高二上学期数学竞赛.doc
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。
以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。
1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。
解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。
由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。
2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。
解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。
sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。
3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。
给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。
解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。
当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。
4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。
解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。
5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。
高二数学竞赛拔高试题
高二数学竞赛拔高试题（一）时间:120 分钟满分:150 分一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分)命卷人:郝庆全审核人:张付涛7、在中，角所对的边分别为的面积的最大值为 ，则此时的形状为 ( )A.锐角三角形B.直角三角形，若 C.等腰三角形，且 D.正三角形1、已知函数是奇函数，当时，有；且当时， 的值域是，则 8、已知 是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的值是( )的概率是()A.B.C.D.1A.B.C.D.2、已知函数，定义函数数 是奇函数；③当 () A.②时，若 B.①③，总有 C.②③给出下列命题：①；②函成立．其中所有正确命题的序号是9、一条螺旋线是用以下方法画成： 为半径画的弧，曲线圈，则所得螺旋线D.①②是边长为 1 的正三角形，曲线 称为螺旋线，然后又以 为圆心， 的总长度 为（ ）分别以为圆心，为半径画弧…，这样画到第3、已知函数的定义域为实数集 ，满足( 是 的非空真子集)，在 上有两个非空真子集 ， ，且，则的值域为( )A.B.C.D.4、如图，在一根长，外圆周长 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成 10 个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）A.B.C.D.5、将 6 根等长的细铁棒焊成正四面体形的框架，铁棒的焊接和粗细误差不计．设此框架容得下的最大球体的半径为 ，能包容下此正四面体的最小球体的半径为 ，则 的值为( )A. 10、在A.B.C.中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，满足:．若的面积为，则B.C.D.值为( ) D.11、已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆方程为( )，且 相切,则双曲线的A.B.C.D.6、某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是 的五等分点，则转播台应建在( ）A.B.C.D.12、已知双曲线的离心率,圆 的圆心是抛物线近线所得的弦长为 ,则圆 的方程为( )A.B.的焦点,且截双曲线 的渐A. 处B. 处C. 处D. 处C.D.二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分)13、已知双曲线的方程为,点 , 是其左右焦点, 是圆上,则 14、函数 __________.的最小值是__________. ，当时，不等式上的一点,点 在双曲线的右支 恒成立，则整数 的最大值为19、已知椭圆,其离心率为 ,且短轴长为 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)已知 为椭圆的右顶点, 为椭圆的左顶点, 为直线上异于 的一动点,直线 交椭圆 于 ,记直线 , 的斜率分别为 , .①证明:为定值;②过 且与 垂直的直线交于椭圆 于 , 两点,求面积的最大值.15、设，函数，，若对任意的，存在，成立，则实数 的取值范围是__________.16、设正数 满足，则的最大值为__________．三、解答题(第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 6 小题 70 分)17、已知函数 是定义在 上的奇函数，且当时有(1)判断函数 的单调性，并求使不等式(2)若分别是的三个内角所对的边，值；． 面积成立的实数 的取值范围． ,求 的20、设函数 （1）求函数 （2）当 （3）若方程21、设函数 （1）求 ； （2）若存在的单调区间； 时，是否存在整数 ，使不等式恒成立；在 上恰有两个相异实根，试求实数 的取值范围.，使得且. 曲线在点处的切线的斜率为 .，求 的取值范围.18、已知点,是函数且角 的终边经过点,若时,（1）求函数 的解析式；的最小值为 ．22、已知函数,图象上的任意两点,(1)当时,求函数的最大值;(2)若,且对任意的,（2）若方程在内有两个不同的解,求实数 的取值范围．. 恒成立,求实数 的取值范围.。
高中数学竞赛试卷及解答
高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
高二阶段性竞赛数学试题
阶 段 性 竞 赛数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下面给出的四个点中,位于210,30.x y x y +->⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内的点是 A ．()4,1- B ．()2,2 C ．()0,4 D ．()2,1--2. 下列四个不等式中，解集为∅的是A ．210x x -++≤B ．04322<+-x xC ．23100x x ++>D ．2430x x --+>3. 在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为A. 3B. 9C. 27D. 814. 已知234,a b +=则48a b +的最小值为A. 2B. 4C. 8D. 16 5. 设()2,0,2,0.x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩ ，则不等式2)(x x f <的解集是 A. R B. ]0,(),2(-∞⋃+∞ C. )2,0[ D. )0,(-∞6. 若110,a b <<则下列不等式:①a b ab +<;②a b >;③a b <;④2b a a b+>中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④7. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 西偏北60 ，灯塔B 在观察站C 北偏东60 ，则两灯塔A 、B 间的距离为A. B. 米C. 米D.8. 在等差数列{}n a 中, 11a =,n S 为其前n 项和.若191761917S S -=,则10S 的值等于 A. 246 B. 258 C. 270 D. 2809. 在等比数列{}n a 中,对任意的n N *∈,1221n n a a a +++=- ,则22212na a a +++ 为 A. ()1413n - B. ()1213n - C. ()221n - D. 41n -10. 若变量,x y 满足240,250,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是A. 90B. 80C. 70D. 4011. 若不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,则不等式1b x a<的解集为 A. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 12. 如果数列{}n a 满足11a =,当n 为奇数时,12n n a a +=;当n 为偶数时,12n n a a +=+,则下列结论成立的是A. 该数列的奇数项成等比数列,偶数项成等差数列B. 该数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列C. 该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D ．该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在横线上.13. 一元二次不等式2230kx kx +-<对一切实数x 成立，则k 的取值范围是 .14. 在ABC ∆中,4,2,a b a c b -=+=最大角为120 ,则最大边的长度为 .15. 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/ml.那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时).16. 在下列函数中: ①1222++=x x y ；②24-+=x x y ；③24-+=x x y ； ④|1|xx y +=；⑤2log log 2,x y x =+其中0x >且1x ≠；⑥x x y -+=33.其中最小值为2的函数是 （填入序号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解关于x 的不等式:022<-+-a a x x .18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知45,a b B == 求,A C c 和.19.（本小题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,对于任意的(),m n N m n *∈≠,都有222m n m n S S S ++<,若632S S <,求1a d的取值范围. 20.（本小题满分12分） 已知公差大于零的等差数列{}n a ，前n 项和为n S .且满足34117,a a ⋅=2522a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若,12nn S b n =-求()()()136n n b f n n N n b *+=∈+的最大值. 21.（本小题满分12分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m 2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m 2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m 2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m 2的损失为250元.现在共派去x 名工人,抢修完成共用n 天. （Ⅰ）写出n 关于x 的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).22.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121,n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项均为正数,其前n 项和为n T ,且315,T =又1122,,a b a b ++ 33a b +成等比数列,求n T ;（III ）求数列{}n n a b 的前n 项和n P .。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，下列关于f(x)的描述正确的是：A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)的图像关于x=1对称D. f(x)的图像关于y轴对称答案：C2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5的值：A. 31B. 63C. 127D. 255答案：C3. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的零点个数：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，求向量a与向量b的夹角θ：B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：D6. 若直线l：y = 2x + 3与圆C：x^2 + y^2 = 9相交于点A和点B，求|AB|的长度：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A7. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点为F，点P(1, 2)在抛物线上，求点P到焦点F的距离：A. 1C. 3D. 4答案：C8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A9. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2 = 2，求数列的公差d：A. 0B. 1C. 2答案：B10. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值：A. √2B. √2/2C. 1D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的表达式：__________。
答案：3x^2 - 6x + 212. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an - 2，求a3的值：__________。
高二数学竞赛试卷
高二数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，AB∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠PAB ＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A ．双曲线的一支B ．抛物线的一部分C ．圆 D．椭圆 2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A ．中至少有两个偶数B ．中至少有两个偶数或都是奇数 C ．都是奇数 D ．都是偶数3.曲线C 1:，曲线C 2：，EF 是曲线C 1的任意一条直径，P 是曲线C 2上任一点，则·的最小值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．84.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( ) ABC D5.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是有一个角为的菱形，AA 1 = AB ，从顶点中取出三个能构成不同直角三角形的个数有（ ）个A ．48B ．40C ．24D ．166.若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．7.奇函数上的解析式是的函数解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．9.椭圆的焦点坐标是（ ）． A ．B ．C ．D ．10.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．都是奇数 B ．都是偶数 C ．中至少有两个偶数D ．中至少有两个偶数或都是奇数11.已知(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，则a 8＝( ) A ．180 B ．90 C ．－5 D ．5 12.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 13.若点在平面内，且满足(点为空间任意一点),则抛物线的准线方程是（ ） A ．B ．C ．D ．14.运行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值为（ ）A ．49B ．25C ．13D ．7 15.已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的最小值是（ ）A ．3B ．