实验中学高二下学期第四次数学作
黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题
黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题一、单选题1．若直线经过()1,0A、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．已知向量()a =r，向量12b ⎛= ⎝⎭r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为（ ） A．)B．()C．(D．14⎛ ⎝⎭3．已知方程224250x y x y c ++--=表示圆的方程，则c 的取值范围为（ ） A ．1c >- B ．1c ≥- C ．1c >D ．1c ≤4．已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=v v v，若,,a b c r r r 共面，则实数m 的值为（ ）A ．607B ．14C ．12D ．6275．如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（ ）ABC ．15D ．166．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，113πBAD DAA BAA ∠=∠=∠=，M 为11AC 与11B C 的交点，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ，下列说法正确的是（ ）A ．1122CM a b c =-++u u u u r r r rB ．13π,CM AC =u u u u r u u u u rC ．1BD =u u u u rD ．12AC CM ⋅=-u u u r u u u u r7．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是正方体1111ABCD A B C D -外接球的直径，点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上的一点，则EP PF ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．9,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，动点M 满足1AM xAB yAD z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r（0x ≥，0y ≥，0z ≥），则下列说法正确的个数是（ ）①当1x y ==，12z =时，则直线AM ⊥平面1A BD②当14x =，0z =，[]0,1y ∈时，1B M MD +③当1x y +=，[]0,1z ∈时，AM 的取值范围为④当1x y z ++=，且AM =时，则点M A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方程为()22250mx m y +-+=，则不存在实数m ，使直线l 经过坐标原点()0,0B ．方程()32y k x -=+表示过点 −2,3 的所有直线C ．当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为1-D ．已知直线l 过定点()1,0P 且与以()2,3A -，()3,2B --为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭10．已知正方形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，且AC ：210x y -+=，则直线AB 的方程可能为（）A ．310x y ++=B ．310x y -+=C ．310x y ++=D ．310x y -+=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D E 的距离为3C ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．直线l 过点()2,1P -，且()1,2A -和()5,8B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为. 13．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，22AD CD AB ===，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，()0PA m m =>，且二面角E BD C--的平面角大于60°，则m 的取值范围是.14．已知实数0m ≥，0n ≥，且满足42m n +=成立，则2m 的最小值与最大值的和是.四、解答题15．若三条直线1:320l x y -+=，2:230l x y ++=，3:0l mx y +=.(1)当3l 与1l 垂直时，1l 与3l 的交于点P ，2l 与3l 的交于点Q ，求PQ 和点P 到2l 的距离. (2)若三条直线不能构成三角形，求m 的值. 16．直线l 的方程为()1310a x y a +---=，R a ∈. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点,A B ，点O 是坐标原点. （ⅰ）若AOB V 的面积为16，求a 的值； （ⅱ）当AOB V 的面积最小时，求直线l 的方程. 17．ABC V 的三个顶点分别是()4,0A ，()0,2B ，()3,1C .(1)求边AB 上的中线所在直线1l 的方程，求边AB 上的高所在直线2l 的方程； (2)（ⅰ）求ABC V 的外接圆G （G 为圆心）的标准方程；（ⅱ）若点P 的坐标是()6,0，点Q 是圆G 上的一个动点，点M 满足13PM PQ =u u u u r u u u r，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，E 为PD 的中点.(1)若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；(2)已知4=AD ，2BC =，1AB =，斜线PB 和平面ABCD 所成的角的正切值为2，求平面ACE 和平面PCD 的夹角的余弦值.19．如图，已知四边形ABCD为菱形，4AB=，π3DAB∠=，将菱形ABCD绕AD所在直线旋转到AEFD的位置，使得平面AEFD⊥平面ABCD，连接BE，CF，得到几何体ABE DCF-，M、N分别为AF、BD上的动点，且AMAFλ=，2BNBDλ=，其中01λ<≤.(1)求BE的长；(2)是否存在λ，使得直线//MN平面BCFE，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(3)求MN的最小值，并求MN取最小值时，点M到平面BCFE的距离与点N到平面BCFE 的距离的比值.。
黑龙江省大庆实验中学实验三部2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
15．已知函数 f x log2
1 4x2 2x 2ex ，若 f x 在区间t,tt 0 上的最大
ex 1
值和最小值分别为 M，N，则函数 g x M N x M N x 13 的图像的对称中心
为．
16．已知函数
f
x
x 2m 3x2
m
0
，
g
x
2ln x
x
，设方程
f
g
D．无论 A，B 两种菌的个数分别为多少， PAPB 的值不可能超过 25
11．若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已
知直线
l
：
y
kx
b
为曲线
C1
：
y
aex
(a
0)
和
C2
：
y
ln
x a
(a
0)
的公切线，则下列
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结论正确的是（ ）
A．曲线 C1 的图象在 x 轴的上方
区间 0,1 上还满足：①当
x1
x2 时，都有
f
x1
f
x2 ；②
f
0
0 ；③
f
x 3
1 2
f
x.
则
f
5 3
f
1 8
等于（
）
A． 1
2
B． 3 4
C．1
D． 2
3
试卷第 1 页，共 5 页
7．已知 a,b, c 均为正实数， e 为自然对数的底数，若 a bec, lna lnb ，则下列不等式
， c 分别满足（
）
A． a<0 ， b 0 ， c = 0 C． a<0 ， b 0 ， c 0
2023-2024学年内蒙古赤峰市第二实验中学高二下学期期中数学试题
2023-2024学年内蒙古赤峰市第二实验中学高二下学期期中数学试题1.设函数在上可导，且，则等于（）A．1B．C．D．02.若则（）A．B．C．D．3.随机变量X的概率分布为X124P0.40.30.3则等于（）A．B．C．D．4.已知函数的图象与直线相切于点，则（）A．4B．8C．0D．-85.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（）A．B．C．D．6.已知函数，则下列选项正确的是（）.A．B．C．D．7.根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．B．C．D．8.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A．B．e C．D．9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（）A．B．C．D．10.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均正确）A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种11.第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在我国杭州举行，中国队斩获201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，稳居榜首．为普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，试题中设置了多选题(每题共有4个选项，其中有2个或3个正确选项)，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某道多选题甲完全不会，随机选择1个选项或2个选项或3个选项，该题有两个正确选项的概率为，记X为甲的得分，则（）A．若甲选择1个选项，则B．若甲选择2个选项，则C．若甲选择3个选项，则D．若甲选择1个、2个、3个选项的概率均为，则甲得5分的概率为12.已知函数那么下列说法正确的是（）A．，在点处有相同的切线B．函数有一个极值点C．对任意恒成立D．，的图象有且只有两个交点13.某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有_______种不同的派驻方式．(用数字填写答案)14.在的展开式中，项的系数是_______．15.已知函数在处取得极值5，则____．16.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论：①抽取2次后停止取球的概率为；②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为；③取球次数X的期望为2；④取球次数X的方差为．其中所有正确结论的序号是__________．17.已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.18.如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.(1)证明：平面.(2)求平面与平面的夹角余弦值.19.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20.设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为．(1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．21.2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题(含解析)
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知随机变量X 的分布列是X123P13ab则a b +=（）A ．23B ．32C ．1D ．342．在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（）A ．4种B ．12种C ．24种D ．36种3．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x m =+，l 截得圆C 弦长为2m =（）A ．2±B ．2C ．3D ．5±4．153()x x的展开式中，常数项为（）A ．1365B ．3003C ．5005D ．64355．已知F 是椭圆C ：2212x y +=的左焦点，P 是椭圆C 上的任意一点，点(4,3)Q ，则||||PQ PF +的最大值为()A ．2B ．32C ．42D ．526．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.847．2024年斯诺克武汉公开赛前夕，肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设肖国栋在每局中获胜的概率为23，斯佳辉在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则（）A ．5(2)81P ξ==B ．25(3)81P ξ==C ．()549P ξ==D ．16(6)81P ξ==8．已知1F ，2F 为双曲线2213y x -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若A 为12PF F 内切圆上一动点，当1AF 的最大值为4时，12PF F 的内切圆半径为（）A ．34B ．12C ．78D ．56二、多选题9．设R m ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，（点P 与点A ，B 不重合），则PAB 的面积的值可以是（）AB C ．3D ．10．下列说法正确的为（）A ．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有222642C C C 种不同的分法B ．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有12336543C C C A 种不同的分法C ．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法D ．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法11．已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的,A B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A ．对于任意直线m ，均有AE PF⊥B ．不存在直线m ，满足2BF EB=uuu r uurC ．对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D ．存在直线m ，使2AF BF DF+=三、填空题12．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.13．已知()g x 是各项系数均为整数的多项式，2()21f x x x =-+，且满足432(())24131116f g x x x x x =++++，则()g x 的各项系数之和为.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为.四、解答题15．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．(1)男队员2名，女队员2名；(2)至少有1名男队员．16．袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n 个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是110．（1）求n 的值；（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．17．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；（2）若胜场次数为X ，求X 的分布列．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点(0,1)的直线l 与抛物线C 相切，且切点为E ，点F 为抛物线C 上的点．(1)求直线l 的方程；(2)若直线l 不与x 轴垂直，点P 在y 轴上，QP y ⊥轴，EQ QF =．若直线QP 与抛物线C 和直线l 分别交于M ，N 两点，求证：||||QM MN =．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，离心率为2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF ⋅=，122QF QF ⋅= ．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT ⋅是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．参考答案：题号12345678910答案A CACDCDCABAC题号11答案AC1．A【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=，所以23a b +=.故选：A.【点睛】本题考查分布列的性质，是基础题.2．C【分析】根据给定条件，利用全排列计算作答.【详解】依题意，不同的采访顺序有44A 24=（种）.故选：C 3．A【分析】由弦长、弦心距、半径的关系222()2r d =+，即得解【详解】由题意，圆22:4C x y +=，圆心(0,0),2C r =圆心C 到直线l 距离：d =故：222()2r d =+代入解得：2m =±故选：A 4．C【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.【详解】二项式15展开式的通项5515611515C ((1)C ,N,15r r rr r rr T x r r--+=-=-∈≤，由5506r -=得6r =，此时66715(1)C 5005T =-=，所以所求常数项为5005.故选：C 5．D【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF |，利用平面几何知识即可得最大值﹒【详解】由题意，点F 为椭圆2212x C y ：＝的左焦点，∴()10F -，．∵点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()43，，如图，设椭圆C 的右焦点为()10F '，，连接QF PF ''，，根据椭圆定义知，PQ PF PQ PF PQ PF ''--＋＝＋＝．∵PQ PF QF ''-≤＝∴PQ PF ≤＋F '在线段QP 上时，等号成立.即要求的最大值为故选：D ．6．C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9.由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选：C 7．D【分析】依题意得到ξ的可能取值，再根据独立事件乘法公式和加法概率公式求出对应的概率即可.