函数的最小正周期；(2) 求该函数的单调递减区间;29.已知函数y=3(sin27Txcci —cos2xsirrit7(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【考点】HI :五点法作函数 y=Asin (3 x+$ )的图象；H2：正弦函数的图象. 【分析】(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin (2x-—),利用周期公式即6可得解.(2) 令 2k n + W 2x - W 2k n + ------------- , k € Z ,解得：k n +W x W k n +, k € Z ,可2 6 2 36得函数的单调递减区间.(3 )根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象. TT ItIT【解答】解: (..一 . ' =3sin (2x - ^―),•••函数的最小正周期 T= =n .2x 兀71 T1257T 6 13K 122x -匹 60 7T Tn3H 22n y0 3-3(2)7t2k n + W 2x兀3兀 ”W 2k n + 一 , k € Z ,解得: 0 £.n+ . W x W k nk € Z ,•函数的单调递减区间为:[k 兀Tt +57T],k € Z ,描点、连线如图所示:30.已知椭圆. 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心a 2b 2率是'，如图所示.2(1) 求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ,过点A 作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长.【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据题意得F (1, 0),即c=1,再通过e=l 及c 2=a 2 - b 2计算可得椭圆的方程；(2)将准线方程代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得抛物线的切线方程，由△ =0,求得k 的值，分别代入椭圆方程，求得 B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段 AB 的长.【解答】解：(1)根据题意，得F (1 , 0), ••• c=1, 又 e 「, • a=2,「. b 2=a 2 - c 2=3, 2 2故椭圆的标准方程为：：'一•=—_：4 33由A 位于第二象限，则 A (- 1,),3冥 + (—1 )过点A 作抛物线的切线I 的方程为：*r'由* /异，解得- 3，----- F --- -1U 3(2)抛物线的准线方程为x=- 1垃二T2 2即直线I : 4x - 3y - 4=0214x-3y-4=02整理得4 ' -=1整理得：ky2- 4y+4k+6=0 ,3当k=0,解得：y<_，不符合题意,当k=时，直线2[2 2x丄y ,直线与椭圆只有一个交点，不符合题意,当k z 0，由直线与抛物线相切，则△=0,(4k+6) =0,解得:k=「或k= - 2,当k= - 2时，直线I的方程为3y- I：= -2 (x+1),2 24‘，整理得：y-y=-2(s+l)则y1=,『2=--三，由以上可知点A (- 1 , ), B (―,- •),u 1 勺>0 W•••丨AB 丨= I 「: . 1：~ = ,V L19 wr 3呂！2 ' 19由-11192--19x +8x - 11=0，解得：X i=- 1 , X2= ,19(x+1),，整理得：（x+1）2=0,22。
2020年山东卷(含答案)
数学(山东卷)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2.
A．1B.-1C. D.
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则 ，
则 随着 增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ）.
.
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.故选：AC
三、填空题（共20分）
13. 14. 15. 16.
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
[75,115]
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
0.050
4.【解析】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直.根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 .由于 ，所以 ，
2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国Ⅰ一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2<x<4},则A∪B等于()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}答案C解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}＝{x|1≤x<4}．2.2－i1＋2i等于()A．1 B．－1 C．i D．－i 答案D解析2－i1＋2i＝(2－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝－5i5＝－i.3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种答案C解析先从6名同学中选1名安排到甲场馆,有C16种选法,再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆,有C25种选法,最后将剩下的3名同学安排到丙场馆,有C33种选法,由分步乘法计数原理知,共有C16·C25·C33＝60(种)不同的安排方法．4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20° B．40° C．50° D．90°答案B解析如图所示,⊙O为赤道平面,⊙O1为A点处的日晷面所在的平面,由点A 处的纬度为北纬40°可知∠OAO 1＝40°,又点A 处的水平面与OA 垂直,晷针AC 与⊙O 1所在的面垂直, 则晷针AC 与水平面所成角为40°.5．某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 答案 C解析 用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x , 则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%,解得x ＝46%.6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28,T ＝6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( ) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 答案 B解析 由R 0＝1＋rT ,R 0＝3.28,T ＝6, 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意,累计感染病例数增加1倍, 则I (t 2)＝2I (t 1), 即e0.38t 2＝2e0.38t 1, 所以e0.38(t 2－t 1)＝2, 即0.38(t 2－t 1)＝ln 2, 所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6) 答案 A解析 如图,取A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (－1,3)． 