C ．2D ．16.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．17.已知两圆的圆心距=" 3" ，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含18.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若②若直线与平面所成的角相等，则//；③存在异面直线，使得//，// ，//，则//；④若，则；其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．419.设点P 是直线L 外一点，过P 与直线L 成600角的直线有（ ） A ．一条 B ．两条 C ．无数条 D ．以上都不对20.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是 A ．9 B ．16 C ． D ．二、填空题21.在极坐标系下，点到直线的距离为 ．22.在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________. 23.中，角的对边分别为,下列四个论断正确的是__________．（把你认为正确论断的序号都写上）①若，则；②若，,,则满足条件的三角形共有两个；③若成等差数列，成等比数列，则为正三角形；④若，,的面积，则.24.某市有一个玉米种植基地．该基地的技术员通过种植实验发现，一种品质优良的玉米种子每粒发芽的概率都为0．95，现在该种植基地播种了10000粒这种玉米种子，对于没有发芽的种子，每粒需再播种1粒，补种的种子数记为，则的数学期望 ．25.已知x 和y 满足约束条件则的取值范围为 。
高中数学竞赛试题
34.一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块，然后按下列规则调整，所有的小孩同时把自己的糖分一半，给右边的小孩，糖的块数变奇数的人，向老师补要一块。证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了。
19.当a,b,c为实数的时候，求证方程：x2-(a+b)x+(ab-c2)=0有两个实数根，并救出这两个根相等的条件。
20.已知正数a1, a2, a3…,an成等差数列，求证：
21.设A+B+C=180 ,求证：
22.自圆O外一点P向圆O作切线PA，切点为，再由PA的中点M作圆O的割线和圆O交于B、C两点，PB、PC分别交圆O于D点和E点，求证：DE//PA。
13.在一个边长为1的正六边形内部有一点P，已知P到某两个顶点的距离分别是 ，求P到其余四个顶点的距离。
14.已知：a是正整数，r= ，求证：对于每个正整数n，必有一个正整数an满足
r2n+r-2n=4an+2及rn=
15.设p(x)= ，式中各系数 (j=0,1,…,k)都是整数。今设有四个不同整数 ，使p( )(i=1,2,3,4)都等于2.试证明：对于任何整数x, p(x)决不等于1，3，5，7，9中的任何一个。
53.有一群儿童，他们的年龄之和是50岁，其中最大的13岁，有一个是10岁；除去10岁的这个儿童之外，其余儿童的年龄恰好组成一个等差级数。问有几个儿童？每个儿童几岁？
54.证明 ，这里的两个三次根都取实值。
高二数学竞赛试卷
高二数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知长方体中，，E 、F 分别为和AD 的中点，则异面直线、EF 所成的角为（ ） A ． B ．C ．D ．2.曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3.设则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4.点（2，1）到直线3x ﹣4y+2=0的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．5.已知是实数，则“且”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.曲线与坐标周围成的面积（ ）A ． 4B ． 2C ．3D ．7.复数z 满足·（1+2i ）=4+3i ，则z 等于 （ ） A ．B ．C ．1+2iD ．8.双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．9.下列四个命题中，为真命题的是（）①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④10.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11.设，若，则（）A． B． C． D．12.各项均为正数的等比数列的前项和为,若, 则（）A． B． C． D．13.不等式的解集是（）A．B．C．D．14.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，则（）A． B． C． D．15.下列说法错误的是( )A．“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．若命题p：存在，则命题p的否定：对任意D．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题16.等差数列{an }的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是()A．5 B．6 C．5或6 D．6或717.若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．18.已知圆，圆上到直线距离为1的点有（）个A．4 B．3 C．2 D．119.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若Ｍ∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝，，则a+b＝（）A．—7 B．－1 C．1 D．720.（本小题满分12分）NBA总决赛采用“7场4胜制”，由于NBA有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等。
高二竞赛讲义 多项式的运算与整除1doc
高二数学竞赛班二试讲义第1讲 多项式的运算与整除班级 姓名一、知识点金 1．设n 是非负整数，表达式1110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中i a F ∈（F 可以是复数集C ，实数集R ，有理数集Q ，整数集Z ），称作系数为F 的一元多项式。
这样的一元多项式的集合记作[]F x 。
i a 为i 次项的系数，若0i a ≠，则n n a x 为多项式的首项，n a 为首项系数，n 为多项式的次数，记作deg ()deg n f x f ==。
若()f x 与()g x 中同次项的系数相等，则()()f x g x =。
2．[]F x 中的多项式可作加、减、乘运算。
设0()n i i i f x a x ==∑，0()miii g x b x ==∑，则 0111100()(),m n i i i r s i i i i i r s i f x g x c x c a b a b a b a b a b +--=+====++⋅⋅⋅++∑∑3．带余除法：设(),()[]f x g x F x ∈，且()0g x ≠，则存在[]F x 中多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+，其中()r x 或者为零，或者deg deg r g <；并且商式()q x 和余式()r x 由这些条件唯一确定。
4．仿照数论中的带余除法可求得(),()[]f x g x F x ∈的最大公因式()d x ，记作()((),())d x f x g x =。
存在(),()[]x x F x αβ∈，使得()()()()()f x x g x x d x αβ+=5．当((),())1f x g x =时，则称()f x 与()g x 互素。
裴蜀等式：若()f x 与()g x 互素，则存在(),()x x αβ，使得()()()()1f x x g x x αβ+=。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
高中数学竞赛题
1、在一组数据中，平均数为15，中位数为14，众数为13。