【详解】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为22215()(),339+=如果该轮结束时比赛还将继续，那么肖国栋与斯佳辉在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有254520416(2),(4),(6)(99981981P P P ξξξ====⨯====故选：D.8．C【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M 的横坐标，即得出圆心的横坐标，利用圆的几何性质知1AF 的最大值即为1||4CF r +=，即可求解.【详解】设12PF F 的内切圆分别与1PF ，2PF 切于N ，B ，与12F F 切于M ，如图，则1122||||,||||,||||PN PB F N F M F B F M ===,又点P 在双曲线右支上，所以12||||2PF PF a -=，故12||||2F M F M a -=，而12||||2F M F M c +=，设M 的坐标为(,0)x ，可得:()()2x c c x a +--=，解得1x a ==，设内切圆半径为r ，则内切圆圆心为(1,)r ，则1AF 的最大值为1||4CF r +=4r =-，解得78r =.故选：C 9．AB【分析】求出两条直线的动点，对m 进行分类讨论，当0m =，直接可求出三角形面积，当0m ≠时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最大值.【详解】动直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=化简为(1)3m x y -=-，则1030x y -=⎧⎨-=⎩，则直线过定点()1,3B ，当0m =时，两条直线分别为0,3x y ==，交点(0,3)P ，131322PAB S =⨯⨯= ；当0m ≠时，两条直线的斜率分别为：1,m m-，所以两条直线互相垂直，()22222||11115||13222442PABPA PB S PA PB AB ⎛⎫+ ⎪=≤==+= ⎪⎝⎭，当且仅当PA PB =时，面积达到最大值52，则PAB，不可以是3,故选：AB 10．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为25C 10=，C 正确；对于D ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有222642C C C 90=种，一人1本，一人2本，一人3本有12336533C C C A 360=种，一人4本，另两人各一本有4363C A 90=种，所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是9036090540++=，D 错误.故选：AC 11．AC【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断，B 选项由2BF EB =uuu r uur及抛物线方程求出A ，B 坐标，再说明D ，B ，A 三点共线，即存在直线m 即可，C 选项设1(A x ，1)y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用0∆=即可判断，D 选项设出直线m ，联立抛物线得到124y y =，通过焦半径公式结合基本不等式得||+||>4AF BF 即可判断．【详解】对于选项A ，如图，由抛物线知O 为DF 的中点，//l y 轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知||=||AP AF ，所以AE PF ⊥，所以选项A 正确；对于选项B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则1(0,)2y E ，22)=(1,BF y x -- ，212,)2=(E y y B x - ，由2BF EB =uuu r uur ，得221221=2=2()2x x y y y -⎧⎪⎨--⎪⎩，解得213x =，12=3y y ，又211=4y x ，222=4y x ，故1(,)33B，A ，(1,0)D -，可得DA k+13DB k 故存在直线m ，满足2BF EB =uuu r uur ，所以选项B 不正确；对于选项C ，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设11(,)A x y ，则1(0,)2y E ，直线AE 的方程111=(+)2y y x x x ，与抛物线方程24y x =联立可得：2111=(+)24y y y x x ，又211=4y x ，代入整理得2231112+=0y y y y y -，则43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线C 相切，所以选项C 正确；对于选项D ，设AB 的方程=+1my x ，联立2=+1=4my x y x⎧⎨⎩，则2=4(1)y my -，所以124y y m +=，124y y =，由22221212121211122()24444y y AF BF x x y y y y m ⎡⎤+=+++=++=++-=⎣⎦，而||=2CF ，由222(4)=4m y y -，得216160m ∆=->，解得：21m >，故2442||m DF >=，所以2AF BF DF +>，所以选项D 错误，故选：AC ．【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．717【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A === 故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.13．5【分析】根据题意可设()2g x x ax b =++，从而可得()g x 的各项系数和为()11a b g ++=，通过对()()()()221f g x g x g x ⎡⎤⎣⎦=-+赋值即可求出()1g ，即可得解.【详解】因为2()21f x x x =-+，所以()()()()24322124131116f g x g x g x x x x x =-+=++⎡⎣⎦+⎤+，从而可设()2g x x ax b =++，则()g x 的各项系数和为()11a b g ++=，因为()()24322111214113111116g g +⎡⎤⎣⎦-+=⨯⨯+⨯+⨯+，所以()()2211450g g --⎡⎤⎣=⎦，解得()219g =-或5，因为()g x 是各项系数均为整数的多项式，所以()1g 不可能是分数，舍去，即()15g =.故答案为：5.14【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，根据题意可得2,,P F Q 三点共线，设1PF m =，则1PQ PF m ==，在1PFQ △利用余弦定理先求1FQ，然后由椭圆定义可求得12,PF PF ，再利用余弦定理可得,a c 的齐次式，即可得出答案.【详解】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，则2,,P F Q 三点共线，设1PF m =，则PQ m =，又127cos 9F PF ∠=，所以在1PFQ △中，由余弦定理有：22222174299F Q m m m m =+-⨯=，即123m F Q =由椭圆定义可知11243m PF PQ QF m m a ++=++=，可得32m a =所以1231,22PF a PF a ==在12PF F 中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即22222913744244493c a a a a =+-⨯⨯=，所以2213c a =，所以33c e a ==.故答案为：3315．(1)30(2)65【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.（2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为2235C C 31030=⨯=（种）.（2）从8名队员中任选4名队员有48C 种，其中没有男队员的选法数是45C 种，所以至少有1名男队员的不同选法数是4485C C 70565-=-=（种）.16．（1）2n =；（2）17.【解析】（1）根据取到标号都是2的概率列出式子即可求解；（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件A ，“另一个小球的标号是1”为事件B ，求出()(),P A P AB ，利用条件概率公式即可求出.【详解】（1）由题意得223(1)1(3)(2)10n n C n n C n n +-==++，解得2n =或13n =（舍去）．（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件A ，“另一个小球的标号是1”为事件B ，则()225325710C C P A C -==，()2225110C P AB C ==,所以()1()()7P AB P B A P A ==．17．（1）31种；（2）分布列见解析.【解析】（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负场的情况，即可求出结果；（2）根据题中条件，先确定X 的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即可得出分布列.【详解】（1）若胜一场，则其余为平，共有14C 4=种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有21242418C C C +=种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有3428C ⨯=种情况；若胜四场，则只有1种情况．综上，共有4188131+++=种情况．（2）X 的可能取值为1,2,3,4，由（1）可得：()4131P X ==，()18231P X ==，()8331P X ==，()1431P X ==所以X 的分布列为：X1234P 4311831831131【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）18．(1)1y x =-+或0x =(2)证明见解析；【分析】（1）求出抛物线方程，再结合直线与抛物线相切的几何意义求得直线方程；（2）根据已知条件分别求得,,Q M N 三点的坐标，即可证得||||QM MN =.【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为2，则2p =，所以抛物线的方程为24y x =，当斜率存在时，设过点(0,1)的直线l 的方程为1y kx =+，因为直线与抛物线相切，则联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得，()222410k x k x --+=，由()22Δ2440k k =--=解得，1k =，所以直线l 的方程为1y x =+.当直线斜率不存在时，0x =满足过点(0,1)的直线l 与抛物线C 相切，故过点(0,1)与抛物线C相切的直线方程为1y x =+或0x =（2）因为直线不与x 轴垂直，则直线的方程为1y x =+，根据题意如图所示：由241y x y x ⎧=⎨=+⎩得(1,2)E ，因为点F 为抛物线C 上的点，设2(,)4b F b ，由EQ QF = ，则Q 为,E F 的中点，则242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为QP y ⊥轴，且直线QP 与抛物线C 和直线l 分别交于M ，N 两点，则221b y y x +⎧=⎪⎨⎪=+⎩得2(,)22b b N +，由2422y x b y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2442(,162b b b M +++，由22424482216b b b b +++++=，所以M 为NQ 的中点，即||||QM MN =.19．(1)2212x y -=(2)是定值，定值为2【分析】（1）根据离心率，120QF QF ⋅= ，122QF QF ⋅= 列出方程求解即可；（2）设直线MP 的方程为(0)x ty m t =+≠，与双曲线联立，再根据N ，S ，P 三点共线，得到点S 的横坐标即可证明.【详解】（1）设1QF m = ，2QF n = （不妨设m n >）则222224m n a m n m n c -=⎧⎪⋅=⎨⎪+=⎩而222()2m n m n mn-=+-∴22444a c =-又∵e 2c a ==222a b c +=∴a =1b =，c =∴双曲线C 的方程2212x y -=∴2212x y -=．（2）是定值，定值为2．法一：设直线MP 的方程为(0)x ty m t =+≠，()0,0S x ，(,0)T m ，代入2212x y -=，得()2222220t y tmy m -++-=，因为渐近线方程为y =，MP 与渐近线不平行，∴22t ≠设点()11,M x y ，()22,P x y ，则()11,N x y -，由韦达定理可得：12222tm y y t -+=-，212222m y y t -=-，由N ，S ，P 三点共线得()121212112120012112122ty y m y y y y y y x x y x x x x x y y y y ++++=⇒=--++，2220222222222m tm t m t t x tm m t --⋅+⋅--⇒==--，∴2||||||2OS OT m m==，即||||OS OT 为定值．法二：是定值，定值为2，设点()11,M x y ，()22,P x y ，则()11,N x y -，()211121:MP y y l y y x x x x --=--，令0y =，∴122121T xy x y x y y -=-，同理：122121S xyx y x v y +=+，因为点()11,M x y ，()22,P x y ，在双曲线上，∴221112xy -=（1），222212xy -=（2），∴222212212221T S xyx y x x y y -⋅=-（3），由（1）（2）可得：221122x y =+，222222x y =+，代入（3）可得：22212221222T S y yx x y y -⋅==-（定值）．。
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.72．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（ ）A ．12B ．16C ．18D ．243．已知二项式(12)n x +（其中*n ÎN 且5n ³）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）A ．24310r r r r<<<<B ．42130r r r r<<<<二、多选题四、解答题15．工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少?16．记n S ，n T 分别为数列{}na ，{}nb 的前n 项和，2n n S a +=，12n n n a b b ++=，322S T =．（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。
广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题
长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.3.直线被圆所截得的弦长为（ ）B.C.5D.104.已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）A. B.C.D.5.若椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且，则（ ）A.B. C. D.6.已知点，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得0x y +=45 45- 60 1352242x y x y m +-+=m (),5∞--()0,∞+()5,∞-+(),0∞-30x y -+=22240x y x y ++-=l 12:2,:21l x y l x y +=-=l (3,2)v =-l 2350x y +-=2310x y -+=3250x y --=2310x y +-=22:196x y C +=12,F F P C 12PF =12F PF ∠=π6π32π35π6()()2,33,2A B -､()0,2P -l AB (),3Q m l m (]15,2,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭15,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22:(6)(8)1C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->C P，则的最大值为（ ）A.9B.10C.11D.128.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，下列选项正确的是（ ）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.直线过定点C.当时，D.当时，10.已知椭圆的左､右两焦点分别是，其中.过左焦点的直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ）A.的周长为B.若的中点为所在直线斜率为，则C.若的最小值为，则椭圆的离心率D.若，则椭圆的离心率的取值范围是11.已知动点的轨迹方程为，其中不同时为0，则（）A.该轨迹关于直线对称B.该轨迹围成的图形面积为C.若点在该轨迹上，则90APB ∠= m ()2221:(1)(2)0C x y rr ++-=>:43100l x y --=r ()3,∞+()5,∞+()3,5[]3,5()()()12:4340,:21250l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈R ()1,2-1l 3450x y +-=2l ()3,1-1m =12l l ⊥2m =1l ∥2l ()2222:10x y C a b a b+=>>12F F ､122F F c =,A B 2ABF V 4aAB ,M AB k 22OMc k k a⋅=-AB 3c 13e =2123AF AF c ⋅= 12⎤⎥⎦E 22x y x y +=+,x y y x =π2+()00,x y 0x …D.若圆能覆盖该轨迹，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆和圆内切，则__________.13.如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.14.在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________；当取得最大值时，椭圆的焦距为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16.（本小题满分15分）已知圆与圆相交于､两点.（1）求公共弦所在直线方程；（2）求过两圆交点，且过原点的圆的方程.17.（本小题满分15分）如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.