泊松公式的解

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题

—泊松积分公式

在第二章的中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系. 在这一节中，我们将继续阐述这种联系.

具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值. 例如，一半径为1的圆柱体充满导热的物质. 我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,θ)来描述的. 若圆柱体表面的温度是已知的，是由sinθcos2θ所T(r,θ)在0≤r≥1,0≤θ≥2π上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,θ)，使得T(1,θ)= sinθcos2θ. 这就是我们所要解的迪利希莱问题.

我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法. 这种方法将在以后讨论. 在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况. 一．圆的迪利希莱问题

对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的. 考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆. 设f(z)是在圆周z=R上及其内解析的函数.

对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有

f(z)=i

π21⎰=-R w z w w f )(dw. (2-25)

令z=z R 2，它位于过圆点和点z 的射线上，且1z =z R 2>R ，因此，1z 位于圆z ≤R 的外部. 于是，由柯西定理，我们有

0=i π21

⎰=-R w z w z f 1)(dw =dw z

R w w f i R w ⎰=-2)(21π. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 f(z)=

.))(()(21

22dw z R w z w z R z w f i R w ⎰=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---π (2-27) 令w=Re θi ，z=re θi ,于是θi re z -=. 将它们代入(2-27)式，我们有 f(z)=ϕππθϕθϕϕθθϕd e r R re e r R re f i i i i i i i i ⎰⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2022))(Re (Re Re )()(Re 21

. 将分子和分母同时乘以)()(θϕ+--i e R r ，则

分子=R 22r -，

分母=(Re )cos(2Re ))(Re 222)()()(θϕθϕθϕθϕ--+==-------Rr r R r r r i i i ， 于是，最后我们有 f(z)=.)(Re ))

cos(2(21202222ϕθϕπϕπ

d f Rr r R r R i ⎰--+- 现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是，

f(re ),(),()θθθr iV r U i +=, f(Re ),(),()ϕϕϕR IV R U i +=,上述方程成为 U(r,[]ϕϕϕθϕπθθπd R iV R U Rr r R r R i r iV ),(),()

cos(221),()202222+--+-=+⎰ 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）

公式

U(r,⎰--+-=π

θθϕϕπθ202222)

cos(2))(,(21)d Rr r R r R R U (2-28) 对V(r,)θ与V(R,)ϕ，我们也有类似的公式.

泊松积分公式（2-28）是重要的. 这个公式告诉我们：当U 在圆周R w =上的取值U(R,)ϕ已知时，则调和函数U(r,)θ在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出.

由于我们要求f(z)在这半径为R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,)ϕ是连续的. 事实上，这条件可放宽成允许U(R,)ϕ有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立.

例 设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半. 上半管（R=1，0<ϕ<π）保持1伏特的电位，下半管（R=1，πϕπ2<<）保持-1伏特的电位. 求在管内任何一点（r ，θ）的势.

解 由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的. 由公式（2-28），R=1，我们有 U(πθ21),=r ⎰⎰--+----+-πππ

θϕϕπθϕϕ2222022)

cos(21)1(21)cos(21)1(r r d r r r d r . （2-29） 在每个积分中，我们作变数变换x=θϕ-,并利用下述积分公式

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=+-⎰b a x tg b a tg b a x b a dx )2(2

cos 22122. (2-30) 取 a=1+r 2，b==-2r ，我们得到 U(r,⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+---+---+=---))2(11())2(11())22(11(21)111θθπθππθtg r r tg tg r r tg tg r r tg .

由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,)θ对一切r<1是连续的和U （1,)θ仅在裂缝θ=0和πθ=时是不连续的.

二．对于半平面的迪利希莱问题

我们的问题是要在上半-+=iv u w 平面上求一个函数),(v u ϕ,使得它在上半平面(v >0的区域)上是调和的,而在实数轴v =0上),(v u ϕ必须满足欲先给定的边界条件)0,(u ϕ.

设),(),()(v u i v u w f ψϕ+=在0≥v 上是解析的.考虑闭围道R C ,它由半

径为R 的上半圆周R γ和实数轴上的线段[]R R l R ,-所组成. 令z 是C R 內任何一点，由柯西积分公式，我们有

dw z

w w f i z f R C ⎰-=)(21)(π. (2-32) 由于z 位于上半平面，则z 必位于下半平面，因此，它必在C R 的外部. 于是，据柯西定理，有

dw z

w w f i R C ⎰-=)(210π. (2-33) 将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得

--=⎰R C z w w f i z f 1)((21)(πdw z

w )1- =⎰⎰⎰---+---=---R R R l C dw z w z w w f z z i dw z w z w w f z z i dw z w z w z z w f i ))(()()(21))(()()(21)

)(())((21πππγ. 令z=x+iy ，则iy x z -=. 上式右端的第二个积分I 2等于

⎰-+-R R y x u du u f y

22)()(π. （2-35） 记（2-34）右端的第一个积分为I 1，在R γ上it w Re =，