直流微装置的磁流体动力学模拟

第十四章直流微装置的磁流体动力学模拟
JAIME H. LOZANO PARADA, WILLIAM B.J. ZIMMERMAN
Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,
Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom
E-mail: w.zimmerman@
1．引言
磁流体动力学理论（MHD）研究电磁场中导电流体的交互作用。

它在很多领域，包括热核反应[1]、太阳和太空等离子体[2]、火箭引擎[3]中都有着非常重要的作用。

目前对MHD的研究兴趣越来越集中在芯片实验中的微尺度流动控制应用上[4]-[6]。

驱动MHD微尺度泵的Lorentz力，在方向和大小上取决于施加的磁场B和电场E矢量。

这种泵的主要特性就是可以控制局部流体流动，不需要力学设备就可以精确控制流体在微尺度流道网络中按照预定路径流动[7]。

这种借助Lorentz力的局部流体控制方法使得流体控制变得十分灵活，例如流体可以双向流动、累积、减速甚至回退。

与电动泵使用高的轴线电压相比[8]，MHD微型泵使用低的横向电场。

低的发热量使其可以用于驱动对高温和电压敏感的生物流动过程。

简单的电子设备就可以顺序控制复杂微流动中的各个独立微型泵。

流动速度通过电磁场的强度来控制。

似乎到目前为止仍没有关于MHD微型泵模拟的发表文章。

下面我们将给出一些基于Galerkin有限元法的微型泵模拟结果，模拟过程在商业软件COMSOL Multiphysics 3.2中实现。

数值求解采用压力修正算法——SIMPLE，它首先假设一个压力场，然后通过求解不可压缩流动的Navier-Stokes方程得到速度场。

这些速度不需要满足Possion型连续方程，所以对压力场的修正也带来速度场的修正，最终满足质量守恒。

求解速度场的同时计算电势场方程。

这会得到Lorentz 力，然后将其反馈回N-S方程并作为体积力处理。

连续耦合Lorentz力和速度场直到Newton迭代收敛。

2．理论
为了研究电场和磁场对微通道反应器（MR）里中性导电流体的影响，我们对不可压缩各向同性牛顿流体建立一个MHD方程。

在实验室尺度，MHD控制方程可以解耦合为三个主要问题[9]：一是基于质量守恒和动量守恒的连续方程流动问题；二是基于Maxwell方程的电动力学问题；三是基于能量守恒的热问题。

但是流体动力学和电动力学的解耦合是存在问题的，因为定义了共同的压力边界条件。

不过也很容易发现，当流动速度足够慢的时候，压力分布可以一阶近似为静流体情况，这样就可以定义一个纯磁流体动力学问题。

这样就考虑了磁场对速度场的影响，但是忽略了流场对磁力线对流的影响（这就是著名的弱耦合），除非入口流速增大到磁场Reynolds数Rm比1大。

当R m≈1时，磁力线对流约占静磁场B0的1％，但是如果R m≈10时，磁力线扰动带来的磁场近似等于没有扰动的磁场B0，也就是说这时磁力线的对流变得不可忽略。

对于我们这种情况，如果产生磁场线对流需要入口平均流速u0≈104m/s，这是不可能的。

所以这里忽略流体流动带来的磁力线对流。

我们模型中用到的MHD直流微型泵方程和参数都取自参考文献10。

文献中采用基于有限体积法的PHOENICS代码，通过外部FORTRAN子程序连接到N-S
方程中来求解Lorentz 体积力，我们这儿没采用这种方法，而是使用基于有限元法的COMSOL Multiphysics 3.2软件来计算。

这样做的好处是不用写外部子程序，源项和体积力已经预置进去了，计算方法已经考虑到这一点并进行了优化。

这样我们就能够通过Newton 迭代更快收敛。

以下矢量方程以无量纲形式描述了该问题：
0ρρρ*=; 200t B t σρ*=; x x L *=; y y R *=; 0u u u *=; 0B B B *=, (1)
200p p u B R σ*=; 00J J u B σ*=; 2220B R Ha ση=; 00u B R φφ*=
这里3(m )ρ-是流体密度，σ(siemens/m)是电导率，0u (m/s)和0B (Tesla)分别是速度和电磁场强度。

