直流微装置的磁流体动力学模拟

第十四章直流微装置的磁流体动力学模拟

JAIME H. LOZANO PARADA, WILLIAM B.J. ZIMMERMAN

Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,

Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom

E-mail: w.zimmerman@

1．引言

磁流体动力学理论（MHD）研究电磁场中导电流体的交互作用。它在很多领域，包括热核反应[1]、太阳和太空等离子体[2]、火箭引擎[3]中都有着非常重要的作用。目前对MHD的研究兴趣越来越集中在芯片实验中的微尺度流动控制应用上[4]-[6]。驱动MHD微尺度泵的Lorentz力，在方向和大小上取决于施加的磁场B和电场E矢量。这种泵的主要特性就是可以控制局部流体流动，不需要力学设备就可以精确控制流体在微尺度流道网络中按照预定路径流动[7]。这种借助Lorentz力的局部流体控制方法使得流体控制变得十分灵活，例如流体可以双向流动、累积、减速甚至回退。与电动泵使用高的轴线电压相比[8]，MHD微型泵使用低的横向电场。低的发热量使其可以用于驱动对高温和电压敏感的生物流动过程。简单的电子设备就可以顺序控制复杂微流动中的各个独立微型泵。流动速度通过电磁场的强度来控制。

似乎到目前为止仍没有关于MHD微型泵模拟的发表文章。下面我们将给出一些基于Galerkin有限元法的微型泵模拟结果，模拟过程在商业软件COMSOL Multiphysics 3.2中实现。数值求解采用压力修正算法——SIMPLE，它首先假设一个压力场，然后通过求解不可压缩流动的Navier-Stokes方程得到速度场。这些速度不需要满足Possion型连续方程，所以对压力场的修正也带来速度场的修正，最终满足质量守恒。求解速度场的同时计算电势场方程。这会得到Lorentz 力，然后将其反馈回N-S方程并作为体积力处理。连续耦合Lorentz力和速度场直到Newton迭代收敛。

2．理论

为了研究电场和磁场对微通道反应器（MR）里中性导电流体的影响，我们对不可压缩各向同性牛顿流体建立一个MHD方程。

在实验室尺度，MHD控制方程可以解耦合为三个主要问题[9]：一是基于质量守恒和动量守恒的连续方程流动问题；二是基于Maxwell方程的电动力学问题；三是基于能量守恒的热问题。但是流体动力学和电动力学的解耦合是存在问题的，因为定义了共同的压力边界条件。不过也很容易发现，当流动速度足够慢的时候，压力分布可以一阶近似为静流体情况，这样就可以定义一个纯磁流体动力学问题。这样就考虑了磁场对速度场的影响，但是忽略了流场对磁力线对流的影响（这就是著名的弱耦合），除非入口流速增大到磁场Reynolds数Rm比1大。当R m≈1时，磁力线对流约占静磁场B0的1％，但是如果R m≈10时，磁力线扰动带来的磁场近似等于没有扰动的磁场B0，也就是说这时磁力线的对流变得不可忽略。对于我们这种情况，如果产生磁场线对流需要入口平均流速u0≈104m/s，这是不可能的。所以这里忽略流体流动带来的磁力线对流。

我们模型中用到的MHD直流微型泵方程和参数都取自参考文献10。文献中采用基于有限体积法的PHOENICS代码，通过外部FORTRAN子程序连接到N-S

方程中来求解Lorentz 体积力，我们这儿没采用这种方法，而是使用基于有限元法的COMSOL Multiphysics 3.2软件来计算。这样做的好处是不用写外部子程序，源项和体积力已经预置进去了，计算方法已经考虑到这一点并进行了优化。这样我们就能够通过Newton 迭代更快收敛。

以下矢量方程以无量纲形式描述了该问题：

0ρρρ*=; 200t B t σρ*=; x x L *=; y y R *=; 0u u u *=; 0B B B *=, (1)