设P (x ,y ),则AP →＝(x ,y ),AB →＝(2,0),且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ,y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．8．若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞,0)上单调递减,且f (2)＝0,则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( ) A ．[－1,1]∪[3,＋∞) B ．[－3,－1]∪[0,1] C ．[－1,0]∪[1,＋∞) D ．[－1,0]∪[1,3]答案 D解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数, 则f (0)＝0.又f (x )在(－∞,0)上单调递减,且f (2)＝0, 画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示, 则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示．当x ≤0时,要满足xf (x －1)≥0,则f (x －1)≤0, 得－1≤x ≤0.当x >0时,要满足xf (x －1)≥0,则f (x －1)≥0, 得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0,则C 是圆,其半径为nC ．若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0,n >0,则C 是两条直线 答案 ACD解析 对于A,当m >n >0时,有1n >1m >0,方程化为x 21m ＋y 21n ＝1,表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确．对于B,当m ＝n >0时,方程化为x 2＋y 2＝1n,表示半径为1n的圆,故B 错误． 对于C,当m >0,n <0时,方程化为x 21m －y 2－1n ＝1,表示焦点在x 轴上的双曲线,其中a ＝1m,b ＝－1n,渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m <0,n >0时,方程化为y 21n －x 2－1m ＝1,表示焦点在y 轴上的双曲线,其中a ＝1n,b ＝－1m,渐近线方程为y ＝±－mnx ,故C 正确． 对于D,当m ＝0,n >0时,方程化为y ＝±1n,表示两条平行于x 轴的直线,故D 正确． 10．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象,则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2,得T ＝π,所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0,由“五点法”,结合图象可得φ＋π3＝π,即φ＝2π3,所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3,故A 错误；由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 知B 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知C 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫2x －5π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 知D 错误． 11．已知a >0,b >0,且a ＋b ＝1,则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤2答案 ABD解析 因为a >0,b >0,a ＋b ＝1, 所以a ＋b ≥2ab ,当且仅当a ＝b ＝12时,等号成立,即有ab ≤14.对于A,a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12,故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ,因为a >0,所以22a >1,即2a －b >12,故B 正确；对于C,log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2,故C 错误；对于D,由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2, 得a ＋b ≤2,故D 正确．12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1,2,…,n ,且P (X ＝i )＝p i >0(i ＝1,2,…,n ),∑i ＝1np i ＝1,定义X 的信息熵H (X )＝－∑i ＝1np i log 2p i .( )A ．若n ＝1,则H (X )＝0B ．若n ＝2,则H (X )随着p i 的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1,2,…,n ),则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1,2,…,m ),则H (X )≤H (Y ) 答案 AC解析 对于A,当n ＝1时,p 1＝1,H (X )＝－1×log 21＝0,故A 正确；对于B,当n ＝2时,有p 1＋p 2＝1,此时,若p 1＝14或34都有H (X )＝－⎝⎛⎭⎫14log 214＋34log 234,故B 错误； 对于C,当p i ＝1n(i ＝1,2,…,n )时,H (X )＝－∑i ＝1n1n log 21n ＝－n ×1n log 21n ＝log 2n .显然H (X )随n 的增大而增大,故C 正确； 对于D,方法一 当n ＝2m 时,H (X )＝－(p 1log 2p 1＋p 2log 2p 2＋…＋p 2m －1log 2p 2m －1＋p 2m log 2p 2m )＝－[(p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m )＋(p 2log 2p 2＋p 2m －1log 2p 2m －1)＋…＋(p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1)], H (Y )＝－[(p 1＋p 2m )log 2(p 1＋p 2m )＋(p 2＋p 2m －1)·log 2(p 2＋p 2m －1)＋…＋(p m ＋p m ＋1)log 2(p m ＋p m ＋1)],由于p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m ＝log 2(11p p ·22mp m p )<log 2[(p 1＋p 2m )p 1·212()mp m p p +]＝log 21212()m p p m p p ++ ＝(p 1＋p 2m )log 2(p 1＋p 2m ),同理可证p 2log 2p 2＋p 2m －1log 2p 2m －1<(p 2＋p 2m －1)·log 2(p 2＋p 2m －1), …,p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1<(p m ＋p m ＋1)log 2(p m ＋p m ＋1), 所以H (X )>H (Y )． 方法二 (特值法)令m ＝1,则n ＝2,p 1＝14,p 2＝34.P (Y ＝1)＝1,H (Y )＝－log 21＝0, H (X )＝－⎝⎛⎭⎫14log 214＋34log 234>0, ∴H (X )>H (Y )．三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB |＝________. 