Ha 是Hartmann 数，2Ha 可以看作磁场与普通粘性力的比值，(Pa)p 是压力，R 是通道宽度，η(Kg/m ·s)是动力学粘度。

根据以上假设和无量纲数，可以构建稳态条件下的MHD 方程。

连续性方程为：
0*∇⋅=u (2)
这里()u m/s 是满足无滑移边界条件的自由发散速度场。

作用在带电颗粒上的静电磁场力为Lorentz 力，在不可压缩Navier-Stokes 方程中表现为体积力
222Re 1p Ha Ha
******⋅∇-∇=-∇+⨯u u u J B (3) 这里J (Ampere/m 2)是根据欧姆定律算出的电流密度。

φ****=-∇+⨯J u B (4)
这里φ(Volts)是由方程(5)给出的电势向量。

方程(4)右侧第一项是施加的外部电场，第二项是由于磁场感应产生的电场。

方程(3)中的叉积**⨯J B 是Lorentz 力。

电势由以下方程得到：
()2***φ∇=∇⋅⨯u B (5)
外部电场需要满足绝缘边界条件0φ∇⋅=n 。

电场和磁场由Maxwell 方程控制。

方程(4)对z 积分后得到平均电流密度
/20000/2
1()h y z h dz E B u h σ-==-⎰j j (6) 通过对方程(6)的仔细分析我们能够明白当平均电流密度为零、负数或正数时的含义。

假设我们在微通道中横向插入一对电极（平行与B ）并将其短接，然后感
应电场E 0＝0，当B 0为正值时00y j <。

现在我们在外部电路中加入一些电阻，并逐渐增大其阻值，这些平均电流将会沿y 的负方向流动，随着电路电阻的增大而减小。

当电阻足够大时（无限大电阻），外部电路相当于开路，也就是说00j =。

当00j <时平均Lorentz 力（00j B ⨯）起着“制动”的作用。

当电流最大时制动作
用也最大，此时外部电阻为零。

对于有限外部电阻情况，可以从流体中获得电功，此时系统相当于电池发电机。

一定要注意到当j 0＝0时平均流动速度由E 0=u 0B 0精确确定，所以通过测量感应电场就可以确定流动通量。

我们假设以电源来代替外部电路中的电阻。

这时电流沿y 轴正向流过流体，Lorentz 力沿着流体流动的方向，所以外部电源加速了流动。

这就是电池泵的原理。

在COMSOL Multiphysics 中求解方程(2)-(5)可能需要一些技巧，最基本的是要确认使用的版本中有这些模块，动量守恒我们选用不可压缩Navier-Stokes 模块，电势选用直流导电模块。

3．几何形状
我们的MHD 系统位于一个微型反应器的矩形横截面反应段中。

宽度和高度分别为300和100微米，长度约为宽度的10倍。

根据轴线局部电磁场的改变将该域分为三部分（左、中、右）。

磁场在中部保持常数不变，在左侧和右侧成指数递减。

在划分网格时注意到大的横纵比可能会给内部边界流量守恒计算带来问题，所以需要通过调整空间坐标使得长度满足网格划分要求。

流动结构和电场、磁场如图1所示。

在x-y 平面放置一对磁铁（它可以作为直流微型泵的电磁场），产生沿z 轴正方向的磁场，流体沿x 轴正方向流动，当它穿过中间区域时流动情况被磁场改变。

感应电流和电场沿y 轴方向。

图1给出了起泵或阀作用时的内部流型，这取决于电极电势的正负号。

在来流区域流体是充分发展的层流（图2左侧）。

为方便起见我们假设流道高度比宽度或长度小很多，所以磁场方向的电流密度比其它方向要小很多。

所以该问题可以简化为二维模型。

图1 微通道几何结构
图2 (a)速度分布和电势等高线；(b)流线；(c)Lorentz力矢量。

N=5×103；Ha＝4；Re＝3.2×10-3
3.1 边界条件
4．在COMSOL Multiphysics 3.2中实现
打开COMSOL Multiphysics 3.2，进入模型导航栏。

