弹塑性理论

砌体材料的应力-应变关系分析摘要：应力应变关系对于结构分析及设计是至关重要的 ,而且缘于砌体材料力学性质的复杂性 ,找到合理的力学模型描述其宏观行为一直是理论界工程界研究的热点。

从建立本构模型的力学模型角度入手,在线弹性、非线弹性和弹塑性几方面简要回顾了国内外学者在这方面所作的工作,以图对其有一个整体印象和把握 ,对今后的工作有所裨益。

关键词：砌体;本构关系;应力应变关系A Survey on Constitutive Law of MasonryAbstract：As a result of the significance of constitutive law for structural analyses ,design and the compl exity of masonry’s mechanism characteristics ,it has focus many researchers’attention on finding appropri ate mechanical model to describe the materials’macroscopic behaviors. According to the different mechan ical model ,and by means of reviewing the primary worldwide researchers’achievement s including linear elesticity ,non-linear elestici y ,and plasticity ,whole understandings of the field’s research processing wa s achieved ,and then get some good ideas.Key words：masonry ; constitutive formulation ; stress-strain curve砌体可能是如今建筑业上仍在大量使用的最古老建筑材料,其最重要的特点是美观、隔热、吸音、防火及施工简便快捷。

从远古时代起就被广泛地应用;世界文明史上至今令人神往的中国长城、大雁塔、赵洲桥及法国巴黎圣母院等是砌体结构应用典范。

随着科技的进步,灌芯墙体、配筋砌块砌体、预应力注芯砌体成为极具竞争力的结构形式。

砌体是由块材及砂浆(或无砂浆)交错排列构成的复合体,缘于其块材的各向异性和尺寸各异,二者材性炯异,灰缝厚度不一,接触面作用机理复杂,加之砌筑方式及质量的影响使得砌体材料性质十分复杂。

不仅缺乏对块材、砂浆、接触面各自性能的试验数据而且缺乏作为复合体的砌体性能的数据。

在其微观机理、本构模型、本构关系及破坏准则等基础理论方面的研究相对滞后,研究者一直探求能建立描述砌体结构的非线性全过程分析和适于各种受力情况下有限元分析的合理本构模型,从而推动砌体结构的进一步发展。

材料的应力应变关系是材料内部微观机理的宏观行为表现,材料的正应力-正应变、剪应力-剪应变及杆系构件的弯矩-曲率、轴力-轴向伸缩、剪力-剪切角、扭矩-转角等联系力与变形之间关系的物理方程都可视为材料或构件的本构关系。

按砌体材料的应力应变理论基础的不同可将其分为:线弹性、非线弹性、塑性、复合材料及损伤断裂力学模型。

1 典型的应力应变关系图1 应力与应变关系1.1 弹性阶段（OC 段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。

该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE = ，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。

1.2 塑性阶段（CDEF 段）CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。

CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限（ultimate strength ），并用σb 表示。

超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。

这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。

这一现象称为“颈缩”（necking ）。

此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。

这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。

该阶段应力和应变的关系：)(εϕσ=1.3 卸载规律如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。

在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。

如果用OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有p e εεε+= (1-1)即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

该阶段应力和应变的关系满足εσ∆=∆E 。

1.4 卸载后重新加载DO ′段若在卸载后重新加载，则σ—ε曲线基本上仍沿直线O ′D 变化，直至应力超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。

由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。

为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D 称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并σS ′用表示。

显然，由于硬化作用，σS ′＞σS ，而且与σS 不同，σS ′不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。

1.5 卸载全部载荷后反向加载如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，譬如由拉伸改为压缩，则σ—ε曲线上弹性阶段OC 段沿曲线OA ′变化，有()()-+=s s σσ。

DO ′D ′段沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D ″点后又开始进入屈服，此时()()-+≥''s s σσ，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger 效应。

这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。

这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。

虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger 效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。

2 线弹性本构模型假设材料的应力应变在加载和卸载时呈线性比例关系,即服从虎克定律。

E σε= (1) 其表达式为:对于一维问题,其比例系数为常数弹性模量E;对于二维、三维问题E 则为弹性矩阵,矩阵中每一项均为常数,与应力水平和加载路径无关。

这是最简单也是发展最早的本构模型,砌体被当作各向同性连续弹性介质看待,忽略作为薄弱层的砂浆影响,早期的研究大都采用这一假设条件,但仅适用于低应力水平阶段;对于高应力水平下由于材料的非线性而导致的应力重分布和局部破坏则无能为力。