答案163解析 如图,由题意得,抛物线焦点为F (1,0),设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝103,所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.14．将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为________． 答案 3n 2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…； 数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列, 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法) 令b n ＝2n －1,c m ＝3m －2,b n ＝c m ,则2n －1＝3m －2,即3m ＝2n ＋1,m 必为奇数． 令m ＝2t －1,则n ＝3t －2(t ＝1,2,3,…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5,即a n ＝6n －5. 以下同方法一．15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC ＝35,BH ∥DG ,EF ＝12 cm,DE ＝2 cm,A 到直线DE 和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________ cm 2.答案 4＋5π2解析 如图,连接OA ,过A 作AP ⊥EF ,分别交EF ,DG ,OH 于点P ,Q ,R . 由题意知AP ＝EP ＝7, 又DE ＝2,EF ＝12, 所以AQ ＝QG ＝5, 所以∠AHO ＝∠AGQ ＝π4.因为OA ⊥AH ,所以∠AOH ＝π4,∠AOB ＝3π4.设AR ＝x ,则OR ＝x ,RQ ＝5－x . 因为tan ∠ODC ＝35,所以tan ∠ODC ＝5－x 7－x ＝35,解得x ＝2,则OA ＝2 2. 所以S ＝S 扇形AOB ＋S △AOH －S 小半圆 ＝12×3π4×(22)2＋12×4×2－12π×12 ＝⎝⎛⎭⎫5π2＋4cm 2.16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD ＝60°.以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案2π2解析 如图,设B 1C 1的中点为E ,球面与棱BB 1,CC 1的交点分别为P ,Q , 连接DB ,D 1B 1,D 1P ,D 1E ,EP ,EQ ,由∠BAD ＝60°,AB ＝AD ,知△ABD 为等边三角形, ∴D 1B 1＝DB ＝2,∴△D 1B 1C 1为等边三角形, 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1,∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心, 设截面圆的半径为r ,则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2,∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P ＝5,∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1, 同理C 1Q ＝1,∴P ,Q 分别为BB 1,CC 1的中点, ∴∠PEQ ＝π2,知PQ 的长为π2×2＝2π2,即交线长为2π2.四、解答题(本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在①ac ＝3,②c sin A ＝3,③c ＝3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．问题：是否存在△ABC ,它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A ＝3sin B ,C ＝π6,________？注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分． 解 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c .由①ac ＝3,解得a ＝3,b ＝c ＝1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c ,B ＝C ＝π6,A ＝2π3.由②c sin A ＝3,所以c ＝b ＝23,a ＝6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c .由③c ＝3b ,与b ＝c 矛盾．因此,选条件③时问题中的三角形不存在．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20,a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0,m ](m ∈N *)中的项的个数,求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列, 设首项为a 1,公比为q ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ,n ∈N *.(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128, 所以b 1对应的区间为(0,1],则b 1＝0； b 2,b 3对应的区间分别为(0,2],(0,3], 则b 2＝b 3＝1,即有2个1； b 4,b 5,b 6,b 7对应的区间分别为 (0,4],(0,5],(0,6],(0,7], 则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2, 即有22个2；b 8,b 9,…,b 15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3, 即有23个3；b 16,b 17,…,b 31对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31], 则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4,即有24个4；b 32,b 33,…,b 63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63], 则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5,即有25个5；b 64,b 65,…,b 100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b64＝b65＝…＝b100＝6,即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.19．为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3),得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d),解(1)由表格可知,该市100天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32＋6＋18＋8＝64,所以该市一天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64.(2)由所给数据,可得2×2列联表：(3)根据2×2列联表中的数据可得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26≈7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关．20.