logistic增长曲线

第二次作业
学号：11001020138 姓名;张彦强 第二题：
解：（1）对=1+kt t L ae
y -两边同时取倒数得：11kt t a e y L L --=，再对两边同时取对数得：
ln 1lna t L kt y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 令11L y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ln a b =，k B -=.
即可得到一个线性关系式：
因此Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型。

给定L-3000，Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型。

用MATLABR2012a估计线性模型的的程序为：
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89 2737.71];
L=3000;
z=log(L./y-1);
p=polyfit(t,z,1)
k=-p(1),a=exp(p(2))
Y=polyval(p,t);
X=exp(Y);
得到结果为：
因此a的估计值为44.8463，k的估计值为0.4941
（2）用MATLABR2012a对Logistic增长模型做非线性回归
MATLABR2012a程序如下：
y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];
t=0:12;
L=3000;
y1=log(L./y-1);
p=polyfit(t,y1,1);
k=-p(1);
a=exp(p(2));
y1=L./(1+a*exp(-k*t));
plot(t,y,'*',t,y1);
拟合Logistic增长模型，画出的拟合图形如图所示：
因此Logistic 增长模型的非线性方程为
0.49413000144.8463t
t e y -=+ （3）拟合Gompertz 增长模型
Gompertz 增长曲线模型为kt
be t y Le --=
两边同时除以 L 得kt
be y e L --=.
两边同时取对数 得ln kt y be L
-=-. 再两边同时取对数得ln ln ln()y b kt L
=--. 令2ln ln y y L
=，aa k =-，ln()bb b =-. 得线性关系式2y aat bb =+.
用MATLAB2012Ra 拟合Gompertz 增长模型，MATLAB2012Ra 程序如下：
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];
t=0:12;
L=3000;
y1=log(log(x/L));
a=polyfit(t,y1,1);
b=-exp(a(2));
k=-a(1);
y2=L*exp(-b*exp(-k*t));
plot(t,x,'*',t,y2);
得到Gompertz 增长模型的拟合曲线如下图所示：
当L=3000，b=30，k=0.4时，拟合的Gompertz 增长曲线方程为
0.4303000t e t e y --=
Gompertz 增长曲线与Logistic 增长曲线相比较，两模型相同之处：
Logistic 增长曲线模型，俗称“S 曲线”，主要目的是模拟人口的增长。

其一般形式为
bt t ae K
y -+=1.
Logistic 增长曲线有个重要特征。

就是y 随着t 的增加直至+∞而趋向于k ，k 即是y 的饱和值；反过来，当t→-∞时，y→0。

在现实经济生活中，许多指标的增长过程具有这个特征。

例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用品的存量，它们的增长过程都遵循Logistic 增长曲线模型。

所以，Logistic 增长曲线模型在经济预测中有广泛的应用，是一种重要的预测模型。

Gompertz 曲线用于描述这样一类现象：初期增长缓慢，后期逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最终接近一条水平线。

Gompertz 曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。

在现实生活中有许多现象符合Gompertz 曲线形式，如工业生产的增长、产品的寿命周期和一定时期的人口增长等。

可见Gompertz 增长曲线与Logistic 增长曲线相似。