表2给出了详细的模型建立步骤。

5．计算结果
交互作用变量（Re/Ha2）和Hartmann数的变化源自Reynolds数和磁场强度的变化。

对泵和阀的几种情况进行了建模。

在所有情况下都考虑了磁铁区域外部的非导电壁面。

通过在流道两侧放置磁铁，引入了互相垂直的电场和磁场，为了说明交叉的电磁场是如何起到泵和制动作用的，我们绘制了每种情况下的速度和压力分布。

5.1 MHD直流微型泵
图2给出了MHD微流道的流型和电势等高线(a)，流线(b)和Lorentz矢量(c)。

由于上游和下游区域没有电极，壁面绝缘，电动势和y方向的静电场方向相反。

电动势决定了那里磁场比较强，该区域以外磁通密度迅速降低且静电力起主要作用。

所以系统表现为制动作用。

这从图2中可以看出，当从上游进入中间区域时，速度分布变平了，因为流动进入恒定磁场区域（中心）。

速度分布呈现M形，因为Lorentz力在靠近电极的地方更强，使得这里比中心的轴线速度阻力更小。

这使得流体进入电极区域以后速度分布发生明显的抛物线型扭曲。

在这些区域流动加速形成凹型分布。

下游的最大速度向中心移动，使得M型分布更为明显。

由于流向下游时电动力降低，使得最大速度分布向中心移动，直到流动再次恢复抛物线分布。

电动势的等高线从电极最大值处向外扩散，沿轴线为零。

图2(b)给出了相应的流线。

由于Lorentz力将流体向壁面处挤压，流线在这里比较集中，然后流动加速以保证连续性。

图2(c)给出了由交叉电流密度J和磁场强度B产生的
Lorentz力矢量。

磁场是外部施加的，由永磁体或电磁体产生。

在这种情况下磁雷诺数很小，所以采用弱耦合，认为磁场不受流体流动影响。

电流密度矢量由两部分组成，一部分是由电极静电场产生，另一部分是由电动势场U×B产生。

在上游和下游区域中静电场力占主导地位，电场矢量指向电极（图3(b)），所以上游轴线电流沿x轴正方向，下游沿负方向（图3(a)）。

图3(c)给出了感应磁场电流。

显然这部分电流沿y的负方向，因为它是由交叉的流速和磁场产生的，所以只可能由我们选择的磁场方向来决定其方向。

图3 (a)电流矢量；(b)电场产生的电流；(c)磁场感应电流
从图4中可以更清楚的看到Lorentz力对流动的影响，它给出了Ha＝100，N＝500时沿轴线和电极壁面处的压力分布。

当流体进入磁场区域时，轴线压力逐渐增大，所以此时流道明显成为一个泵。

壁面处压力增长较慢，但是在电极中心处已经达到了轴线压力。

当流体流过电极进入下游时，轴线和壁面处的压力都平滑降低直到出口边界条件。

正如我们后面将会看到的，当电极极性反向时使得压力降变化正好相反，装置变成一个电磁阀。

图4 轴线和壁面处的压力分布
图5 不同轴线位置处轴线上速度分布的变化（入口到出口方向）
当N＝500，Ha＝10时，图5给出了MHD微型泵中从上游到下游区域轴线速度分布的演变情况。

入口边界条件定义了流道的抛物线分布。

当流体进入中心区域时壁面处的Lorentz力起主要作用，使得沿流动方向分布拉长。

这导致壁面处轴线速度加快。

这种流型非常类似于电渗流；但是关键的不同之处在于该分布是由交叉的电场和磁场产生而不是大的轴线电场。

注意到产生一个泵作用只需要设定电压为-10V。

图6给出了当Re＝2×10-3时，Hartmann数对磁场控制中心区域轴线上速度的影响。

对于小Ha数，流动不会受到电动势力的影响，所以速度分布和Ha＝0时非常类似。

图6 Hartmann数对中心区域轴线速度分布的影响
当Ha数增大时，Lorentz力赶上粘性力大小，开始将流体向壁面方向推动，所以在靠近壁面附近Lorentz力是不平衡的，足够将流动方向的速度分布拉长。