3 非线弹性本构模型假设材料的应变随着应力的增大而非线性增长,应力应变不成正比,但仍有一一对应关系,卸载时沿加载路径返回,没有残余变形。

见图2,其表达式为:()E σσε= (2)式中,弹性模量E(对于二维、三维问题E 则为物理矩阵)是应力水平的函数,不再是常数;与加载路径无关。

砌体的非线性缘于块材和砂浆的塑性及局部破坏;其中开裂是导致非线性的主要原因。

图2 非线弹性应力应变关系目前,砌体的应力-应变关系主要源于试验,国内外关于砌体受压时的应力-应变曲线有多种表达式,其中最著名的是前苏联学者奥尼西克提出的对数型的表达式[1],即ln 1m n nf σεξ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭（3） 式中:σ,ε为受压砌体内的应力和应变;n 为略大于1的常数;ξ为弹性特征值,与砂浆的强度等级有关;fm 是砌体抗压强度的平均值.在我国也采用上述形式,但是,取n=1.0.根据文献[2]的研究,对砖砌体: 460m f ξ=.由于应力临近峰值应力时的变形趋于无穷大,因此,建议峰值应变取0.9fm 的对应值.式(3)虽然能与多数砌体受压试验相符合,但是,该式仅有上升段,而且,系数n 对变形的影响较大.因此,又有学者对其进行了研究后提出多项式.下式即为文献[2]建议的可用于结构非线性分析的砖砌体受压应力-应变曲线.1.176.4 5.4m m m f εεσεε⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1.6m εε⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ （4） 文献[5]在总结分析Scott McNary 、SAhmad 、SNSinha 及Zingone 等人的实验结果基础上,不考虑砂浆抗拉强度给出幂强化模型的应力应变关系:nE σε= (5)式中, E 为割线模量,n 常数( n ≤1) ;当n=1是线弹性模型。

作者利用该式分析了在恒载及水平地震荷载作用下窗间墙非线性性能,与试验结果吻合较好。

文献[6]依据试验数据,利用回归分析得出归一化的应力应变关系: 23230+1=A A +A +A m m m m σεεεσεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6） 式中,σm 和εm 分别为峰值应力及相应的峰值应变;常数A0、A1 、A2 及A3 由试验数据回归分析得到。

文献[7]以奥尼西克提出的对数型公式为基础,根据对87个砖砌体的试验资料的统计分析结果,提出以砌体抗压强度平均值(fm)为基本变量的砖砌体抗压应力- 应变关系式:()()1/m f εσ- （7） 特征值ξ按最小二乘法确定,同时为避免由于σ趋近于fm 时,ε趋近于∞,作者建议以 σ=0.9fm 式的应变作为砌体的极限应变。

砖砌体待定系数ξ为460。

对其他种类的砌体,均可采用式(7)表达式,只要依据试验资料统计求得相应的ξ值。

式(7)较全面反映了块体强度、砂浆强度及其变形性能对砌体变形的影响。

上面提到的几类应力应变关系都只有上升段,没有下降段,文献[8]中，同济大学依据试验结果提出了有理分式型的砌体受压应力一应变全曲线表达式：当时ε≤ε0 时，//0.20.8/o m of εεσεε=+ 当时ε>ε0 时，0/ 1.20.2/m f σεε=- （8） 式中m f —砌体抗压强度;0ε—相当于m f 的应变这类本构模型的主要缺点是不能反映材料加卸载的区别、滞回环及残余变形等特征,不能应用于加卸载和非比例加载等复杂的受力过程。

Akitnosn 和Yna 于1990年提出用四段直线描述砌体受压本构关系，如图3所示: 其方程式如下:0≤ε＜0.001时， σ=830'm f0.001≤ε＜0.002时， σ=170 'm f ε+0.66'm f0.002≤ε＜0.004时， σ=-335'm f ε+1.67 'm f ε≥ 0.004 时， σ=0.33 'm f （9） P.B.Shing 等人研究配筋砌体剪力墙抗弯强度时,采用了如图4所示的形式描述砌体受压全曲线。