如果将每个数据点增加2，新的平均数、中位数和众数分别是多少？A. 17, 16, 15B. 17, 15, 14C. 17, 16, 15（答案）D. 17, 15, 132、一个矩形的长是宽的2倍，如果矩形的周长是36厘米，那么矩形的长是多少厘米？A. 6厘米B. 9厘米C. 12厘米（答案）D. 18厘米3、一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的面积是多少平方厘米？A. 25√3平方厘米B. 50√3平方厘米（答案）C. 75√3平方厘米D. 100√3平方厘米4、一个正方体的边长是5厘米，那么这个正方体的对角线长度是多少厘米？A. 5√3厘米（答案）B. 10√3厘米C. 15√3厘米D. 20√3厘米5、一个圆的直径是10厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25π平方厘米（答案）B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米6、一个梯形的上底长4厘米，下底长8厘米，高是3厘米，那么这个梯形的面积是多少平方厘米？A. 6平方厘米B. 12平方厘米（答案）C. 18平方厘米D. 24平方厘米7、一个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是3厘米，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 12立方厘米B. 24立方厘米C. 36立方厘米D. 72立方厘米（答案）8、一个等腰三角形的底边长是12厘米，两腰各长10厘米，那么这个等腰三角形的高是多少厘米？A. 6厘米B. 8厘米（答案）C. 10厘米D. 12厘米。
高中数学竞赛试卷课标试题
2021年高中数学竞赛试卷〔7月2日上午8：30－11：30〕〔注意：题号后凡标有“高一〞的，为高一学生解答题；凡标有“高二〞的，为高二学生解答题：凡未作以上标志的，那么为高一、高二学生一共同解答题〕 一、 选择题〔每一小题6分,一共36分〕1、〔i 〕〔高一〕设集合22{8}, {29}A a a N B b b N =+∈=+∈, 假设AB P =，那么P 中元素个数为〔 〕A 、0B 、1C 、2D 、至少3个〔ii 〕〔高二〕三个互不重合的平面，能把空间分成n 局部，那么n 的所有可能 的值是〔 〕A 、4，6，8 ；B 、4，6，7 ；C 、4，5，7，8 ；D 、4，6，7，8 2、〔i 〕〔高一〕假设三角形的三条高线长分别为12，15，20，那么此三角形的形状 为〔 〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、形状不确定 〔ii 〕〔高二〕抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y ＝12上，那么抛物线方程为〔 〕A 、212y x =- B 、212y x = C 、216y x =- D 、216y x = 3、(i)〔高一〕设xx＝x f -+11)(，记()()1f x f x =，假设，x f f x f n n ))(()(1=+ 那么＝x f )(2006〔 〕A 、xB 、-x 1 C 、x x -+11 D 、11+-x x(ii)〔高二〕四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形(,,,A B C D 按反时针方向排列)，侧棱PB 垂直于底面，且PB ＝3，记APD θ∠=，那么sin θ＝〔 〕A 、22 B 、33 C 、55 D 、664、假设sin tan a θθ=+，cos cot b θθ=+，那么以下诸式中错误的选项是〔 〕A 、sin θ=11+-b ab B 、cos θ=11+-a abC 、tan cot θθ+=)1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a ， D 、tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5、20061003的末位数字是〔 〕A 、1B 、3C 、7D 、9 6、设,,a b c R +∈，且108ab bc ca ++=，那么bcaa bc c ab ++的最小值是〔 〕 A 、6 B 、12 C 、18 D 、36 二、填空题〔每一小题9分，一共54分〕7、(i)(高一)设M ＝{1,2,…，100}，A 是M 的子集，且A 中至少含有一个立方数，那么这种子集A 的个数是＿＿＿＿＿＿.(ii)〔高二〕甲、乙两人进展乒乓球单打决赛，采用五局三胜制〔即先胜三局者获冠HY 〕，对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，那么爆出冷门〔乙获冠HY 〕的概率为＿＿＿＿＿.8、(i)〔高一〕等腰直角三角形的直角顶点A 对应的向量为()1,0A ，重心G 对应的向量为()2,0G ，那么三角形另二个顶点B 、C 对应的向量为＿＿＿＿＿＿＿。
高二数学竞赛试题及答案(精品)
高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟 满分150分 命题人：张付涛 审题人：郝庆全 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是 （ ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （ ）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 （ ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。
则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线 分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设 ， 是双曲线 ：（ ， ）的左、右焦点， 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ）. （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 ．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列 的各项均为正数，且. （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式； （2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为 的直线 与椭圆 ：交于 ， 两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
浙江省磐安县第二中学2019_2020学年高二数学10月竞赛试题201912230286
浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．4CD ．32．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ）A ．平行+B ．相交C ．平行或相交D ．垂直3．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．34．正方体中，直线与所成的角为（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．40+B ．72C ．40+D ．327．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面α平面1BC E .若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．38．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D 9．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形10．如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球B ．一个球中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱第II 卷（非选择题)二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）16．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．17．已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．三、解答题18．求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝EF与平面ABC所成的角．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．