正如Ha＝6时轴线附近看到的，一旦流体穿过中心区域，由于惯性较小，流型会变成再循环型。

我们相信这是为了保证连续性。

正如前面提到的，从图7绘制的轴线上压力分布图可以清楚的看出由中心区域的电磁力产生的泵效应。

显然与Ha＝0时相比压力增大了6倍。

同时也应该注意到当Ha增大超过6倍以后并不能显著增大压力降。

这点很容易理解，因为在微通道结构中高Ha数在实验上很难达到，受能够经受高磁场的材料限制，所一个适当的Ha数是十分必要的。

图7 各种Hartmann数下轴线上的压力分布
5.2 MHD直流微型阀
在本节中我们通过模型研究当电极极性翻转时会出现什么情况。

在这种情况下，电场产生的电流提高了由磁场产生的感应电流，所以Lorentz力在负x轴方向得到加强，系统类似于一个制动阀。

一旦电极极性翻转，感应电场会被固定电场增强。

图8(a)显示了当上游抛物线速度分布的来流进入由Lorentz力控制的中心区域后的变形情况。

在中心区域靠近壁面处流动反向。

一旦流动离开电极进入下游，它又恢复到抛物线型流动。

图8(b)给出了对应的流线分布。

流动被推离壁面且出现了回流涡。

为保持连续性流体加速。

图8 (a)等电势线和轴线速度分布；(b)流线；(c)Lorentz力矢量。

图9显示了当电极极性翻转时的电流矢量。

在阀型流中所有电流向量沿相同方向彼此增强。

这意味着Lorentz力沿x轴负方向增强，减缓了流动过程。

图9 (a)电流密度向量；(b)电场产生的电流；(c)磁场产生的感应电流。

图10显示了不同轴线位置处轴线速度分布的空间变化。

可以注意到当流动进入磁场控制区域后在靠近电极处产生回流涡。

为了保证连续性可以看到轻微的速度增加。

图10 几个轴线位置处轴线上的速度分布
在泵型流型中，从图11中的压力图可以很容易的看到制动效应。

图11 沿轴线靠近壁面处的压力分布。

沿轴线从入口进入上游区域时，压力平滑降低，而进入中心区域时压力急剧变化。

一旦流体进入下游区域，压力又变得连续缓慢降低。

上游区域中靠近壁面处流动降低缓慢，但是开始降低的位置靠后，且比轴线上更剧烈，不过在下游区域中又很快达到平滑。

图11非常重要，因为它表明了电磁场是如何通过影响压力降来起到减速作用的。

6．结论
前面的工作中，在COMSOL Multiphysics3.2中得到了微型反应器中电磁动力学模型的数值解，并且研究了导电流体中交叉电场和磁场的交互作用。

针对不同Hartmann数分析了电磁场的泵效应和制动效应。

Reynolds数对泵或制动效应的影响没有考虑，因为在微型结构中典型的Reynolds数为2×10-3<Re<1，Re数对流动的影响不大，它的影响只能从下游中抛物线流型恢复距离看出来。

应当注意到，当电极极性为负时（泵流型），流动变形为M型分布（典型的电动流）；当电极电压翻转时（阀流型），流动变形为W型分布。

这说明微通道结构中的导电流体可以被交叉磁场和电场产生的Lorentz力驱动，且产生的焦耳热和交叉电磁场所需的电压都比电动流要小很多，这一优点使得该装置可以用于驱动对高温和电压敏感的生物流体。

读者可能已经注意到，在这些装置中，当Hartmann数增大时会形成回流涡，能够强化化学反应试剂的混合。

当然，前面的工作中我们只介绍了流动计算，但是MHD微型装置的加速混合也可以提高性能[11]。

这留待以后的工作中研究。

参考文献
[1]P. Helander, Magnetohydrodynamics (MHD), The 40th Culham Plasma
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[2]P. Cargill, Space plasma physics: I+II, The 40th Culham Plasma Physics
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