200p p u B R σ*=; 00J J u B σ*=; 2220B R Ha ση=; 00u B R φφ*=

这里3(m )ρ-是流体密度，σ(siemens/m)是电导率，0u (m/s)和0B (Tesla)分别是速度和电磁场强度。Ha 是Hartmann 数，2Ha 可以看作磁场与普通粘性力的比值，(Pa)p 是压力，R 是通道宽度，η(Kg/m ·s)是动力学粘度。

根据以上假设和无量纲数，可以构建稳态条件下的MHD 方程。连续性方程为：

0*∇⋅=u (2)

这里()u m/s 是满足无滑移边界条件的自由发散速度场。

作用在带电颗粒上的静电磁场力为Lorentz 力，在不可压缩Navier-Stokes 方程中表现为体积力

222Re 1p Ha Ha

******⋅∇-∇=-∇+⨯u u u J B (3) 这里J (Ampere/m 2)是根据欧姆定律算出的电流密度。

φ****=-∇+⨯J u B (4)

这里φ(Volts)是由方程(5)给出的电势向量。方程(4)右侧第一项是施加的外部电场，第二项是由于磁场感应产生的电场。方程(3)中的叉积**⨯J B 是Lorentz 力。电势由以下方程得到：

()2***φ∇=∇⋅⨯u B (5)

外部电场需要满足绝缘边界条件0φ∇⋅=n 。电场和磁场由Maxwell 方程控制。方程(4)对z 积分后得到平均电流密度

/20000/2

1()h y z h dz E B u h σ-==-⎰j j (6) 通过对方程(6)的仔细分析我们能够明白当平均电流密度为零、负数或正数时的含义。假设我们在微通道中横向插入一对电极（平行与B ）并将其短接，然后感

应电场E 0＝0，当B 0为正值时00y j <。现在我们在外部电路中加入一些电阻，并逐渐增大其阻值，这些平均电流将会沿y 的负方向流动，随着电路电阻的增大而减小。当电阻足够大时（无限大电阻），外部电路相当于开路，也就是说00j =。当00j <时平均Lorentz 力（00j B ⨯）起着“制动”的作用。当电流最大时制动作

用也最大，此时外部电阻为零。

对于有限外部电阻情况，可以从流体中获得电功，此时系统相当于电池发电机。一定要注意到当j 0＝0时平均流动速度由E 0=u 0B 0精确确定，所以通过测量感应电场就可以确定流动通量。我们假设以电源来代替外部电路中的电阻。这时电流沿y 轴正向流过流体，Lorentz 力沿着流体流动的方向，所以外部电源加速了流动。这就是电池泵的原理。

在COMSOL Multiphysics 中求解方程(2)-(5)可能需要一些技巧，最基本的是要确认使用的版本中有这些模块，动量守恒我们选用不可压缩Navier-Stokes 模块，电势选用直流导电模块。

3．几何形状

我们的MHD 系统位于一个微型反应器的矩形横截面反应段中。宽度和高度分别为300和100微米，长度约为宽度的10倍。根据轴线局部电磁场的改变将该域分为三部分（左、中、右）。磁场在中部保持常数不变，在左侧和右侧成指数递减。在划分网格时注意到大的横纵比可能会给内部边界流量守恒计算带来问题，所以需要通过调整空间坐标使得长度满足网格划分要求。流动结构和电场、磁场如图1所示。在x-y 平面放置一对磁铁（它可以作为直流微型泵的电磁场），产生沿z 轴正方向的磁场，流体沿x 轴正方向流动，当它穿过中间区域时流动情况被磁场改变。感应电流和电场沿y 轴方向。图1给出了起泵或阀作用时的内部流型，这取决于电极电势的正负号。在来流区域流体是充分发展的层流（图2左侧）。为方便起见我们假设流道高度比宽度或长度小很多，所以磁场方向的电流密度比其它方向要小很多。所以该问题可以简化为二维模型。

图1 微通道几何结构