21．如图，多面题P ABCD（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求P ABCD V -.22．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .（Ⅱ）若120ABC ∠=, AE EC ⊥, 2AB =,求点G 到平面AED 的距离.2019-2020学年度磐安二中学校10月月考卷高二数学考试时间：120分钟；命题人：潘建华一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由椎体公式得到结果.【详解】由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面ABD ⊥平面BCD ，1AO =，三棱锥A BCD -的体积为(2113⨯=故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 2．已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．3．已知点A，B O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则A．MN长度的最小值是2 B．MNC．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π【答案】B【解析】【分析】由过AB作相互垂直的平面α，β,确定BA、BC、DB两两互相垂直，M，N分别是AC，AD的中点，求出CD，即可得结论．【详解】如图所示，因为过AB作相互垂直的平面α、β，则面ABC⊥面ABD,由面面垂直的性质定理，得AB⊥面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,得BD⊥BC，所以BA、BC、DB两两互相垂直，所以BC2+BD2+2AB＝(2，因为AB=4,∴CD2＝BC2+BD2=8，所以∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN故选：B．【点睛】本题考查了球的内接几何体和面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．12πB．16πC．20πD．24π【答案】A【解析】【分析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆,∴R2=r2+1，即,∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【解析】【分析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到α与β的位置关系，得到答案．【详解】α平面β；由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面β的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组（）A．由两个圆台组合成的B．由两个圆锥组合成的C．由一个圆锥和一个圆台组合成的D．由两个棱台组合成的【答案】B【解析】【分析】将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥，故选B.【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.7．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】【分析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.【详解】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.8．已知两条不同直线m、n和两个不同平面α﹑β，下列叙述正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α【答案】D【解析】【分析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确，C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确，D 选项中，如下图所示设=b αβ⋂，,a b a β⊥∴⊥，又m β⊥，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得m a ∥，又a α⊂，m α∴∥选D【点睛】考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用线线平行、线面平行以及面面平行的定义来判断选项即可【详解】在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l 与α平行或相交，故②错误；在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//αβ，b β⊂，//b α， 则由面面平行的判定定理得//αβ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查线线平行、线面平行、面面平行的定义，属于基础题10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ==AD 1AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6π B.4π C.3π D.3π或23π 【答案】C【解析】【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC 1，CD //AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan BC C AB AB∠=，故选C ． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________. 【答案】12【解析】【分析】利用平面11ABB A ⊥平面11A BCD 得到 B 1O ⊥平面11A BCD ，进而作出直线与平面所成角，易解．【详解】如图，平面11ABB A ⊥平面11A BCD ，又B 1O ⊥1A B ，∴B 1O ⊥平面11A BCD ，∴∠B 1D 1O 即为所求角，sin∠B 1D 1O 12=， 故答案为：12． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______. 【答案】2a π 【解析】【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积.【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为l =，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r ==积为242aS r ππ==， 故答案：2aπ.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF【解析】【分析】由E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，利用线面平行的判定定理，得到EF 平面BCHG ，再由四边形1A EBG 是平行四边形，得到1A E GB ∥，证得1A E ∥平面BCHG ，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面1A EF ∥平面BCHG .【详解】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ，因为1A EEF E =，所以平面1A EF ∥平面BCHG . 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.【答案】平面ACD ，平面BCD .【解析】【分析】过A 作AE CD ⊥，得到AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又由222AE BE AB +=，得到90AEB ∠=，即可求解.【详解】由题意，过A 作AE CD ⊥，交CD 于点E ，因为1,AD AC CD ===90DAC =∠，由E 为CD 的中点，所以AE =连接BE ，因为1,BD BC CD ===BE CD ⊥，且2BE =， 所以AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又1AB =，所以222AE BE AB +=，所以90AEB ∠=，∴平面ACD ⊥平面BCD .