()2220x y r r +=>r ()222:(3)0C x y r r -+=>22:870D x y y +-+=r =()()4,0,0,4A B ()2,0P AB OB OB P xOy ()22:144y x C m m m +=>-(2,2)A -()0,2B -P 8PA PB +=m m ()()2,1,6,3A B --AB ()3,2P 221:230C x y x +--=222:4230C x y x y +-++=A B AB A B ､O F F这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸，如图所示.（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积.18.（本小题满分17分）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线为切点，且有.（1）求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么样的几何图形；（2）求的最小值；（3）以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.19.（本小题满分17分）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.（1）求的值；（2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点F O FO x FO M F FO π4,C D OCD V 22:4O x y +=()6,8A O P O ,PQ Q PQ PA =P P PQ P O F ()2222:10x y C a b a b+=>>O M MF 2+OM OF =MOF V 12baA B ､P 3AP PB =M ,A B MP C，直线交于点，求的最大值.N ,AM BN T ATB长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DCBABDCC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ADADABC1.D 根据直线方程可知其斜率为，设直线倾斜角为，则，可得.故选D.2.C 方程化为标准方程为，有.3.B 圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为B.4.A 联立，解得，即直线的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选A.5.B 由题意得，则，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.6.D 如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.0x y +=1k =-θtan 1θ=-135θ= 22(2)(1)5x y m -++=+5m >-22240x y x y ++-=22(1)(2)5x y ++-=()1,2-30x y -+=221x y x y +=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩12:2,:21l x y l x y +=-=()1,1l ()3,2v =-l 23-l ()2113y x -=--2350x y +-=3,a c ==24PF =12F PF V 121cos 2F PF ∠==12π3F PF ∠=m l 3y =l BP m 154l AP m 2-m 152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.C，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又在圆上，所以两圆有交点，则，而，得.8.C 如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.9.AD 对于A ，垂直于直线的直线方程为，将点代入得，故所求直线方程为，A 正确；对于B ，直线化为：，由，求得直线过定点，故B 错误；90APB ∠= AB O OP m =P m P C 11m OC m -+……10OC==911m ……l l 430x y c -+=1=5c =-15c =-()11,2C -4350x y --=13d ()11,2C -43150x y --=25d 1C 4350x y --=43150x y --=12d r d <<35r <<4340x y -+=340x y m ++=()1,2-5m =-3450x y +-=2l ()()2250m x y x y -++-+=20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩2l ()3,1--对于C ，时有：，解得，故C 错误；对于D ，当时，，解得，故D 正确.故选AD.10.AD直线过左焦点的周长为，A 正确；设，则，点.由①-②得，故B 错误；当轴时，最小，令，解得，，整理得，即，解得或（舍去），故C 错误；，，，即，即，可得，则椭圆的离心率的取值范围是，D 正确.故选AD.11.ABC 对于A ，轨迹上任意一点满足，该点关于直线的对称点也满足，即轨迹上任意一点关于直线的对称点仍在该轨迹上，A 正确；12l l ⊥()()42310m m +++=117m =-1l ∥2l ()1225434m m m -+++=≠-2m = AB 12,F ABF ∴V 12124AF AF BF BF a +++=()()1122,,,A x y B x y 1212y y k x x -=-12121212,,22OM x x y y y y M k x x +++⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②()()()()()()2221212121212122222212121,,QM QMx x x x y y y y x x b y y b b k k abx x y y a k a a+-+-+-=-∴=-=-⋅∴⋅=--+AB x ⊥AB 2222,1c y x c a b =-+=2by a=±223b c a∴=222320c ac a +-=22320e e +-=12e =2-()111,AF c x y =--- ()211,,AF x y =--()()22222222212*********c AF AF c x c x y x y c x a c c a ∴⋅=---+=+-=+-= 22222222221120,,22c x a a c x a c a c a⎡⎤∈∴-+--⎣⎦ (2)222223a c c a c -- (2211)54c a ……12c e a ⎤=∈⎥⎦12⎤⎥⎦(),x y 22x y x y +=+y x =(),y x 22y x y x +=+(),x y y x =对于B ，点在该轨迹上，点也都在该轨迹上，则该轨迹关于轴，轴对称，当不同时为0时，该轨迹的方程为，表示以点为圆为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，该轨迹是四个顶点为，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以该轨迹围成的图形面积是，B 正确；对于C ，点在该轨迹上，则，则有，即，解得，C 正确；对于D ，该轨迹上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖该轨迹，则不正确.故选ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.8圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径，因为两圆内切，所以，解得.易得所在直线方程为，由于点关于直线的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为，则光线所经过的路程即为与两点间的距离，于是14.； 因为点是椭圆内一点，所以，由，可得(),x y ()()(),,,,,x y x y x y ----x y 0,0,,x y x y (22)111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1x y +=()()1,0,0,1--()()1,0,0,1211224ππ222⨯⨯+⨯⨯=+()00,x y 2222000000111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…0x …0x …=()2220x y r r +=>min D r =()222:(3)0C x y r r -+=>()3,0C r 22:870D x y y +-+=()0,4D 3R =3CD r ==-8r =AB 4x y +=P AB ()14,2P P y ()22,0P -()14,2P ()22,0P -12PP ==(625⎤+⎦4()2,2A -4414m m +<-44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩.易知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.解：（1）线段的中点为，故线段的垂直平分线的方程为，即.（2）①当直线过原点时，所求直线方程为，②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即，由①②知所求直线方程为或.16.解：（1）①，②①-②得即公共弦所在直线方程为.（2）设圆的方程为，即.因为圆过原点，所以，所以所求圆的方程为17.解：（1）如图，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以分别为椭圆的左､右焦点，长轴长，所以，所以椭圆的标准方程为.6m >+()0,2B -F PA PB PA PF +=+-||||||||2PA PF AF -=…,,P A F 22PA PB -++……282-……925m ……625m +<…m 2212521y x +=AB ()1312,1,262AB C k --==--AB ()122y x -=--250x y +-=23y x =1-()23y x -=--5y x =-+23y x =5y x =-+22230x y x +--=224230x y x y +-++=2260x y --=AB 30x y --=()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=()()()2211242330x y x y λλλλλ+++-++-+=330,1λλ-+==2230x y x y +-+=P 4PF PO AO +==24FO =<,F O 24,22a c ==2222,1,3a c b a c ===-=22143x y +=（2）经过且与直线夹角为的直线的倾斜角为或，由对称性，不妨取倾斜角为，即，显然，直线.设，联立，消去得.解法1：解得上述值的互换不影响结果，不妨取，将的值分别代入，得，所以，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得的坐标后，得，F FOπ4π43π4π41k =()1,0F -:1CD y x =+()()1122,,,C x y D x y 221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880x x +-=124477x x =-=-124477x x =-=-12,x x 124477x x =-=--12,x x 1y x =+123377y y =+=-4343,7777C D ⎛⎛-+- ⎝⎝247CD ==()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 12y y ､12y y -=故.解法2：，且，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得后，得，，故.18.解：（1）设点的坐标为，，由题意有，整理为：，故点的轨迹方程为，点的轨迹是斜率为，在轴上的截距为的直线.（2）由和（1），的最小值为点到直线的距离，最小值为.（3）由圆的性质可知，当直线与直线垂直时，以此时的点为圆心，且与圆相外切的圆为所求，此时的方程为，1211222OCD S FO y y =-=⨯=V 2Δ84782880=+⨯⨯=>121288,77x x x x +=-=-2247CD x =-===()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 121288,77x x x x +=-=-12x x -===()()12121211y y x x x x -=+-+=-=1211222OCD S FO y y =-=⨯=V P (),x y 2222||44PA OP x y ==-=+-2222(6)(8)4x y x y -+-=+-34260x y +-=P 34260x y +-=P 34-y 132PQ PA =PQ A 34260x y +-=245=OP 34260x y +-=P O OP 43y x =联立方程解得点到直线的距离为，可得所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为.19.解：（1）因为设椭圆的左焦点为，因为，所以.即，又，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以②，又③，由①②③，解得，所以.（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，联立，得，设，易得，则，直线的方程为，直线的方程为，4,334260,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩78,25104,25x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O 34260x y +-=2652616255-=2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ||2MF a c =+=+E 12OM OF EF ==90EMF ∠= 2222||||4ME MF EF c +==2ME MF a +=222||24ME MF ME MF a ++=2222444ME MF a c b =-=22ME MF b =212MEF S ME MF b ==V 12MOF S =V 1MEF S =V 21b =222a b c =+224,3a c ==12b a =C 2214x y +=P 3AP PB = ()1,0P MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()()1122,,,M x y N x y Δ0>12122223,44m y y y y m m +=-=-++AM ()1122y y x x =++BN ()2222y y x x =--联立得，因为，所以，解得所以动点的轨迹方程为.由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，因为，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以的最大值为.()()()()12121212121122212222123y x y my my y y x x y x y my my y y -+---===+++++()121232my y y y =+()()121121221231321222339233222y y y y y x x y y y y y +-+-===++++4,x =T ()40x y =≠()4,,0T t t >,TA TB ,αβATB ∠βα=-()tan tan tan tan 1tan tan ATB βα∠βαβα-=-=+tan ,tan 62TA TB t t k k αβ====24426tan 1212126t t t ATB t t t t t∠-====++⋅+…t =(π4,,6T ATB ∠=ATB ∠π6。
吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期假期验收(开学)考试数学试题+答案
吉林省实验中学2024-2025学年度上学期高二年级假期验收考试数学第I 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，武由考生自行保存.卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 的实部为正数，虚部为1,2z =，则z =（ ）iB.iC.1D.12.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾” C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头”3.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据1239,,,,x x x x ，后来复查数据时，又将34,x x 重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.极差 D.众数4.已知直线,,a b c 是三条不同的直线，平面,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥bB.若a ∥,b a ∥α，则b ∥αC.若,a b αα⊂⊂，且a ∥,b β∥β，则α∥βD.,,αβγ三个平面最多可将空间分割成8个部分5.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin .c B C b =，则ABC 为（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲､乙､丙､丁､戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）A.2022年甲系列产品收入比2020年的多B.2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C.2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13D.2022年戊系列产品收入是20202倍 7.在梯形ABCD 中，AB ∥,2CD CD =，π4BAD ∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅ ，则AD AC ⋅= （ ）A.12B.16C.20D.8.如图，AC 为圆锥SO 的底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，122SO AC ==，则下列结论正确的是（ ）A.圆锥SO 的侧面积为B.三棱锥S ABC −的体积的最大值为123C.SAB ∠的取值范围是ππ,43D.若,AB BC E =为线段AB 上的动点，则SE CE +的最小值为)21+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1z =−，其中i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ）A.zB.1z =C.2z =D.z 在复平面上的点在第二象限10.连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数.记事件A =“第一次朝上的点数为奇数”，事件B =“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ） A.()12P A =B.事件A 和B 互斥C.()34P A B ∪=D.事件A 和B 相互独立 11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,,M N P 分别是1111,,AA CC C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A.