初中数学竞赛辅导资料(41)

初中数学竞赛辅导资料（41）

　线段的比、积、幂

甲内容提要

一．有关线段的比、积、幂的主要定理

1. 比例的基本性质：　合比，等比定理（略）

2. 平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论

DE∥BC

推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例

a∥b

3. 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方

4. 直角三角形中成比例线段定理（射影定理）

5. 三角形内（外）角平分线性质

在△ABC中

∠1＝∠2

6. 圆中成比例线段定理（即圆幂定理）

若ABCD四点共圆，

AB、CD交于P，

则PA×PB＝PC×PD

＝PT2

（PT切圆于T）

7. 三角形、平行四边形面积公式（略）

8.正弦定理：在△ABC中，

二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。

乙例题

例过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边

1．BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GEGF 证明：设DC，AB的延长线相交于H，

　∵FG∥DH，

从过点B的线束被平行线截得

从过点A的线束被平行线截得

∴ 即GO2＝GEGF

例2.已知：CD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线AE交CD于F

求证：CE2＝DF×BE

分析：要CE2＝DF×BE成立，应证

可证CE＝CF（等角对等边），即证

根据角平分线性质可得

，

只要AC2＝ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理

证明　（略）

例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数　求：△ABC的各边长

解：设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1

延长CA到D使AD=AB，连结BD，BA

则∠D＝∠1

∵∠BAC＝∠1＋∠D＝2∠D，

∵∠BAC＝2∠C，　∴∠1＝∠D＝∠C

∴等腰△ABD∽等腰△BCD

，，解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6

( 本题也可作∠BAC的平分线AE，证明△EAB∽△ACB)

例4. 已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交⊙O 于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于点E

求证：CE＝CB

证明：过点P作两圆公切线PQ交AB于Q

由切线长定理，得QP＝QA＝QB

∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠

∴BC是⊙O的直径，BC⊥AB

根据射影定理，得BC2＝CP×CA

∵CE切⊙O1于E，

根据圆幂定理，得CE2＝CP×CA

∴CE＝CB

例5.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（ ）

（A）（B） (C)2 (D)3　（1991年全国初中数学联赛题）

解：设正方形OPQR的边长为x，

∵S2＝3，S3＝1　∴BP＝，QC＝，

∵OR∥BC，∴△AOR∽△ABC

∴　＝

即=　解得（x4－16）(x2+4)=0 ∴x=2　

本题也可以求出△ABC的高为＋x, 用面积公式列方程。

丙练习41

1. 线段a,b满足等式a2+ab-b2=0 则a ：b=＿＿＿＿

2. △ABC中D，E三等分BC，中线BF分别交AD，AE于M，N，那

么

BM∶MN∶NF＝＿＿＿

3. △ABC中，点D内分BC为1∶3，点E内分AD为1∶2，BE的延长

线交AC于F，则AF∶FC＝＿＿＿

4. 求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角

两边的乘积的比

5. 经过平行四边形ABCD顶点A画直线，分别交BD，BC及DC的延

长线于E，F，G。求证：EA2=EF EG

6. 在△ABC内任取一点G，分别延长AG，BG，CG交对边于D，

E，F求证：（西瓦定理）

7. 已知：AD是△ABC的中线，点M，N分别在边AB，AC上，AM

＝AN求证：

8. CD是Rt△ABC斜边上的高，O是CD的中点，AO延长线交AC于

E，

EF⊥AB于F，FE的延长线和AC的延长线相交于G，则EF2＝EC×EB

9. 已知：平行四边形ABCD中E，F分别在AB，AD上且EF∥BD，

CE，CF分别交BD于P，Q。求证：BP＝DQ

10. 已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F求

证：⑴BE＝BF　⑵CE＝2FO

11. 已知：△ABC中，D，E分别在边了BC，AB上，∠B＝∠CAD＝

∠ADE如果△ABC，△EBD，△ADC的周长为m,m1,m2求证：

12. 如图已知：点B在⊙A上，⊙A和⊙B相交于

C，D，⊙A的直径CE交⊙B于F

　求证：2CB2＝CE×CF

13. 选择题

1 △ABC中，AD是高，且AD2＝BD×DC，

那么∠BAC的度数是（ ）

（A）小于90，（B）大于90，（C）等于90，（D）不能

确定

（1990年全国初中数学联赛题）

②直角梯形ABCD中，垂腰AB＝7，两底AD＝2，BC＝3，如果AB

一点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么适合条件的点P有几个？（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（1988年全国初中数学联赛题）

3 已知PA切△ABC的外接圆于A，PA＝6，BC＝5，

则AC∶AC＝（ ）

（A）2∶3　（B）6∶5　（C）4∶5 (D)3∶2

（1996年福建省达标中学中考题）

例14.如图ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M

引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，DA

连结PR和MQ相交于N

求证：

（1983年福建省初中数学联赛题）

15.如图△PQR和△P1Q1R1是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分记为AB＝a1,,BC＝b1,CD＝a2,DE＝b2,EF＝a3,FA＝b3

　求证：a12+a22+a32=b12+b22+b32

（1988年全国初中数学联赛题）