如图,四棱锥P －ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． (1)证明 在正方形ABCD 中,AD ∥BC , 因为AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以AD ∥平面PBC ,又因为AD ⊂平面P AD ,平面P AD ∩平面PBC ＝l , 所以AD ∥l ,因为在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 所以AD ⊥DC ,所以l ⊥DC ,且PD ⊥平面ABCD ,所以AD ⊥PD ,所以l ⊥PD , 因为DC ∩PD ＝D , 所以l ⊥平面PDC .(2)解 以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,如图建立空间直角坐标系D －xyz ,因为PD ＝AD ＝1,则有D (0,0,0),C (0,1,0),A (1,0,0),P (0,0,1),B (1,1,0), 设Q (m,0,1),则有DC →＝(0,1,0),DQ →＝(m,0,1),PB →＝(1,1,－1), 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1,则z ＝－m ,所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0,－m ), 则cos 〈n ,PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于 |cos 〈n ,PB →〉|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63,当且仅当m ＝1时取等号,所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63. 21．已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a .(1)当a ＝e 时,求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1,求a 的取值范围．解 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1－1x .(1)当a ＝e 时,f (x )＝e x －ln x ＋1,f ′(x )＝e x －1x ,所以f (1)＝e ＋1,f ′(1)＝e －1,曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1), 即y ＝(e －1)x ＋2.直线y ＝(e －1)x ＋2在x 轴,y 轴上的截距分别为－2e －1,2.因此所求三角形的面积为2e －1. (2)当0<a <1时,f (1)＝a ＋ln a <1.当a ＝1时,f (x )＝e x －1－ln x ,f ′(x )＝e x －1－1x .当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以当x ＝1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)＝1, 从而f (x )≥1.当a >1时,f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ≥e x －1－ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,＋∞)．22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22,且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足．证明：存在定点Q ,使得|DQ |为定值． (1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1,a 2－b 2a 2＝12,解得a 2＝6,b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ,代入x 26＋y 23＝1,得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2,x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ,得AM →·AN →＝0,故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0,整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式,可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)·4km1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0, 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上,所以2k ＋m －1≠0,所以2k ＋3m ＋1＝0,k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直,可得N (x 1,－y 1)． 由AM →·AN →＝0,得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1,所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去),x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点,即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边, 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合,则|DQ |＝12|AP |.综上,存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13,使得|DQ |为定值．。
2020年高考山东数学卷试题与答案解析(Word域、极致精编版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试——山东数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}答案：C解析：A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2＜x ＜4}＝{x |1≤x ＜4}．2．2－i 1＋2i＝( ) A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i答案：D解析：2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i5＝－i ．3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C ；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C ·C ＝60种．4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线，l 是点A 处的水平面的截线，m 是晷面的截线，AB 是晷针所在直线．依题意可知OA ⊥l ，m ∥CD ，AB ⊥m ．由于∠AOC ＝40º，所以晷针与点A 处的水平面所成角∠BAE ＝90º－∠GAE ＝∠OAG ＝AOC ＝40º．5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A ∪B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ∩B ．由题得P (A )＝0.6，P (B )＝0.82，P (A ＋B )＝0.96，所以P (A ∩B )＝P (A )＋P (B )＋P (A ∪B )＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ．有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案：B解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28－16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t ．设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38(t＋t 1)＝2e 0.38t ，即e 0.38t 1＝2，所以t 1＝ln20.38≈1.8．7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则·的取值范用是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)答案：A解析：设P 在AB 上的投影为P'，易得AP'∈(－1，3)．由向量数量积的定义，可知·＝AP'·AB ＝2AP'∈(－2，6)．8．若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0，1]C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，3]答案：D解析：因为定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上也是单调递减，且f (－2)＝0，f (0)＝0．所以当x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f (x )＞0；当x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0．于是，由xf (x －1)≥0，得⎩⎨⎧x ＜0，－2≤x －1≤0或x －1≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x －1≤－2或0≤x －1≤2或x ＝0，解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3．因此，满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( )A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 答案：ACD解析：对于A ，若m ＞n ＞0，则曲线C ：mx 2＋ny 2＝1是椭圆，易得1m ＜1n ，所以焦点在y 轴上，故A 正确；对于B ，若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆，半径为1n，故B 不正确； 对于C ，若mn ＜0，则曲线C 是双曲线，由mx 2＋ny 2＝0，得渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；对于D ，若m ＝0，n ＞0，则曲线C 可化为y ＝±1n，表示两条直线，故D 正确．10．下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )答案：BC解析：由函数图像可知T 2＝2π3－π6＝π2，则ω＝2πT＝2．当x 2π3＋π62＝5π12时，y ＝－1，即2×5π12＋φ＝3π2＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2π3＋2kπ(k ∈Z )．故函数的解析式为y ＝sin(2x ＋2π3＋2kπ)＝sin(2x ＋2π3)．由诱导公式易知sin(2x ＋2π3)＝sin(π3－2x )＝cos(2x ＋π6)．11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ．a ＋b ≤ 2答案：ABD解析：对于A ，由基本不等式得a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确；对于B ，因为a －b ＝2a －1＞－1，所以2a －b ＞2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2(a ＋b 2)2＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故C 不正确；对于D ，由基本不等式得(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故D 正确；12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i ＞0(i ＝1，2，…，n )，i ＝1n ∑p i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－i ＝1n∑p i log 2p i ．( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y ) 答案：AC解析：对于A ，若n ＝1，则i ＝1，p 1＝1，所以H (X )＝－1×log 21＝0，所以A 正确．对于B ，若n ＝2，则i ＝1，2，p 2＝1－p 1，所以H (X )＝－i ＝1n∑[p 1log 2p 1＋(1－p 1)log 2(1－p 1)]，当p 1＝14或34时，H (X )相等，所以B 错误．对于C ，若p i ＝1n (i ＝1，2，…，n )，则H (X )＝－i ＝1n∑1nlog 21n ＝－(1n log 21n )×n ＝－log 21n ＝log 2n ，则H (X )随着n 的增大而增大，所以C 正确．对于D ，若n ＝2m ，随机变量Y 的所有可能的取值为1，2，…，m ，且()21j m j P Y j p p +-==+(1,2,,j m =)．()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m m p p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅．()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m m p p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111ii m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 答案：163解析：易得抛物线的焦点为F (1，0)，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程，消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．法一：解得x 1＝13，x 2＝3，所以AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝2|13－3|＝163．法二：Δ＝64＞0，则x 1＋x 2＝103，焦点弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163．14．将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 答案：3n 2－2n解析：因为数列{2n －1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以它们的公共项数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列．易得{a n }的前n 项和为3n 2－2n ．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH∥DG ，EF ＝12cm ，DE ＝2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2． 答案：4＋5π2解析：设OA ＝OB ＝r ．