存在点Q ，使,,,B N P Q 四点共面B.存在点Q ，使PQ ∥平面MBNC.三棱锥P MBN −的体积为23D.经过,,,C M B N 四点的球的表面积为9π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[]0,9之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为__________.13.已知向量a 和b满足2,1,a b a b ==+=，则向量a b+ 在向量a 上的投影向量为__________.（用a表示）14.若一组样本数据128,,,x x x 的方差为2，81(1)2,(1)(1,2,,8)ii ii i i xy x i =−=−=+−=∑ ，则样本数据128,,,y y y 的方差为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ()2sin b B C +. （1）求角B 的大小；（2）若2,1a c ==，求b 的值. 16.（15分）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组[)2025，，第二组[)2530，，第三组[)3035，，第四组[)3540，，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.17.（15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，已知190,1,3BAC AB AC AA ∠====，点,E F 分别在棱1BB ，1CC 上，且1111,3C F C BE BB =.（1）证明：AC ⊥平面11A ABB ：（2）求直线1AA 与平面AEF 所成角的正弦值.18.（17分）在面积为S 的ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C+=+. （1）求C 的值；（2）若c =ABC 周长的最大值；（3）若ABC 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC 面积的取值范围. 19.（17分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C −中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN ∥平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值.2024-2025学年度下学期高二年级期中考试数学答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案AACDBCADCDACDABD12.34 13.34a 14.2.5 15.（1）因为πA B C ++=，所以()sin sin B C A +=，又由正弦定理sin sin a bA B=，所以有2sin sin A B A ⋅，因为()0,π,sin 0A A ∈∴≠，所以sin B =()0,πB ∈，所以有π3B =或2π3B =.（2）当π3B =时，由余弦定理得222b a c ac =+−，解得b =.当2π3B =时，由余弦定理得222b a c ac =++，解得b =.所以b . 16.（1）设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.127.50.3532.50.2537.50.242.50.131.75x =×+×+×+×+×=（岁）（2）①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为2:7:5:4:2，第四组应抽取420427542×=++++人，记为,,A B C ，甲，第五组抽取220227542×=++++人，记为D ，乙，对应的样本空间为()()Ω{,,A,C ,(A B A =，甲),(A ，乙），()(),,,A D B C ，（B ，甲），B ，乙），,),(B D C ，甲）(C ，乙），,)C D ，（乙），甲，D ），乙，D ）}，共15个样本点. 设事件M =“甲､乙两人至少一人被选上”，则{(M A =，甲),(A ，乙),(B ，甲），(B ，乙)，（C ，甲），(C ，乙），（甲，乙），（甲，),(D 乙，)}D ，共有9个样本点，所以()()()93Ω155n M P M n ===； ②:设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则436x =，542x =，2452s =，251s =，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，则45424362423866x x z+×+×==，()(){}()()22222224455115424363821423810662s s x z s x z =×+−+×+−=×+−+×+−=，10.据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 17.（1）直三棱柱111ABC A B C −中，1A A ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面1ABC A A AC ∴⊥90,BAC BA AC ∠=∴⊥ ，且1A A AB A ∩=，又1,A A AB ⊂平面1,A AB AC ∴⊥平面11;A ABB（2）在AEF 中，AEEF AF=则222AE EF AF +=，因此90AEF ∠=，12AEF S AE EF ∴=××直三棱柱111ABC A B C −中，1A A ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面1,ABC A A AB ∴⊥，90,BAC BA AC ∠=∴⊥ ，且11,,A A AC A A A AC ∩=⊂平面11A ACC ，所以BA ⊥平面11,A ACC B ∴与平面1A AF 之间的距离为1，因为BE ∥11,AA A ⊂平面1,A AF BE ⊄平面1A AF ，所以BE ∥平面1,A AF B ∴与平面1A AF 之间的距离与E 与平面1A AF 之间的距离相等，E ∴与平面1A AF 之间的距离为1，1111111313322E A AF A AF V S −∴=××=×××= ， 设1A 与平面AEF之间的距离为1111,,23E A AAF A EAF h V V h −−=∴=，得h =，1AA ∴与平面AEF所成的角的正弦值为1h AA =. 18.【详解】（1）由()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C+=+和正弦定理，三角形面积公式可得，()22sin sin c a bc A a b A b c+=+，因sin 0A >，故得，222c ab a b +=+，由余弦定理，2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，因()0,πC ∈，则π;3C =（2）由余弦定理，2222cos a b ab C c +−=，即222a b ab +−=， 整理得，22()23232a b a b ab + +=+≤+，当且仅当a b =时等号成立，即2()8a b +≤，于是，0a b <+≤a b ==时，ABC周长的最大值为（3）由11sin 22ABCS ch ab C ==可得，4c =由正弦定理，sin sin sin 2a b c abA B C===，即得，22,sin sin b a A B=，则1122sin 22sin sin ABC S ab C B A ==××，由ABC 为锐角三角形可得，π022ππ032A A<< <−<，解得，ππ62A <<，则ππ5π2A 666<−<，由正弦函数的图象知，1πsin 2A 126 <−≤ABC S ≤< ，即ABC面积的取值范围为. 19.【详解】（1）如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C −可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN ∥1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11C C ，所以MN ∥平面11BB C C ； （2）如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形； 因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =由90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC A C +=，即1A M MC ⊥，又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB ⊂平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； （3）由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ；如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK .因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =， 所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC 中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CH AH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠= ，可得sin HK AH HAK ∠==Rt CHK 中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKC HK ∠==，因为π0,2HKC ∠∈ ，所以sin HKC ∠=1B AA C −−.。
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．1．已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ）A ．0B ．CD2．在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（ ）A ．B ．0C ．1D ．23的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．圆和圆的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．已知且，则的最大值为（ ）A ．1BCD ．56．若椭圆（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．以上都不对7．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AB CD8．曲线所围成图形的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D．二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知且，则的值可能是（ ）1111ABCD A B C D -1A D AC 12Oxyz (1,1,0),(0,1,1),(2,1,)a b c z === ,,a b cz 1-340y ++=150︒120︒60︒30︒222410x y x y ++-+=224210x y x y +--+=,x y ∈R 221x y +=43x y -2212x y m +=m =12,F F 1F AB 2ABF △21||x y y -=-3π2,,x y z ∈R 2221x y z ++=222(1)(1)(2)x y z -+-+-A ．1B ．2C ．3D ．410．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知，点，点，且P ，O 不重合，P ，A 不重合，则（ ）A ．若，则x ，y ，z 满足：B ．若，则x ，y ，z 满足：C ．若，则x ，y ，z 满足：D ．若，则x ，y ，z 满足：11．现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM 与底面直径MN 的长度都是2.点是PM 的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（ ）AB ．1C ．D ．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过点垂直，则直线的方程是 .13．已知点，点B ，C 是直线与圆的交点，则经过点A ，B ，C 的圆的方程是 ．14．已知点在椭圆上，点，则的取值范围是 .四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知椭圆的长轴端点是和(1)求椭圆的方程；(2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围.16．如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为.(1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值；(2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由.(1,1,1)n =(1,0,0)A (,,)P x y z ||1AP =2221x y z ++=AP n ⊥1x y z ++=//AP n1x y z-==,45OP n ︒〈〉=2224440x y z xy yz zx ++---=P αA βA α30︒β32l P 50y -+=l (5,0)A 1x =225x y +=M 22:1169x y C +=(3,0)(3,0)P Q -、||||MP MQ +C (A -B C P C P (0,1)M P ABCD -AB =PA ABCD 60o PAB ABCD PB E AE PC ⊥E17．如图，在三棱柱中，点是棱AC 的中点.侧面底面ABC ，底面ABC 是等边三角形，.(1)求证：平面ABC ；(2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值.18．已知点与点关于直线对称.(1)求点的坐标m ，n （用表示）；(2)若点在曲线所在曲线的方程.19．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，设点M ，N 在上，点M ，N 与点不重合，且直线MN 不与轴垂直，记分别为直线AM ，AN 的斜率.（ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN 经过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q ，求点的轨迹方程.111ABC A B C -O 11AA C C ⊥11,AB AA A B AC =⊥1A O ⊥11AA B B 11CC B B (,)P m n ()00,Q x y :l y =P 00,x y (,)P m n y (,)Q x y 12(1,0),(2,0)F F P P C C (1,1)A C A x 12,k k λR λ∈1)λ≠12k k λ=Q答案1．D解析：在正方体中，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，又易得是等边三角形，所以，所以与故选：D.2．A解析：由空间向量共面定理可得存在实数，使得，即，所以，解得.故选：A 3．A得故直线的斜率为，所以倾斜角为．故选：A ．4．B1111ABCD A B C D -11A B AB CD ∥∥11A B AB CD ==11A B CD 11A D B C P 1B CA ∠1A D AC 1B CA V 160B CA =∠︒1sin B CA ∠1A D AC ,x y a xb yc =+()()()1,1,00,,2,,x x y y yz =+1210y x y x yz=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩12121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩340y ++=43y =-)0,180︒⎡⎣150︒解析：由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆，圆，即以为圆心，为半径的圆，则故，因此两圆相交，则有2条公切线.故选：B.5．D解析：令，则，其中，因为，则，所以的最大值为.故选：D 6．C解析：当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，.故选：C 7．A解析：是正三角形，，故选：.8．A 解析：()()222222410122x y x y x y ++-+=⇔++-=()11,2C -12r =()()222224210212x y x y x y +--+=⇔-+-=()22,1C =22r =12C C ==12022224C C =-<<+=[]cos ,sin ,0,2x y θθθπ==∈()434sin 3cos 5sin x y θθθϕ-=-=-3tan 4ϕ=()[]sin 1,1θϕ-∈-()[]5sin 5,5θϕ-∈-43x y -5x e =1m =y e ==4m =2ABF V 212|||AF F F ∴==1212||2||,||||2AF AF AF AF a ∴==+==e ∴A由可得，即，所以，又，即，当且时，则方程为，即，所以，当且时，则方程为，即，当时，则，所以方程为，即，画出如图所示图像，其中弓形与弓形相等，由割补法可知，围成图形的面积为.故选：A 9．CD解析：因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点.则表示到距离的平方.类比点到圆上距离的范围，可得，，则 ，.故，则只有CD 满足条件.故选：CD 10．BCD解析：A 由题，，因，则A 错误；B 因，则，故B 正确；C 因，则，故C 正确；21x y y -=-10y -≥1y ≤11y -≤≤22221x y y x y y x x =-+≥-+==11x -≤≤[]0,1∈y 20x y -≥21x y y -+=21x =1x =±[]0,1∈y 20x y -<21y x y -+=212x y +=[)1,0y ∈-20x y ->21x y y --=212x y -=AB CD 212⨯=2221x y z ++=(),,x y z 222(1)(1)(2)x y z -+-+-(),,x y z ()1,1,2)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≤=+)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≥+=-1.414 1.732≈≈ 2.449≈711.898+≈7 2.102-≈22222(1)(1(1)2)x y z <-+-<-+()1,,AP x y z =- ()2222221112AP x y z x y z x =⇒-++=⇒++= AP n ⊥101AP n x y z x y z ⋅=-++=⇒++= //AP n 11111x y zx y z -==⇒-==D 因，则.即，故D 正确.故选：BCD.11．ABC解析：如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截面相交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足：.