数学运算之浓度问题及十字交叉法

一、十字交叉法
十字交叉法是数算里面的一个重要方法，很多比例问题，都可以用十字交叉法来很快地解决，而在资料分析中，也能够派上很大用场，所以应该认真掌握它。

（一）原理介绍
通过一个例题来说明原理。

例：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。

男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80
整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：
男生：75 5
80
女生：85 5
男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=C
X=（C-B）/（A-B）
1-X=（A-C）/（A-B）
因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）
上面的计算过程可以抽象为：
A C-B
C
B A-C
这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

（二）例题与解析
1．某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是
A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5
答案：C
分析：
男教练：90% 2%
82%
男运动员：80% 8%
男教练：男运动员=2%：8%=1：4
2.某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少
A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2
答案：B
分析：职工平均工资15000/25=600
男职工工资：580 30
600
女职工工资：630 20
男职工：女职工=30：20=3：2
3.某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加
4.8%。

现在城镇人口有（）万。

A 30
B 31.2
C 40
D 41.6
答案A
分析：城镇人口：4% 0.6%
4.8%
农村人口：5.4% 0.8%
城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4
70*（3/7）=30
4．某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
A ．84 分
B . 85 分
C . 86 分
D . 87 分
答案：A
分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。

男生与女生的比例是1.8：1=9：5。

男生：Y 9
75
女生：X 5
根据十字相乘法原理可以知道
X=84
5．某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A ．3920 人
B ．4410 人
C ．4900人
D ．5490 人
答案：C
分析：去年毕业生一共7500人。

7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2% 8%
2%
研究生：10% 4%
本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=5000 5000*0.98=4900
6. 某市按以下规定收取燃气费：如果用气量60立方米，按每立方0.8元收费；如果用气量超过60立方米，则超过部分按每立方1.2元收费。

某用户8月份交的燃气费平均每立方米0.88元。

则该用户8月份的燃气费是（）
A 66元
B 56元
C 48元
D 61.6元
答案：A
解析：方法一：整除法
费用必须能被单价除尽（类似用电、用水也好，使用煤气也好，总使用量一般是整数，这是关键），已知单价0.88元，其中含有11这个因子，只有A满足。

方法二：十字相乘法
标准用气0.8 0.32
0.88
超标用气 1.2 0.08
标准用气：超标用气=0.32：0.08=4：1=60：15
所以8月份的燃气费=（60+15）*0.88=75*0.88=66
7. 资料分析：
2006年5月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2亿元，创今年历史第二高。

据统计，1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5％。

汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。

5月份，全市机动车类销售量为5.4万辆，同比增长23.9％。

据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3％。

据对限额以上批发零售贸易企业统计，5月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50％。

其中，家具类商品零售额同比增长27.3％，建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8％。

同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6％。

123．2006年5月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装潢材料类商品零售额的比例是：
A．27.4％B．29.9％C．32.2％D．34.6％
答案:A
解析: 方法一：比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X。

X*（1+27.3%）+（1-X）*（1+60.8%）=1+50%
X=32.2%。

[32.2%*（1+27.3%）]/ [32.2%*（1+27.3%）+（1-32.2%）*（1+60.8%0）]=27.4%
方法二：十字相乘法
家具27.3%，近似为27%；
建筑60.8%，近似为61%。

家具：27% 11%
50%
建筑：61% 23%
家具：建筑=11%：23% 大约等于1：2。

注意这是2006年4月份的比例。

建筑类2006年所占比例为：1*（1+27.3%）/[1*（1+27.3%）+2*（1+60.8%）=1.27/（1.27+3.2）=1.27/4.5=28%。

和A最接近。

二、浓度问题
（一）基本知识点：
1、溶液=溶质+溶剂；
2、浓度=溶质/溶液；
3、溶质=溶液*浓度；
4、溶液=溶质/浓度；
（二）例题与解析
1. 甲容器中有浓度为4％的盐水250 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。

现从乙中取出750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8％的盐水。

问乙容器中的盐水浓度约是多少？
A. 9.78％
B. 10.14％
C. 9.33％
D. 11.27％
答案：C
解析：
方法一：设浓度为ｘ
（250*4％＋750*ｘ）／（250＋750）＝8％
ｘ＝9.33％
方法二：设浓度为ｘ
甲： 4 X-8
8
乙：X 4
（X-8）：4=250：750=1：3
X=9.33%
2．一个容器内有若干克盐水。

往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多的水，溶液的浓度为2%，问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度是多少?
A．1.8% B．1.5% C．1% D．0.5%
答案：B
解析：设加入ｘ的水
3／（100＋ｘ）＝2／100
ｘ＝50
3／100＋50＋50＝1.5％
3. 现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。

若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的溶液的浓度为5%。

则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：
A、3% 6%
B、3% 4%
C、2% 6%
D、4% 6%
答案：C
解析：设甲的浓度为ｘ，乙的浓度为ｙ
1（2100x+700y）/2800=3%
2 (900x+2700y)/3600=6%
1÷2快速变形后得到：５（３ｘ＋ｙ）＝３（ｘ＋３ｙ）
ｙ＝３ｘ
4. 甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。

问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50％的酒精溶液140克？
A 甲100克，乙40克
B 甲90克，乙50克
C 甲110克，乙30克
D 甲70克，乙70克
答案：A
解析：甲浓度为40%,乙浓度为75％，
甲中取A，乙中取140-A
甲：40 25
50
乙：75 10
A：（140-A）=5：2
A=100
5. 从装有100克浓度为10％的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为：
A.7％
B.7.12％
C.7.22％
D.7.29％
答案：D
10%*（1-10%）^3=7.29%
6. 杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml，重复以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml 溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?( )
A 9%
B 7.5%
C 4.5%
D 3.6%
答案：C
18%*（100/100+100）^2=4.5%
注：多次混合问题核心公式：
1、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作先倒出N克盐水，再倒入N克清水。

Cn=Co（1-N/M）^n[Cn为新浓度，Co为原浓度]
2、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作先倒入N克清水，再倒出N克盐水。

Cn=Co（M/（M+N））^n[Cn为新浓度，Co为原浓度]
三、练习
1.某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超标部分按照基本价格的80%收费。

某用户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月标准用电为（）度。

A 60
B 65
C 70
D 75
2.某车间进行考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？（）
A 68
B 70
C 75
D 78
3.一只猫每天吃由食品A和食品B搅拌成的食物300g，食品A的蛋白质含量为10%，食品B的蛋白质含量为15%，如果该猫每天需要38g蛋白质，问十五中食品A的比重是百分之几？
A 47%
B 40%
C 1/3
D 50%
4. 一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。

现在将该试验田的1/3中上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前产量的1.5倍。

如果普通水稻的产量不变，则超级水稻和普通水稻的平均产量之比是多少？（）
A 5：2
B 4：3
C 3：1
D 2：1
5.甲容器中有浓度为4％的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2％的盐水。

问乙容器中盐水的浓度是多少?（）
A. 9.6％
B. 9.8％
C. 9.9％
D. 10％
6.甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。

现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相通，现在两杯溶液的浓度是（）
A 20%
B 20.6%
C 21.2%
D 21.4%
7. 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3：1.另一个瓶子中酒精与水的体积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精与水的体积之比是多少？（）
A 31：9
B 7：2
C 31：40
D 20：11
8. 从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水，然后倒入清水把杯子装满，这样反复3次后，杯中盐水的浓度是（）
A 17.28%
B 28.8%
C 11.52%
D 48%
答案：A C A A A B（提示：相当于直接将甲、乙混合）A A。