由题意得AM ＝AN ＝7，EF ＝12，所以NF ＝5，因为DE ＝2，所以AP ＝5，因此∠AGP ＝∠AHO ＝45º，故△OAH 为等腰直角三角形．在Rt △OQD 中，易得OQ ＝5－22r ，DQ ＝7－22r ，于是tan ∠ODC ＝5－22r7－22r＝35，解得r ＝22．于是，等腰直角△OAH 的面积为S 1＝12×22×22＝4，扇形AOB 的面积S 2＝12×(22)2×3π4＝3π，所以阴影部分的面积为S 1＋S 2－π2＝4＋5π2．16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案：22π． 解析：如图，取B 1C 1的中点为E ，BB 1的中点为F ，CC 1的中点为G ．因为∠BAD ＝60°，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，所以△B 1C 1D 1为等边三角形，因此D 1E ＝3，D 1E ⊥B 1C 1．又四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1E ．因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以D 1E ⊥侧面BCC 1B 1．设P 为侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点，则D 1E ⊥EP ．因为球的半径为5，D 1E ＝3，所以EP ＝2，因此侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点到E 的距离为2，所以侧面BCC 1B 1与球面的交线是以E 为圆心，EF 为半径的圆上的一段弧．因为∠B 1EF ＝∠C 1EG ＝π4，所以∠FEG ＝π2．所以根据弧长公式可得＝π2×2＝22π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：由sin A ＝3sin B ，可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m ＞0)．则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，故c ＝m ． 若选择条件①：则ac ＝3m 2＝3，即m ＝1，此时c ＝m ＝1． 若选择条件②：则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，故sin A ＝32，于是c sin A ＝32m ＝3，得c ＝m ＝23．若选择条件③：则c ＝3b ，与b ＝m ＝c 矛盾，则问题中的三角形不存在．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100．解析：(1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ．依题意有a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍)．所以a n ＝2n ．(2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b 1＝0； 易得b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2； b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3； b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4； b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5； b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6；所以S 100＝1×2＋2×22＋…＋5×25＋6×37＝480．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度(单位：μg /m 3)，得下表：(1)2150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)PM 2.5浓度与SO 2浓度有关? 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解析：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过10的天数有32＋6＋18＋8＝64天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率为64100＝0.64．(2)由所给数据，可得2×2列联表为：(3)根据2×2K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26＝3600481≈7.4844＞6.635，所以有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关．20．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． 又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ，所以AD ∥l ．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC ，因此l ⊥DC ． 因为PD ⊥平面ABCD ，AD平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，因此l ⊥PD ．因为CD ∩PD ＝D ，所以l ⊥平面PDC ．(2)解：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝AD ＝1，则有D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，P (0，0，1)，B (1，1，0)．设Q (m ，0，1)，则有＝(0，1，0)，＝(m ，0，1)，＝(1，1，－1)．设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1，0，－m )．所以cos ＜n ，＞＝n ·|n |·||＝1＋0＋m 3·m 2＋1．PB 与平面QCD 所成角的正弦值为|cos ＜n ，＞|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63，当且仅当m ＝1时取等号．所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63．21．已知函数f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析：(1)求导得f'(x )＝e x －1x，所以k ＝f'(1)＝e －1．又f (1)＝e ＋1，所以f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2． 该切线与坐标轴交点分别为(0，2)，(－2e －1，0)，所求三角形面积为12×2×|－2e －1|＝2e －1．(2)法一：因为f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ，所以f'(x )＝ae x －1－1x，且a ＞0．设g (x )＝f'(x )，因为g'(x )＝ae x －1＋1x 2＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f'(x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，f'(1)＝0，易得f (x )min ＝f (1)＝1，满足f (x )≥1恒成立．当a ＞1，即1a ＜1时，有e 1a －1＜1，所以f'(1a )f'(1)＝a (e 1a －1－1)(a －1)＜0，因此存在唯一的x 0∈(1a，1)，使得f'(x 0)＝ae －1x 0＝0，即ae ＝1x 0，所以ln a ＋x 0－1＝－ln x 0．