对于A对于B，长轴长度可以为；对于C；对于D 选项，.故选：ABC 12．的斜率为所以的方程为：，即.故答案为：13．,45OP n ︒〈〉=()()22221cos ,23x y z OP n x y z ++〈〉==⇒=++ ()()2222222324440x y z x y z x y z xy yz zx ++=++⇒++---=A PMN β1AA AM βPMN 12a AA =2a AM =1AA =AM =βPMN 12AA a AM <<1<<132<322>240x -=50y -+=l l )1y x =-40x -=40x -=2250x y x -=+解析：因点B ，C 是直线与圆的交点，则设过B ，C 的圆的方程为：，代入，则，则过过点A ，B ，C 的圆的方程是：.故答案为：14．解析：由椭圆与椭圆有相同的短轴，由椭圆与椭圆有相同的长轴，又椭圆与椭圆有相同的焦点，即点，由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，椭圆在椭圆上及其内部，当点在上时，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在短轴的端点时取等号，当点在上时，，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在长轴的端点时取等号，所以的取值范围是.故答案为：.1x =225x y +=()22510x y x λ+-+-=(5,0)A 255405λλ-+=⇒=-()2222551050x y x x y x +---=⇔+-=2250x y x -=+22:1169x y C +=221:1189x y C +=22:1169x y C +=222:1167x y C +=222:1167x y C +=221:1189x y C +=12(3,0),(3,0)F F -(3,0)(3,0)P Q -、22:1169x y C +=221:1189x y C +=222:1167x y C +=22:1169x y C +=P 221:1189x y C +=12||||2PF PF a +==22:1169x y C +=221:1189x y C +=12||||||||MP MQ PF PF +≤+=P P 222:1167x y C +=12||||28PF PF a +==222:1167x y C +=22:1169x y C +=12||||||||8MP MQ PF PF +≥+=P ||||MP MQ +15．(1)(2)解析：（1）由题意得：，解得：.故椭圆的方程为：（2）设是椭圆上的任意一点，所以，所以..故点到点的距离的取值范围是.16．(2)在线段上存在点，点满足，使得.解析：（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知，.设，其中，则，向量是平面的法向量.22182x y +=-222a c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 22182x y +=(,)P x y 2284x y =-PM ==[y ∈1||PM ≤≤P (0,1)M -PB E E 13BE BP =AE PC ⊥O ABCD O ,,OB OC OPx y z (0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C -(0,0,)P h 0h >(0,1,)AP h =1(0,0,1)n = ABCD由题意得，，解得设平面的法向量为.因为，，所以，即，令，则，则.则故侧面与底面（2）由（1）知，，设，则.因为，若，则.即，解得，故在线段上存在点，点满足，使得17．(1)证明见解析(2)解析：（1）连结OB .在中，，所以，且.又因为，所以平面.从而．又因为平面平面ABC，A C 是平面与平面ABC 的交线，111cos ,cos30AP n AP n AP n ⋅==⋅h =PAB ()2222,,n x y z =(AP = (1,1,0)AB =2200AP n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩21y =221x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩21,1,n ⎛=- ⎝ 12cos n n ⋅==PAB ABCD (1,1,0)AB =(BP =- BE BP λ=(()(1,1,0)1AE AB BE λλ=+=+-=- (0,CP =-AE PC ⊥()(10,0AE CP λ⋅=-⋅-= 130λ-+=13λ=PB E E 13BE BP =.AE PC ⊥35ABC V ,BA BC AO OC ==BO AC ⊥BO AC 1A B AC ⊥AC ⊥1A BO 1AC AO ⊥11AA C C ⊥11AA C C所以平面ABC（2）在中，，所以.设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．有，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.由题意得：.则取平面的法向量为，平面的法向量为.则.故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是18．(1)(2).1AO ⊥1AA O 1190,2A OA AA AO ︒∠==1A O AC =2AC =O 1,,OB OC OA x y z (0,1,0),(0,1,0)A B C -11,0)A AB CB ==- 11AA BB == 11AA B B ()1111,,n x y z = 11CC B B ()2222,,n x y z = 111112221112220000AA n y BB n y AB n y CB n y ⎧⎧⋅==⋅=+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⋅=-=⎪⎪⎩⎩，11AA B B 1(1,n = 11CC B B 21)n =- 13cos 5n ⋅ 11AA B B 11CC B B 35m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22162x y -=解析：（1）依题意，，解得（2）依题意，整理得：（其中），所以点所在曲线的方程为.19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点）解析：（1）设，整理得，所以的方程为.（2）设直线MN 的方程为：，其中.点M ，N 满足：所以满足：，即.从而.（ⅰ）证明：因为，所以，整理得，其中（即直线MN 不经过点）.所以直线MN 的方程为：，且直线MN 不经过点.所以直线MN 过定点 .000022y n x m y n x m -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n n ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=2200162x y -=000x ≠(,)Q x y 22162x y -=222x y +=Q y x =-(1,1)-(),P x y =222x y +=C 222x y +=y kx m =+1k m +≠222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,M N x x 22()2x kx m ++=()2221220k x kmx m +++-=22222,11M N M N km m x x x x k k -+=-=++()()()()()()()()2222222222222111211111122111111111M N M N M N N M M N M N M N M N m km k km k m m kx m kx m k x x km k x x m m y y k m k k m km x x x x x x x x k m k k -⎛⎫⋅+--+-+ ⎪+-+-+-++-+---+++⎝⎭⋅====-------++++++++11k m k m λ-+-=++1(1)1m k λλ+=+-10k m ++≠(1,1)-111(1)111y kx k k x λλλλλλ+++⎛⎫=++=++ ⎪---⎝⎭(1,1)-11,11λλλλ++⎛⎫- ⎪--⎝⎭（ⅱ）解：由得（其中）,所以点的轨迹方程为直线（除去点）.1,11.1Q Q x y λλλλ+⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩Q Q y x =-1Q x ≠Q y x =-(1,1)-。
吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试(4月)数学试题(解析版)
长春市实验中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试数学试卷考试时间： 120 分钟 分值： 150 分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1. 下列求导正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D.，则【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数求导公式、求导法则及复合函数求导逐项判断即可.【详解】对于A ，，则，故A 不正确；对于B ，，则，故B 不正确；；对于C ，，则，故C 正确；对于D ，，则，故D 不正确.故选：C.2. 已知，若，则等于（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.【详解】，y =y '=1ln2y =2y '=22cos sin y x x =-2sin 2y x '=-ln x y x=2ln 1x y x '-=12y x ==1212x y -'==1ln2y =0y '=22cos sin cos 2y x x x =-=2sin 2y x '=-ln x y x=21ln x y x -'=()ln f x x x =()02f x '=0x 2e eln 22ln 2()02f x '=0x ()()()ln ln ln ln 1f x x x x x x x x ''='+='=+因为，所以，解得.故选：B.3. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用导数求函数的单调递增区间.【详解】函数，定义域为，，，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B4. 设是函数的两个极值点，若，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.【详解】由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则，()02f x '=0ln 12x +=0e x =22ln y x x =-(),1-∞()0,1()1,e ()1,+∞22ln y x x =-()0,∞+22222x y x x x-'=-=0'>y 01x <<22ln y x x =-()0,112,x x ()321f x x ax x =+++1232x x +=-=a ()2321x ax f x =++'12,x x 12,x x 23210x ax ++=121221,33a x x x x +=-=1232x x +=-1232x x =--()12221323x x x x =--=213x =-则，所以，解得，此时.故选：C ．5. 函数，则（ ）A. B. C D. 关系不确定【答案】C 【解析】【分析】求得，结合导数符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果.【详解】解：由已知可得，令，解得．当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增．因为，所以.故选：C6. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的三位偶数有（ ）A. 24个 B. 30个C. 40个D. 48个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分种情况讨论：.的11x =-1212133a x x +=--=-2a =2443140∆=-⨯⨯=>()1ex xf x a b =-<<，()()f a f b =()()f a f b <()()f a f b >()f x '()f x '()f x ()()2e e 11e e ex xxx x x x x x f x '''---=-=-=()0f x '=1x =(),1x ∞∈-()0f x '<()1,x ∞∈+()0f x '>()f x (),1∞-()1,∞+1a b <<()()f a f b >0022①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法，②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法，则十位有种选法，此时有种选法，则一共可以组成个无重复数字的三位偶数.故选：B ．7. 已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据给定的图象，由，可得，由时可得函数的单调性，进而确定以及的图象，然后求解即可.【详解】由图象可知，而，所以，则，当时，，则函数在上单调递增，因此最大值为的函数图象为的图象，即，04224A 12=0241203323318⨯⨯=121830+=()()sin f x A x ωϕ=+()0,0πωϕ><<()f x ()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()00f >0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x ()f x ()f x '()0sin 0f A ϕ=>0πϕ<<sin 0ϕ>0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭1()f x 1A =由函数，所以，由图可知的最大值为，则，即，由，得，即，，又，所以当时，，所以函数的解析式为.故选：.8. 若，则函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可.【详解】对比各个选项可知，由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，令，可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；()()sin f x x ωϕ=+()()cos f x x ωωϕ'=+()f x '22ω=()()sin 2f x x ϕ=+π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈0πϕ<<0k =π3ϕ=()f x ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C a b >()2()y a x a x b =--0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--1223a b x b x +=<=a b >()2()y a x a x b =--a x b =0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--()()()()()23202y a x b x a x b a x b a x a b '=---+=---=1223a bx b x a +=<=<a b >1x 2x ()2()y a x a x b =--若，则函数的图象形状为增减增，具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B 符合；若，则函数的图象形状为减增减，具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D 不符合．故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 有两个极值点B. 有三个零点C. 直线是曲线的切线D. 满足【答案】ABD 【解析】【分析】对求导，求出函数极值点和极值，即可判断A ，B ；利用导函数求出导数值为时的的值，即可确定切线斜率为的切点坐标，即可确定过该点的切线方程，即判断C ；根据解析式秋求解，从而得，即可判断D ．【详解】因为，则，令，得，解得，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，的0a >()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭a<0()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭3()31f x x x =-+()f x ()f x 3y x =-()f x ()y f x =()()2f x f x +-=()f x 3-x 3-()f x -()()f x f x +-3()31f x x x =-+2()33f x x '=-()0f x '=2330x -=1x =±1x <-1x >()0f x '>11x -<<()0f x '<()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-()f x =1x -1x =且，，图象如图所示：故有两个极值点，三个零点，故A ，B 正确；令，则，且，故函数在处的切线斜率为，此时切线方程为，即在处的切线方程为，故C 错误；又，则，所以，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，(1)3f -=()11f =-()f x ()f x 2333x -=-0x =(0)1f =()f x 0x =3-13y x -=-()f x 0x =31y x =-+x ∈R 3()31f x x x -=-++()()2f x f x +-=()f x '()f x 0x >()()0f x xf x '->11224f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()()f xg x x=0x >()g x ()0,∞+()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<()g x ()0,∞+对于AB 选项，，即，可得，A 错B 对；对于CD 选项，，即，D 对，C 无法判断.故选：BD.11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，有唯一极小值B. 存在定直线始终与曲线相切C. 存在实数，使为增函数D. 存在实数，使为减函数【答案】ABD 【解析】【分析】通过判对函数求导，结合零点存在性定理判断A ；由题意可知，，恒成立，即可求出切线方程，进而判断B ，由B 中结论，可判断C ；当时，可利用导数判断出为减函数，可判断D .