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法，45x oy ∠=''︒，直接判断ABC ∆的形状。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的最小值是-1B. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点C. 函数f(x)的对称轴是x=2D. 函数f(x)在区间(-∞, 2)上单调递减答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1 = 1，a_2 = 4，下列说法正确的是（）A. 公差d = 3B. S_3 = 15C. 第三项a_3 = 7D. 所有项的和S_n = n^2答案：A3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，点P(1, 2)到圆心的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，x ∈ [0, 1]，下列说法正确的是（）A. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递增B. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递减C. 函数g(x)在区间[0, 1]上先增后减D. 函数g(x)在区间[0, 1]上先减后增答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。
答案：3x^2 - 6x2. 已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1 = 2，公比q = 3，求T_3 = _______。
答案：343. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与该直线垂直的直线方程为_______。
答案：y = -1/2x + b（其中b为任意常数）4. 已知复数z = 1 + i，求z^2 = _______。
答案：2i三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的单调区间。
答案：函数f(x)的单调递增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)，单调递减区间为(1, 3)。
2. 已知圆心在(0, 0)，半径为r的圆与直线y = x + 1相切，求圆的半径r。
高二上学期知识竞赛考试数学试题
高二上学期数学竞赛试卷数学试卷 第一卷（40分）一．选择题（共8小题，每小题5分）1.若向量()1,2,4a x =--与向量()1,2,2b x =+互相垂直，则x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42.已知M 为圆22(1)2x y -+=上一动点，则点M 到直线30x y -+=的距离的最大值是（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．423.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为PD 的中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE 为（ ） A ．111222a b c -+B ．131222a b c -+C ．111222a b c --D ．113222a b c -+4.已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上关于原点对称的两点为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ） A.14B.12C.32D.1545.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x=，且与椭圆221202x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．221126x y -=C ．221612x y -=D ．221108x y -=6.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） A ．12 B ．32C ．22D ．247.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4=AF ，则线段AB 的长为（ ） A ． 5 B.6 C ． 320 D ． 3168.设21,F F 分别是双曲线C ：15422=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且021=•PF PF ，则=+21PF PF （ ）A ． 4B ． 6C ． 142D ． 74第二卷（80分）二、填空题：（共6小题，每小题5分）9.两平行直线1:3450l x y ++=与2:60l x by c ++=间的距离为3，则b c +=___________.10.已知双曲线两渐近线方程为20x y ±=，焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的标准方程 .11.若直线l 的一方向向量与平面α的一个法向量的夹角为3π，则直线l 与平面α所成的角为_________．12.已知椭圆221164x y +=的左、右两焦点21,F F ，A 为椭圆上一点，11()2OB OA OF =+，21()2OC OA OF =+，则OCOB += .13.已知抛物线2:4C x y =-的焦点为F ，抛物线C 上一点A 满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆截x 轴所得弦长为___________．14.若实数,(2)x y x ≠满足222210x y x y +--+=，则42y x --的取值范围为________.三、解答题：（共5小题，每小题10分） 15.已知直线()()1:212430l m x m y m ++-+-=． （1）求证：无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点M ；（2）若直线2l 过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线2l 的方程．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，2PA AD ==，1AC =．(1)证明：PC AD ⊥；(2)求平面PAC 与平面PCD 夹角的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．17.已知抛物线C ：24y x =，直线l 过抛物线焦点F ，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点M 的纵坐标为1.（1）求直线l 的方程；（2）求OAB ∆（O 为坐标原点）的面积OAB S ∆.18.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点()4,10-，点()3,M m 在双曲线上.（1）求双曲线的方程； （2）求证：1MF ·2MF ＝0；19.本题满分12分）已知点A(-1,0)，F(1,0)，动点P 满足FPAF AP 2=•．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(,0)m ，且斜率为1的直线被曲线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆上，求m的值．。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题含答案2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )A．x 9x 12 2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①3.方程x2 x 1 x x22B．x 9x 122C．x 9x 12 D．x 9x 1222sinxcosx2)上为单调增函数的是( )B．②1C．①和③ D．②和④(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于( ) A．0B．12C．22D．44.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为( ) A．9B．12D．