在(0，x 0)上，f'(x )＜0，f (x )递减；在(x 0，＋∞)上，f'(x )＞0，f (x )递增． 因此f (x )min ＝f (x 0)＝ae －ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1＞1，满足f (x )≥1恒成立．当0＜a ＜1时，f (1)＝a ＋ln a ＜a ＜1，不满足f (x )≥1恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．法二：f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1，等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )．显然g (x )为单调增函数，所以又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1． 令h (x )＝ln x －x ＋1，则h'(x )＝1x －1＝1－x x．在(0，1)上，h'(x )＞0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h'(x )＜0，h (x )单调递减．所以h (x )max ＝h (1)＝0．所以ln a ≥0，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．解析：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝6，b 2＝c 2＝3，故椭圆方程为x 26＋y23＝1．(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．当直线MN 的斜率存在时，如图1，设方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，消去y并整理得(1＋2k 2)x 2＋4km x ＋2m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2． 因为AM ⊥AN ，所以·＝0，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0．将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入，得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0， 亦即(k 2＋1)2m2－61＋2k 2＋(km －k －2)(－4km1＋2k2)＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋m －1)(2k ＋3m ＋1)＝0，所以2k ＋m －1＝0或2k ＋3m ＋1＝0．当2k ＋m －1＝0，直线MN ：y ＝kx ＋1－2k 过定点A (2，1)，不合题意； 当2k ＋3m ＋1＝0，直线MN ：y ＝k (x －23)－13过定点E (23，－13)．当直线MN 的斜率不存在时，可得N (x 1，－y 1)，如图2，代入(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，得(x 1－2)2＋1－y ＝0，又x 216＋y 213＝1，解得x 1＝2(舍)或23，此时直线MN 也过点E (23，－13)．由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，所以AE 的中点Q 满足|QD |为定值，为AE 长度的一半12(2－23)2＋(1＋13)2＝423，由于A (2，1)，E (23，－13)，故中点Q (43，13)．所以存在点Q (43，13)，使得|DQ |为定值．2020年普通高等学校招生全国统一考试——山东数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}2．2－i 1＋2i＝( ) A ．1B ．−1C ．iD ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ．有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则→AP ·→AB 的取值范用是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)8．若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0，1]C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( )A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线10．下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ．a ＋b ≤ 212．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i ＞0(i ＝1，2，…，n )，i ＝1n∑p i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－i ＝1n∑p i log 2p i ．( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．14．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12cm ，DE ＝2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度(单位：μg /m 3)，得下表：(1)2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关? 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，20．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21．已知函数f(x)＝ae x－1－ln x＋ln a．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．22．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2，1)．(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．。
2020-2021学年山东省春季高考第一册期末考试(数学试题)
2020-2021学年山东省春季高考第一册期末考试（数学试题） 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡．．．上） 1．设U={2，5，7，8}，A={2，5，8}，B={2，7，8}，则()B A C U 等于（ ） (A) {2，8} (B) ∅ (C) {5，7，8}(D) {2，5，7，8}2. 设M={0，1，2, 3, 4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共（ ） (A) 2个 (B)4个 (C)6个(D) 8个3. 下列5个关系式：①2R ∈ ② |1|N +-∉ ③ 52Q∉ ④ Z π∈⑤ 0Z ∈中不正确的个数为（ ）（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. x>0是| x | >0的（ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5. 已知,,x y R ∈则“0x y ⋅>”是“0x >且0y >”的（ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件6. 