【详解】对于A ，当时，，定义域为，所以，令，则，由得或，由得，所以在上单调递减，在和上单调递增，又，，，所以在中存在唯一点，使，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一极小值，故A 正确；1124g g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112424f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()222e xf x ax x x =-+-1a =()f x a ()f x a ()f x ()01f '=-()02f =12a =-()f x 1a =()()222e xf x x x x =-+-R ()2e 1xf x x '=-()2e 1xg x x =-()()22e xg x x x '=+()0g x '><2x -0x >()0g x '<20x -<<()g x ()2,0-(),2-∞-()0,∞+()24210eg -=-<()010g =-<()1e 10g =->()0,10x ()00g x =0x x <()0f x '<0x x >()0f x ¢>()f x ()0,x -∞()0,x +∞()f x对于B ，，所以，因为，，所以存在定直线与曲线相切，故B 正确；对于C ，由B 可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数，故C 错误；对于D ，当时，，令，，令，则所以当，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当，在上单调递减，当，，且，所以恒成立，故，所以，当，为减函数，故D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题，(4)考查数形结合思想的应用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()()222e xf x ax x x =-+-()()222e 1xf x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦()01f '=-()02f =2y x =-+a ()01f '=-()f x 12a =-()213e 12xf x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()213e 12xh x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2143e 2x h x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()0h x '=4x =-±4x <--()0h x '<()h x (,4-∞--44x --<<-+()0h x '>()h x (44--4x>-+()0h x '<()h x ()4-++∞x →-∞()0h x <(((2414434e 102h -⎡⎤-+=----+-<⎢⎥⎣⎦()0h x <()0f x '<12a =-()f x12. 曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】利用切线方程的公式：，代入切点求解即可.【详解】，，曲线在点处的切线方程为：，化简得【点睛】本题考查切线方程的公式，属于简单题.13. 甲乙丙丁四人排成一排照相，要求甲乙两人相邻，有______种排法【答案】12【解析】【分析】把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，用捆绑法求解即可【详解】因为甲、乙两人相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和丙丁2人进行全排列有种排法，再考虑甲乙之间的顺序有种排法，所以共有种，故答案为：12.14. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可.【详解】因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：；3()ln f x x x =+(1,1)430x y --=000'()()y y f x x x -=-21'()3f x x x=+'(1)4f =3()ln f x x x =+(1,1)14(1)y x -=-430x y --=33A 22A 3232A A 12=2()ln(1)f x x a x =++12x x ，a 102a <<a 2()ln(1)f x x a x =++222()1x x af x x '++=+2()22g x x x a =++()0g x =(1,)-+∞1x 2x Δ480(1)0a g =->⎧⎨->⎩102a <<故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥（即圆柱下底面在圆锥的底面内）.（1）求圆柱的侧面积的最大值；（2）求圆柱体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用平行成比例得到，再利用基本不等式即可得解；（2）将圆柱体积转化为的表达式，再利用导数即可得解.【小问1详解】圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥，设底面半径为，高为．记与圆柱的上底面交于点，连接、，则，所以，即，整理可得.时，等号成立，即，所以圆柱的侧面积，因此当时，圆柱的侧面积取最大值.【小问2详解】由（1）知，，圆柱的体积，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，102a <<π24π271R H +=R R H PA C 1O C OA 1//O C OA 11PO O C PO OA=111H R -=1R H +=1R H =+≥12R H ==14RH ≤1π2π2π42S RH =≤⨯=12R H ==π21R H +=()2223ππ1ππV R H R R R R ==-=-()22π3ππ23V R R R R ='=--203R <<0V '>213R <<0V '<()V R 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当时，，因此，当时，圆柱的体积取得最大值.16. 设，函数的单调增区间是．（1）求实数a ；（2）求函数的极值．【答案】（1）2（2）极小值为，极大值为0.【解析】【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值.（2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值.【小问1详解】函数的定义域为：且因为函数的单调增区间是，所以的解集是.所以方程的解是，，所以.【小问2详解】当时，令，则或当变化时，，的变化情况如下表：x1f '(x )+023R =()22max 214π1ππ3327V R R ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭23R =4π2713()ln 122f x a x x x =+-+()y f x =1(,1)3()f x 22ln 3-()f x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭a ()0,+∞()22213321222a x ax f x x x x -+-=--='()y f x =1(,1)323210x ax -+->1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭23210x ax -+-=13112133a +=⇒2a =2a =()0f x '=13x =1x =x ()f x ()f x '1(0,)3131(,1)3(1,)+∞-0-f (x )↘极小值↗极大值↘当时，有极小值；当时，有极大值.17. 已知函数在时有极大值.（1）求的值；（2）若在的最大值为32，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数在时有极大值.得讨论解得;（2）由函数的单调性求得上的最大值，再结合题设求解即可.【小问1详解】函数，，由函数在处有极大值.得，即：，所以：或，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时，为极大值，符合题意.当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增；此时，为极小值，与题设矛盾.所以.【小问2详解】由（1），得；由，得：，或；13x =()f x 11312ln 13322f ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭22ln 3-1x =()f x ()1312ln11022f =+-+=()()2f x x x c =-2x =c ()f x [1,)x k ∈-k 6c =(2,8]k ∈()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=c [1,)x ∈-+∞()()2f x x x c =-()2234f x x cx c =-+'()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=21280c c -+=2c =6c =6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x (2)f 2c =()()()2384322f x x x x x =-+=--'223x <<()0f x '<()f x 2x >()0f x '>()f x (2)f 6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'(2)0f '=2x =6x =当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时，极大值为，极小值为，且，因为在的最大值为32，所以所求的取值范围为，即.18 已知.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得.分，，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间;（2）分,两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】，当时，，或，即或，当时，，，在上单调递增；当时，，当或时，，当时，，所以在递增，在递减，在递增.当时，，当或时，，当时，，.2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x 6x >()0f x '>()f x (2)32f =(6)0f =(8)32f =()f x [1,)x k ∈-k 28k <≤(2,8]k ∈()()21e 21e 22x x f x a a x =-++0a >()0f x ≤a []ln 21,0-()()()e 1e 2x x f x a =--'102a <<12a =12a >()f x 0a ≤0a >()f x ()()()e 1e 2x x f x a =--'0a >()=0f x '1e =x a e =2x 1ln x a=ln 2x =12a =1ln ln 2x a==()0f x '≥()f x (),∞∞-+102a <<1ln ln 2x a=>ln 2x <1ln x a >()0f x '≥1ln 2ln x a <<()0f x '<()f x (),ln 2∞-1ln 2,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭12a >1ln ln 2x a=<1ln x a<ln 2x >()0f x '≥1ln ln 2x a <<()0f x '<所以在递增，在递减，在递增.【小问2详解】当时，，，当时，，当时，，所以在递增，在递减.∴，由可得，，解得：.若，则取，有，与已知矛盾.综上，实数的取值范围为.19. 已知函数在点处的切线方程为（1）求；（2）求的单调区间；（3）求使成立的最小整数.【答案】（1） （2）在上单调递增（3）【解析】()f x 1,lna ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1ln ,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()ln 2,∞+0a ≤()()()e 1e 2x x f x a =--'()=0f x 'ln 2x =ln 2x <()0f x '≥ln 2x >()0f x '<()f x (),ln 2∞-()ln 2,∞+()()max ln 222212ln 2222ln 2y f a a a ==-++=--+()0f x ≤222ln 20a --+≤ln 210a -≤≤()()21e 21e 22x x f x a a x =-++()222211211e 222x a a a x a a a ++⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭()2221121e 222x a a a x a a ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭0a >()2214a x a +>()0f x >()0f x ≤a []ln 21,0-()()ln f x x a x bx =++()()1,1f 260x y --=,a b ()f x ()22f x x m ≤+m 52,2a b ==-()f x (0,)+∞3-【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解；（2）由（1）知，令，求得，求得的单调性和，即可求解；（3）根据题意转换为，令，结合，得到成立，再由时，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，解得，即可求解.小问1详解】解：由函数，可得因为函数在点处的切线方程为，可得，即且，解得.【小问2详解】解：由（1）知且，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，，即，则，所以函数在上单调递增.【小问3详解】解：由不等式，即，令，又由，可得，当时，，单调递减；【()ln x a f x x b x +=++'()()151,122f f '==-()2ln 342x x x f x x '-+=()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-()x ϕ()min 0x ϕ>()22f x x m -≤()25(2)ln 22g x x x x x =+--132g ⎛⎫<- ⎪⎝⎭3m ≥-3m =-3ln 22x x ≤-()3ln 22t x x x =-+()0t x <()()ln f x x a x bx =++()ln x af x x bx +=++'()f x ()()1,1f 260x y --=()()151,122f f '==-()1112f a b +'=+=()512f b ==-52,2a b ==-()252ln 34ln 22x x x xf x x x x +-+=+='-0x >()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-12(0,e )x ∈()0x ϕ'<()x ϕ12(e ,)x ∞∈+()0x ϕ'>()x ϕ12e x =()1122min (e )42e 0x f ϕ==->()0x ϕ>()0f x '>()f x (0,)+∞()22f x x m ≤+()22f x x m -≤()()2252(2)ln 22g x f x x x x x x =-=+--()(1)ln ,0m x x x x =-->()111xm x x x '-=-=(0,1)x ∈()0m x '<()m x当时，，单调递增，又因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，可得，则，所以成立（必要性）；下面证明：时，恒成立，当时，可得，即，因为，上式等价于，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以时，不等式恒成立，综上可得，实数的最小值为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．(1,)x ∈+∞()0m x '>()m x ()10m =()()10m x m ≥=1ln x x -≥0x =111ln1222<-=-1517517ln 32224224g ⎛⎫⎛⎫=-<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3m ≥-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-253(2)ln 23(2)(222x x x x x x +≤+-=+-20x +>3ln 22x x ≤-()3ln 2,02t x x x x =-+>()1122x t x x x'-=-=1(0,)2x ∈()0t x '>()t x 1(,)2x ∈+∞()0t x '<()t x ()111ln 0222t x t ⎛⎫≤=+< ⎪⎝⎭3m =-()22f x x m ≤+m 3-。
贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高二上学期学业质量监测数学试题(含答案)
贵阳市第三实验中学2024-2025学年度第一学期学业质量监测高二年级 数学2024.10请考生注意：1.考试时间为120分钟，满分为150分。