186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于( ) A．807.已知曲线C：y A．( 1,2)B．40C．24D．-48x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是( ) B．( 2,2 1)C．[0,2 1)D．(0,2 1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为( ) A．Smax的Smin2B．6 2C．2 3263高中数学竞赛试题含答案9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyzB．yzx7，则x、y、z的大小关系为( )C．zxyD．zyx10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．1 18B．1 9C．1 6D．13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆169|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.12.已知△ABC中，, ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}34，则35B {x|f[f(x)] x}.(1). 求证：A B2(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？高中数学竞赛试题含答案17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有an 1 11an18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .求证：23arcsin3参考答案一、选择题：ADCBC CCCBA 二、填空题：三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而A B. 解(2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.2由A≠φ，知a=0 或a 0 1即a4 1 4a 0342222B中元素是方程a(ax 1) 1 x 即ax 2ax x a 1 0的实根由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为2高中数学竞赛试题含答案(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0因此，要A=B，即要方程ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得a222223 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax ax a，代入①有2ax+1=0.11131 0,由此解得a . ,再代入②得2a4a2a413故a的取值范围是[ ,]44897616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且__-__6897 ① __-__由此解得x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y 9 令μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77max因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令a0 1,则有ak 1 ak ak 1，且1naka于是n k 1k 1ak 1k 1ak 1nakak 1(k 1,2, ) ak 1ak 1由算术-几何平均值不等式，可得1 aa1a2aaan+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1注意到a0 a1 1，可知高中数学竞赛试题含答案11n 11nan 1，即n 1 11an18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18因为cosC 12|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又|CA| |CB| (2a__-__) a2，所以cosC 1 2，由题意得1 2 ,a 25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).x2y21(y 0) 所以C点的轨迹方程为2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为1k__k2)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得(__-__150k2225k2 400,x1x2 显然有△≥0，所以x1 x2 2216 25k16 25k而由椭圆第二定义可得339|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x25525144450k81k __k __ 25 25 25__ 25k216 25k216 25k2k225222k2__-____-__取最小值，显然. 只要考虑的最小值，即考虑1 1616k2 k22525k2当k=0时，|| ||取最小值16.当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得|BM| || (342) 16 5x2y21(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但2516集.高中数学竞赛试题含答案19.证明：由题意可得sin2 sin2 sin2 1，且α、β、(0, 所以sin 1 sin sin2222)1(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2222因为cos( ) cos( )，所以sin cos( ) sin[当当2( )]2时，时，2.22( )，同样有2故2另一方面，不妨设，则sin3,sin33令sin 1 则sin23,sin 1 1 ()2 sin2 ，331 sin2 sin2 1 1sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)因为1 1 ，所以cos( 1 1) cos( ) 所以cos( ) cos( 1 1) 所以1 1如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin。
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高二上学期数学竞赛
一、选择题（每小题6分,满分30分）
2. 设a , b ∈R , ab ≠0，那么，直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2=ab 的图形是
(A) (B) (C) (D)
2. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为
（ ）
A ．
2
1
B ．
22 C ．
2
3 D ．13- 3. 当2
1
0<<k 时，方程kx x =-1的解的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4. 若x ∈[-125π,-3π]，则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6
π)的最大值是
(A)
2512 (B)2611 (C)36
11 (D)3512
5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(
+∞∈+
+=λλ则P 的轨迹一定通过△ABC 的
（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
二.填空题(每小题8分,满分40分)
6. 不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________
7. 设F 1,F 2是椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则△PF 1F 2
的面积等于. __________
8. 已知A ={x |x 2-4x +3＜0,x ∈R }, B ={x |x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }．若A ⊆B , 则实数a 的取值范围
是____________.