已知集合A ，B ，则“A B ⊆”是“A B =”的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 若a,b 是任意实数,且a ＞b,则（ ）（A ）22b a > （B ）ba ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）ba ）（）（2121<8. 设 22-+=a a m ，122--=a a n ，其中a ∈ R ，则（ ）(A) m ＞n (B) m ≥n (C) m ＜n (D) m ≤n 9. 若实数a ，b 满足ab>0，a+b>0，则下列选项正确的是（ ） (A) a>0，b>0 (B) a>0，b<0 (C) a<0，b>0 (D) a<0，b<010. 已知指数函数xa y =，对数函数x yb log =的图像如图所示，则下列关系式正确的是（ ）A. 0<a<b<1B. 0<a<1<bC. 0<b<1<aD. a<0<1<b11. 函数f (x)= 1x －1＋lg(x ＋1)的定义域为( )(A) (－∞，－1) (B) (1，＋∞) (C) (－1，1)∪(1，＋∞) (D) R12. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）(A)（，0） (B)(C) (D)13. 若不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +的值是（ ）(A) 14 (B)﹣14 (C)10 (D)﹣1014. 已知函数1log 4,0()2,0x kx x f x x ->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，若(2)(2)f f =-，则k =（ ） (A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -215. 已知函数R x x f y ∈=),(是偶函数，且在区间[)∞+，0上是增函数，则下列关系正确的是（ ） (A))3()2()1(->>-f f f (B))3()1()2(->->f f f (C))1()2()3(->>-f f f (D))2()1()3(f f f >->-16. 二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>的图像与x 轴交点的横坐标为-5和3，则这个二次函数的单调减区间为（ ） (A)(],1-∞- (B) [)2,+∞ (C) (],2-∞ (D) [)1,-+∞17. 等差数列中，若20321=++a a a ，7321=++--n n n a a a ，155=n S ，则=n （ ）（A ）6 (B)8 (C)10 (D)12032>+++a ax ax x a 4-),0()4,(∞+⋃--∞),0[∞+)0,(-∞xyOy=a x第10题 图18. 某商场以每件30元的价格购进一种玩具. 通过试销售发现，逐渐提高售价，每天的利润增大，当售价提高到45元时，每天的利润达到最大值为450元，再提高售价时，由于销售量逐渐减少利润下降，当售价提高到60元时，每天一件也卖不出去.设售价为x ，利润y 是x 的二次函数，则这个二次函数的解析式是（ ）(A) )60)(30(2---=x x y (B) )45)(30(2---=x x y (C) 450)45(2+-=x y (D) 450)30(22+--=x y 19. 在等比数列{an}中，12=a ，34=a ，则6a 等于（ ） （A ）-5 （B ）5 （C ）-9（D ）920. 若等差数列{n a }的前7项和为70，则71a a +等于（ ） (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20第II 卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分。
2020年山东省春季高考数学真题
2020年山东省春季高考数学真题2020年山东省春季高考数学真题一、单选题1.已知全集 $U=\{a,b,c,d\}$，集合 $M=\{a,c\}$，则 $U-M$ 等于（）XXXB。
$\{a,c\}$C。
$\{b,d\}$D。
$\{a,b,c,d\}$2.函数 $f(x)=\dfrac{1}{\lg x}$ 的定义域是（）A。
$(0,+\infty)$B。
$(0,1)\cup(1,+\infty)$C。
$[0,1)\cup(1,+\infty)$D。
$(1,+\infty)$3.已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，若对于任意两个不相等的实数 $x_1,x_2$，总有 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$ 成立，则函数 $f(x)$ 一定是（）A。
奇函数B。
偶函数C。
增函数D。
减函数4.已知平行四边形$ABCD$，点$E$，$F$ 分别是$AB$，$BC$ 的中点（如图所示），设 $AB=a$，$AD=b$，则$EF$ 等于（）A。
$\dfrac{1}{2}(a+b)$B。
$\dfrac{1}{2}(a-b)$C。
$\dfrac{1}{2}(b-a)$D。
$a+b$5.在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=-2$，则$a_9$ 等于（）A。
256B。
$-256$C。
512D。
$-512$6.已知直线 $l:y=x\sin\theta+\cos\theta$ 的图像如图所示，则角 $\theta$ 是（）图略】A。
第一象限角B。
第二象限角C。
第三象限角D。
第四象限角7.已知圆心为 $(-2,1)$ 的圆与 $y$ 轴相切，则该圆的标准方程是（）A。
$(x+2)^2+(y-1)^2=1$B。
$(x+2)^2+(y-1)^2=22$C。
$(x-2)^2+(y+1)^2=122$D。
$(x-2)^2+(y+1)^2=422$8.现从 $4$ 名男生和 $3$ 名女生中，任选 $3$ 名男生和$2$ 名女生，分别担任 $5$ 门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A。
2023年山东春考真题(数学)含答案
2023年山东春考真题(数学)含答案题目一：简答题（共10分）1.用两种或以上的方法，解决下列不等式组，并列举每种方法的限制条件。
$$ \\begin{cases} 2x - y \\leq 4 \\\\ x + 3y \\geq 6\\end{cases} $$2.给定一个函数f(f)=2f2−5f+3，求该函数的极值点。
解答：1.方法一：解不等式组的方法之一是图解法，并可通过图形解的方式找到解。
首先，将不等式组转化为标准形式：$$ \\begin{cases} y \\geq 2x - 4 \\\\ y \\leq -\\frac{1}{3}x + 2 \\end{cases} $$然后，在坐标系上绘制出上述两个不等式所对应的直线f=2f−4和 $y = -\\frac{1}{3}x + 2$。
找到两条直线的交点(4,4)，该点即为不等式组的解。
此方法的限制条件是，两个不等式所对应的直线在坐标系上有交点。
2.方法二：解不等式组的方法之二是代入法。
首先，将第一个不等式 $2x - y \\leq 4$ 转化为等式2f−f=4，然后解得f=2f−4。
将f=2f−4代入第二个不等式 $x + 3y\\geq 6$ 中，得到 $x + 3(2x - 4) \\geq 6$，化简后得$x \\geq 2$。
因此，满足不等式组的解为 $x \\geq 2$。
此方法的限制条件是，其中一个不等式可以转化为等式，并且通过代入得到一个合理的结果。
题目二：计算题（共20分）1.已知函数f(f)=f2−2f，求函数的对称轴和顶点坐标。
解答：首先，给出函数f(f)=f2−2f的标准形式f=f2−2f。
对于标准形式的二次函数f=f(f−f)2+f，其中(f,f)为顶点坐标，对称轴的方程为f=f。
比较给定函数和标准形式，可得f=1，f=1，f=−1。
因此，函数的对称轴方程为f=1，顶点坐标为(1,−1)。
2.计算等差数列$1, 4, 7, 10, \\ldots$ 的第f项和f f。