2.所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. ）1．设全集U =1,2,3,4，集合M 满足C M M ={1,3}，则（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．4∈MD ．{4}∈M 2．已知a ,b ∈R ，a ―i =(b +i)（i 为虚数单位），则（ ）A ．a =―1,b =―3B ．a =―1,b =3C ．a =1,b =―3D ．a =1,b =33．已知向量a =(1,1),b =(1,―1)，若(a +λb )⊥(a ―μb )，则（ ）A ．λμ=1B ．λμ=―1C ．λ+μ=1D ．λ+μ=―14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则下列函数的图象关于直线x =1对称的是（ ）A ．f (x +1)+cos π2x B ．f (x +1)+sin π2x C ．f (x ―1)+cos π2x D ．f (x ―1)+sin π2x 5．已知1―cos θsin θ=2，则tan θ等于（ ）A ．43B ．―43C ．―23D ．236．在正三棱锥A ―BCD 中，二面角A ―BC ―D 的平面角为30∘，则AC 与平面BCD 所成角的正切值为（ ）A ．3B ．32C ．33D ．367．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）A ．0.96B ．0.94C ．0.78D ．0.758．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )，且当x ∈[―2,0]时，f (x )=(12)x ―1，若在区间(―2,6]内函数g (x )=f (x )―loga (x +2)(a >1)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2]B ．(1,34)C ．(34,2)D ．(2,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知实数a 、b 、c 满足1b <1a <0<c 则下列选项正确的是（ ）A ．cb <ca B ．bc <acC ．a 2c <b 2cD ．a +1b <b +1a10．已知在以C (2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC 中，顶点A ，B 都在直线x ―y =2上，下列判断中正确的是（ ）A ．斜边AB 的中点坐标是(72,32)B ．|AB |=32C ．点C 关于直线AB 的对称点的坐标是(5,0)D ．△ABC 的面积等于411．在棱长为1的正方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ）A ．异面直线DD 1与B 1F 所成角的正切值为14B ．当三棱锥B 1―BEF 的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3πC ．过点D 1，F ，F 的平面截正方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1所得的截面周长为13+22解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2【参考答案】贵阳市第三实验中学2024-2025学年度第一学期学业质量监测第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. ）1．C 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．AD 10．ABC 11．CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．213．25314．32024四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）由余弦定理可得BC2=AB2+AC2―2AB⋅ACcos∠BAC=4+1―2×2×1×cos120∘=7，则BC=7，…………6分由正弦定理可得sin∠ABC=AC⋅sin∠BACBC =1×327=2114.（2）由三角形面积公式可得S△ABD=12AB⋅AD sin90∘S△ACD=12AC⋅AD sin30∘=4，…………9分则S△ABD=45S△ABC=45×(12×2×1×sin120∘)=235.…………13分16．（1）解设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)=40200=15，…………3分不处罚时，员工迟到的概率为80200=25.…………6分∴当罚金定为100元时，员工迟到的概率比不进行处罚时降低15.…………7分（2）由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，…………8分设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工中采用按比例分配分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M，则事件M中首先抽出A1的样本点有(A1,A2,B1,B2)，(A1,A2,B2,B1)，(A1,B1,A2,B2)，(A1,B1,B2,A2)，(A1,B2,A2, B1)，(A1,B2,B1,A2)，共6个，同理，首先抽出A2，B1，B2的样本点也各有6个，故事件M共有4×6=24（个）样本点，…………12分设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1,B2,A1,A2)，(B1,B2,A2,A1)，(B2,B1,A1,A2)，( B2,B1,A2,A1)，共4个样本点，…………14分∴P(N)=426=16.∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是16.…………15分17．（1）解由图可知，A=2―(―2)2=2，…………1分函数f(x)的最小正周期为T=2×(2π3―π6)=π，∴ω=2πT=2.…………3分∴f (π6)=2sin(2×π6+φ)=2，∴sin(φ+π3)=1，则φ+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，∴φ=π6+2kπ，k ∈Z ，∵|φ|>π2，∴φ=π6，…………6分故f (x )=2sin(2x +π6).…………7分（2） 将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，可得到函数y =2sin(4x +π6)的图象，…………9分再将得到的函数图象向左平移π24个单位长度，最后得到函数y =g (x )的图象，则g (x )=2sin[4(x +π24)+π6]=2sin(4x +π3)，…………11分当0≤x ≤π8时，π3≤4x +π3≤5π6，则12≤sin(4x +π3)≤1，1≤g (x )≤2，…………14分所以g (x )在区间[0,π8]上的值域为[1,2].…………15分18．（1） 证明 ∵AB //CD ，AB⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB //平面PDC .…………4分（2） 解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，AB //DC ，AD ⊥DC ，AB =5，AD =4，DC =3，∴BC =42+(5―3)2=25，又PB =PC =3，∴点P 到直线BC 的距离为32―5=2，∵平面PBC ⊥平面ABCD ，∴点P 到平面ABCD 的距离为2…………6分以D 为原点，以DA ，DC 及平面ABCD 过D 的垂线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（图略）.∴A (4,0,0)，B (4,5,0)，C (0,3,0)，P (2,4,2)，∴PB =(2,1,―2),AB =(0,5,0),CB =(4,2,0)，…………7分设平面APB 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⋅→PB =2x 1+y 1―2z 1=0,m ⋅→AB =5y 1=0,令x 1=1，则y 1=0,z 1=1，则m =(1,0,1)，…………8分设平面PBC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，则{n ⋅→PB =2x 2+y 2―2z 2=0,n ⋅→CB =4x 2+2y 2=0,令x 2=1，则y 2=―2,z 2=0，则n =(1,―2,0)，…………9分设平面APB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ,n ⟩|=|m ⋅n ||m ||n |=12×5=1010.…………10分∴平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值为1010.…………11分（3） 解 假设棱BC 上存在点Q 到平面APB 的距离为1010，设CQ =λCB =λ(4,2,0)=(4λ,2λ,0)，λ∈[0,1]，∴Q (4λ,2λ+3,0)，…………13分∴AQ =(4λ―4,2λ+3,0)，…………14分由（2）知平面APB 的一个法向量为m =(1,0,1)，∴点Q 到平面APB 的距离d =|AQ ⋅m ||m |=|4λ―4|2=66，…………15分∴|4λ―4|=33，∴λ=1―312，…………16分∴棱BC 上存在点Q 到平面APB 的距离为66，CQCB =1―312.…………17分19．（1） 【详解】对于①，假设a 与b 线性相关，则存在不全为零的实数k 1，k 2使得k 1a +k 2b =0，则{―k 1―2k 2=0k 1+2k 2=0，即k 1+2k 2=0，可取k 1=2，k 2=―1，所以a ，b 线性相关，…………2分对于②，假设a ，b ，c 线性相关，则存在不全为零的实数k 1，k 2，k 3使得k 1a +k 2b +k 3c =0，则{―k 1―2k 2+3k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2―4k 3=0，得k 1+2k 2=0，k 3=0，可取k 1=2，k 2=―1，所以a ，b ，c 线性相关.…………5分（2） 假设α1―α2，2α2―3α3，3α3―4α4，4α4―α1线性相关，则存在不全为零的实数k 1，k 2，k 3，k 4，使得k 1(α1―α2)+k 2(2α2―3α3)+k 3(3α3―4α4)+k 4(4α4―α1)=0，则(k 1―k 4)α1+(2k 2―k 1)α2+(3k 3―3k 2)α3+(4k 4―4k 3)α4=0，…………7分因为α1,α2,α3,α4线性无关，所以{k 1―k 4=02k 2―k 1=03k 3―3k 2=04k 4―4k 3=0，得k 1=k 2=k 3=k 4=0，矛盾，所以向量α1―α2,2α2―3α3,3α3―4α4,4α4―α1线性无关.…………10分（3） 设α=(a 1,a 2,⋯,a n ),β=(b 1,b 2,⋯,b n )，则α+β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋯,a n +b n ).…………11分所以|α+β|2=(a 1+b 1)2+(a 2+b 2)2+⋯+(a n +b n )2，…………12分又α⋅β=(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ).…………13分所以|α+β|2―4a ⋅β=(a 1+b 1)2+(a 2+b 2)2+⋯+(a n +b n )2―4(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )=(a 1―b 1)2+(a 2―b 2)2+⋯+(a n ―b n )2≥0.…………15分当且仅当a 1=b 1,a 2=b 2,⋯,a n =b n 同时成立时，等号成立，…………16分所以|α+β|2≥4α⋅β…………17分。
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知非零向量，满足，且，则与夹角为（ ）AB.C.D.3. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（ ）A. 8人B. 10人C. 12人D. 18人4. 若数据的平均数为，方差为，则的平均数和标准差分别为（ ）A. ，sB. 4-3，sC. 4-3，4sD. 4-3，5. 在△ABC中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形6. 函数是A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2C. 奇函数，且最大值为D. 偶函数，且最大值为7. 如图，圆O 所在平面，是圆O 的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（ ）的.2i13i --a b 2a b = ()a b b -⊥ a bπ6π32π35π612,,n x x x x 2s 1243,43,,43n x x x --- x x x x ()cos cos 2f x x x =-9898PA ⊥AB C 3,4,5AC PA BC ===PB PACA.B.C.D.8. 已知函数．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分）9. 甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（ ）A. B. C. 事件与事件C 相互独立D. 事件A 与事件D 相互独立10. 已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是（ ）A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数在上单调递减122()2||5f x x x =-+2(log 5)a f =-0.8(2)b f =5()2c f =a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<123､､123456､､､､､()118P AB =()19P C =A ()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭5π12x =()f x ()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象D. 函数在上最小值为－111. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）A. 平面平面B. 平面C. 异面直线与所成角的取值范围是D. 三棱锥的体积不变三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）12. 设集合，集合，若，则实数_____.13. 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．14. 等腰三角形ABC 的腰，，将它沿高AD 翻折，使二面角成60°，此时四面体ABCD 外接球的体积为______．四、解答题（本题共5个题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．的()f x π6cos 2y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -P 1BC 1PB D ⊥1ACD 1//A P 1ACD 1A P 1AD π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦1D APC -{}0,1,2,3U ={}2|0A x U x mx =∈+={}1,2U C A =m =5AB AC ==6BC =B AD C --1111ABCD A B C D -20cm 40cm 30cm（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．16. 如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断四边形的形状，并求出其周长．17. 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长最大值.18. 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．19. 如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，M 是棱BB 1上一点．的1111ABCD A B C D -1O O -xOy 22OA AB == 2π3OAB ∠=(BC =-OABC ABC V ABC V [)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,150a（1）求证：B1D1∥平面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）【12题答案】【答案】-3【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题（本题共5个题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1），（2）四边形为等腰梯形，周长为8【17题答案】【答案】（1）；（2）.【18题答案】【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）120；（Ⅲ）众数100，平均为.【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）M 为棱BB 1的中点为1222000+37000πcm 52B ⎛ ⎝32C ⎛ ⎝OABC 23π3+0.003a =66%99.6。
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.483．已知为等差数列的前n 项和，，则（ ）A ．B ．85C ．170D ．3404．已知命题p ：，，则命题p 的真假以及否定分别为（ ）A ．真，：，B ．真，：，或C ．假，：，D ．假，：，或5．已知随机变量，，，，且，若，则实数（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26．集合的子集个数为（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．2B ．4C ．8D ．167．设数列满足，,，若对一切，，则实数m 的取值范围是（）()2f x x =+()()11lim2x f x f x∆→+∆-=⋅∆32345254n S {}n a 2818220a a a ++=17S =852π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x <<p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥ξη1~9,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()2~,N ημσ()()E D ξη=()21P a η≤++()21P a η≤-=a ={}e 1e xx x ∈+≤+Z {}n a 11a =()1ln 1n n a a m +=-+*n ∈N *n ∈N 2n a ≤A ．B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的单调递增的函数满足：任意，有，，则下列结论错误的是（ ）A ．当时，B ．任意，C ．存在非零实数T ，使得任意，D ．存在非零实数k ，使得任意，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等比数列的公比为q ，则下列说法正确的是（ ）A ．为等差数列B ．若且，则递增C ．为等比数列D ．为等比数列10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记为“甲累计总分为i 时，甲最终获胜”的概率，则（）A ．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B ．，C ．D ．为等差数列11．已知函数，，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．，使得在上单调递增C ．若为的极值点，则D ．，坐标平面上存在点P ，使得有三条过点P 的直线与的图象相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X 为所抽取的次品，则______．2m ≥12m ≤≤3m ≥23m ≤≤()f x x ∈R ()()112f x f x -++=()()224f x f x ++-=x ∈Z ()f x x =x ∈R ()()f x f x -=-x ∈R ()()f x T f x +=x ∈R ()1f x kx -≤{}n a {}ln n a 21a a >54a a >{}n a {}12n n a a ++22n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()0,1,2,3,4i P i =()00P =()41P =110.20.30.5i i i i P P P P +-=++{}()10,1,2,3i i P P i +-=()()2e xf x x a =-a ∈R 0a =()f x x≥a ∃∈R ()f x (),-∞+∞1x =()f x ea =a ∀∈R ()f x ()E X =13．已知实数x ，y 满足，则的最小值为______．14．设高斯函数表示不超过x 的最大整数（如，，），已知，,,则______；______．四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为，每局比赛没有平局．（1）若赛制为3局2胜，，求最终甲获胜的概率；（2）若赛制为5局3胜，记为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求的最大值及此时p 的值．16．