9. 若方程2a ·9sinx +4a ·3sinx +a – 8=0有解，则a 的取值范围是________.
10. 已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =244
x -+2
99y -的最小值是________.
三.解答题(满分50分)
1. （本题满分10分）有三个城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今
计划合建一个中心院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？
2. （本题满分10分）已知a,b,c ∈R ，函数f(x)= ax 2
+bx+c. （1）若a+c=0，f(x)在[-1,1]上的最大值为2，最小值为25-
，证明：a ≠0且|a
b
|<2； （2）若a>0，p 、q 满足p+q=1，且对任意的实数x 、y 均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，
证明：0≤p ≤1.
3. （本题满分15分） 已知直线l 与圆022
2
=++x y x 相切于点T ，且与双曲线
122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.
4．（本题满分15分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；
若不存在，说明理由.
高二数学竞赛答案
1—5 BDDCB 。
6.（-3， 251-）U （2
1
5- ， 3）. 7. 4. 8. [-4, ∞ 9.[ 8/31, 72/23 ] 10. 12/5
11.本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解
决问题的能力.满分10分.
解：由题设可知，,0>>b a 记,22b a h -=设P 的坐标为（0，y ），则P 至
三镇距离的平方和为.23
2)3
(3)()(2)(222222b h h
y y h y b y f ++-=-++= 所以，当3
h
y =
时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).3
1,
0(22
b a - 12. 分析：（1）用反证法。
假设a=0或|a
b |≥2，由a+c=0，得a=-
c ，故f(x)= ax 2
+bx- a.
当a=0时，f(x)= bx ，是一个单调函数，其最大值为|b|，最小值为-|b|，又已知得：
|b|=2且-|b|=2
5
-
，矛盾，故a ≠0。
当|a
b
|≥2时，|-a b 2|≥1，函数f(x)在[-1,1]上也是单调函数，由上可知矛盾，故|
a
b
|<2。
综合以上两种情况，得a ≠0且|
a
b
|<2； (2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax 2
+bx+c)+q(ay 2
+by+c)-[a(px+qy)2
+b(px+qy)+c]
=ap(1-p)2x 2
-2apqxy+aq(1-q)y 2
=apq(x-y)2
≥0,因为a>0,(x-y)2
≥0，所以pq ≥0,p(1-p)≥0，故0≤p ≤1.
13. 直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得
012)1(222=-++-a kay y k ……………………2分 而012≠-k ，于是
122--=+=
k ak
y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(2
2k
a k ak T --……6分 点T 在圆上 012)1()1(2
2222=-+-+-∴k
a
k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122
+=a k
当0=k 时，由①得 l a ∴-=,
2的方程为 2-=x ；
当122
+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方
程为2-=x 或 13+±=y x …………………………15分
14.本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程
判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。
解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使
得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i=(1,0),c=(0,a ), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+ 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 λy=ax 和y －a =－2λax . 消去参数λ，得点P （x ,y ）的坐标满足方程y (y －a )=－2a 2x 2 ,
整理得,1)2
()2(812
2
2
=-+a
a y x ① 因为a >0，所以得： （i ）当a =
2
2
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0<a <
2
2
时，方程①表示椭圆，焦点E )2,2121(
2a a -和 )2
,2121(2a
a F --
为合乎题意的两个定点； （iii ）当a >
2
2时，方程①表示椭圆，焦点E ())2121,0(2-+a a 和F (2121,0(2
--a a ））
为合乎题意的两个定点.。