（15分）已知数列满足，，数列的前n 项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n 项和为．18．（15分）目前AI 技术蓬勃发展，某市投放了一批AI 无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．好评差评合计青年20中老年10合计40100（2）设消费者的年龄为x ，对无人驾驶出租车的体验评分为y ．若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为，且年龄x 的方差为，评分y 的方差为．求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．附：，210x xy +-=22x y +[]x []2.12=[]33=[]1.72-=-3107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦11b a =()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N 4a =2024b =()01p p <<23p =()f p ()f p {}n a 11n n n a a a +=+112a ={}n a n S 1233n n S +=-{}n a {}n b 1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T ˆ 1.515y x =+29x s =225y s =0.75r ≥()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =独立性检验中的，其中．临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（17分）已知函数，．（1）求证：时，；（2）讨论的单调性；（3）求证：，恰有一个零点．19．（17分）已知函数，定义：对给定的常数a ，数列满足，，则称数列为函数的“—数列”．（为的导函数）（1）若函数，数列为函数的“—数列”，且，求的通项公式；（2）若函数，数列为函数的“—数列”，求证：；（3）若函数，正项数列为函数的“—数列”，已知,．记数列的前n 项和为．求证：当时，．辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷参考答案1234567891011D ABBCCACABDBCABD12．13． 14．4285；2四、解答题：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k ()()()2ln 1ln a x f x x x+=+0a >0x >2e x x >()f x 0a ∀>()f x ()f x {}n a q a >()()()1n n n f a f a f a a a+-'=-{}n a ()f x ()L a ()f x '()f x ()2f x x ={}n a ()f x ()1L -11a ={}n a ()lng x x ={}n a ()g x ()1L 11n n a a +<<()36sin h x x x =+{}n b ()h x ()L b ()1,n n b b b +∈*n ∈N {}n b n S 0b ≥()112n n S b n b b +≥-+652-15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A ，∴设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B ，∴甲胜的概率为（2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢∴，∴当，，∴在上为增函数当，，∴在上为减函数∴，此时．16．【解】（1）∵，∴，∴是以为首项，以1为公差的等差数列∴，∴∵，∴∴当，，符合上式．∴，（2）由（1）得∴∴()22439P A ⎛⎫==⎪⎝⎭()122128C 33327P B =⋅⋅=()()2027P A P B +=()()22343C 133f p p p p p p =-=-()()232912334f p p p pp '=-=-()304f p p '=⇒=30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f p '>()f p 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0f p '<()f p 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭()max 3814256f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭34p =11n n n a a a +=+1111n n a a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112a =()1111211n n d n n a a =+-=+-=+11n a n =+1233n n S +=-()12332nn S n -=-≥()11333,22n nn n n n b S S n +--=-==≥1n =2113332b S -===3n n b =*n ∈N 113nn n n a b +=()23111112131133333n n n n n T --+++++=+++⋅⋅⋅++()2311111121133333n n n n n T +-++++=++⋅⋅⋅++作差：∴17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下：好评差评合计青年203050中老年401050合计6040100因为，所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以相关系数，因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强．18．【解】（1）设，，则，易知在上递增，在上递减，所以，即．（2）定义域为，,,①时，可知恒有，此时在上递增；12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-151114346n n n T -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()221002010304016.66710.82850506040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯()10022119100xi i s x x ==-=∑()10021900ii x x =-=∑()100221125100yi i s y y ==-=∑()100212500i i y y =-=∑()()()100110021ˆ 1.5iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑()()()1001002111.5 1.59001350i i i i i x x y y x x ==--=⨯-=⨯=∑∑13500.93050r ====⨯()2e xg x x -=0x >()()2exg x x x -'=-0x >()g x (]0,2[)2,+∞()()2421eg x g ≤=<22e 1e x x x x -<⇒>()f x ()0,+∞()()222ln 2ln ln x a x a x f x x x x x--'=+=0x >0a >2a =()0f x '≥()f x ()0,+∞②时，可知时，；时，，所以此时在和上递增，在上递减；③时，同理可得在和上递增，在上递减．（3）由（2）：①时，在上递增，因为，，所以此时恰有一个零点；②时，因为的极小值为，又由（1）知，结合的单调性，可知此时也恰有一个零点；③时，的极小值为，又，结合的单调性，同样也恰有一个零点．综上，，恰有一个零点．【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分．19．【解】（1），由题意，有，则，又，所以是以2为首项、以为公比的等比数列，所以，从而．（2）由题可得，①设，，可知当时，，递减，；当时，，递增，即时，有．因为，所以，即，以此类推，可得；02a <<()0,1,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞,12a ⎛⎫⎪⎝⎭2a >()f x ()0,1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2a =()f x ()0,+∞()120f =>()22e 42e 0f -=-<()f x 02a <<()f x ()10f a =>211111e 1e 0a a f a --+⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 2a >()f x 22ln 2ln 1ln 1102222a a a a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22e 42e 0f -=-<()f x ()f x 0a ∀>()f x ()()22f x x f x x '=⇒=211211n n n n a a a a +-==-+()11112n n a a ++=+112a +={}1n a +122112n n a -+=2112n n a -=-1ln 11n n n a a a +=-()ln 1x x x ϕ=-+()11x xϕ'=-1x >()0x ϕ'<()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <<()0x ϕ'>()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <≠ln 1x x <-11a >1111ln 10111a a a a -<<=--221011a a <<⇒>1n a >②由时：从而，即．综上：．（3）先证的唯一性．令，则∵，∴．∵，∴时，递增，递增，所以这样的是唯一的，且当时，，递减；时，，递增．下证：．令，，则，，∵，∴，∴，递减，递增∴即．取，得，即．累加可得．01x <≠111ln 1ln1ln 1x x x x x x<-⇒<-⇔>-111ln 1111n n n n n n a a a a a a +-=>=--1111n n n na a a a ++>⇒<11n n a a +<<1nb +()()()()()0n n h b h b H x h x x x b b-=-≥-()()n H b H b =()()()1n n n h b h b h b b b+-'=-()10n H b +'=()()()61cos 0H x h x x ''''''==-≥[)0,x ∈+∞()()()6sin H x h x x x ''''==-()0H x ''≥()H x '⇒1n b +[)10,n x b +∈()0H x '<()H x ()1,n x b +∈+∞()0H x '>()H x 12n n b b b ++<()()()12n x H x H b x ϕ+=--[)10,n x b +∈()()()12n x H x H b x ϕ+'''=+-()()()12n x H x H b x ϕ+''''''=--[)10,n x b +∈12n b x x +->()0x ϕ''<()x ϕ'()()()10n x b x ϕϕϕ+''>=⇒()()10x bn ϕϕ<+=()()12n H x H b x +<-[)10,n x b b +=∈()()()()111222n n n n n H b H b b H b H b b b b b +++<-⇒<-⇒<-12n n b b b ++<()112n n S b n b b +≥-+。
广东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题数学答案
广东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 参考答案与评分标准【选择题、填空题答案】【部分试题解析】7．【解析】如图，因为，所以，且，即．又平分，所以（内错角），所以，因为，所以，，所以，，所以，在中，由余弦定理有，即，所以，8．【解析】记，，则．24CB F A =2//CB F A 114F B F A =13AB F A =2BF 1F BC∠1222F BF F BC BF A ∠=∠=∠213F A AB F A ==212F A F A a -=1F A a =23F A AB a ==14F B a =22F B a =2121cos 23F B F BF AB ∠==12BF F ∆222121212122cos F F F B F B F B F B F BF =+-⋅∠()()()222214424224233c a a a a a =+-⋅⋅⋅=222113c e a ==e ==()g x =12x >()0g x '==>从而在上单调递增，且当时，故；当时，故，此时单调递增．所以，，因为，所以，即，综上，．11．【解析】依题意，将沿直线翻折至，连接，由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故，又在平面内的射影在线段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面．平面，平面，平面，，，，，且即为二面角的平面角．图1图2对于选项，恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长度为，故正确；对于选项，即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，故正确；()g x1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭112x<<()()10g x g<=()0f x<1x>()()10g x g>=()0f x>()(f xg x=()ln20a f=<25ln1ln52b f f⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5511ln22<+<()55011ln22f f f⎛⎫⎛⎫=<+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b c<<a b c<<AMN∆l AMN∆AA'AA MN'⊥A'BCMN H BCA H'⊥BCMN MN⊂BCMN A H MN'⊥AA AH A'='AA'⊂A AH'AH⊂A AH'MN⊥A AH'AO⊂A AH'A O'⊂AAH A H'⊂A AH'AO MN⊥A O MN'⊥A H MN'⊥90AOM∴∠=︒A OH∠'A MN B'--A MN AO⊥O AM ABC∆1236ππ⨯=CB A OH∠'A MN B'--A DH A OH∠'∠'…B对于选项，由题意可知，为与平面所成的线面角，故由线面角最小可知，故错误；对于选项，如图2所示，设，在中，，，在中，，所以，设直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号，故正确．14．【解析】，，，即，又，则，，，且，，，，，即．15．【解析】解：（1）当时，，，，（2分），，（4分）所以的图像在处的切线方程为，即．（6分）（2）法一：，，（7分）当时，，在上单调递减，，不合题意；（9分）C A DH ∠'A D 'BCMN A DH A DC ∠'∠'…A D (,32AMN ππθ∠=∈AOM ∆90AOM ∠=︒ sin sin AO AM θθ∴==ABH ∆,2cos AB B AH BAH π∠===∠sin OH AH AO θ=-=-A O 'BCMN αcos 11113OH AO α==-=--= (523212)πππθθ-=⇒=D 11a = 2112n n n a a a +=+∴()1111222n n n n n a a a a a +==-++11112n n n a a a +=-+1222n n n a a a =-++22024121212202420411120242222222a a a a a a a a a ⎛⎫++⋯+=-++⋯+ ⎪++++++⎝⎭ 122320242025202520251111112202422024220222a a a a a a a a ⎛⎫=--+-+⋯+-=-+=+ ⎪⎝⎭2112n n n n a a a a +=+> 232a =32128a =>∴20252a >()20250,12a ∈∴2025202220222a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦2022204241122022222a a a a a a ⎡⎤++⋯+=⎢⎥+++⎣⎦2a =()2ln f x x x =-0x >()12f x x'=-()12f =()11f '=()f x ()()1,1f 21y x -=-1y x =+[]1,x e ∈()11ax f x a x x-'=-=1a e≤()0f x '≤()f x []1,e ()10f e ae =-≤当时，，在上单调递增，，符合题意；（10分）当时，，在上，单调递减，在上，单调递增，在处取得极小值，，符合题意；（12分）综上所述，实数的取值范围是．（13分）法二：因为，所以等价于，．（8分）设，，则，所以在上单调递增，（11分）在处取得最大值，所以实数的取值范围是．（13分）16．【解析】（1）证：法一：因为，所以有，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以有，再由正弦定理可得．（4分）法二：将余弦定理代入，可得，即，整理得．（4分）（2）解：由题意知外接圆的半径，由正弦定理得，所以．（6分）由（1）知，所以，即，因为，，所以，．（9分）由余弦定理得，（11分）所以．（13分）所以（15分）1a ≥()0f x '≥()f x []1,e ()()10f x f a ≥=>11a e <<11e a<<11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '>()f x ()f x 1x a =()f x ≥11ln 0f a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0x >()0f x >ln xa x>[]1,x e ∈()ln x g x x =[]1,x e ∈()21ln 0xg x x -'=≥()g x []1,e ()g x x e =()max 1g g e e ==a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭22cos cos 1b b B C c c+=22cos cos bc B b C c +=()sin cos sin cos sin b C B B C c C +=()sin sin b B C c C +=B C A π+=-()sin sin B C A +=sin sin b A c C =2c ab =22cos cos 1b c b B C c +=22222222122b a c b b a b c c ac c ab+-+-⋅+⋅=()222222212b a c b a b c ac⋅+-++-=2c ab =1R =2sin 2sin c R C C ==2222a b c -=2c ab =2220a ab b --=()()20a b a b -+=0a >0b >2a b =222c ab b ==2222222423cos 244a b c b b b C ab b +-+-===sin C =2sin c C ==31sin 244abc c S ab C ====17．【解析】解：（1）当时，，，．（1分）当时，，（2分）因为，所以，，（3分）故的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，当为奇数时，；当为偶数时，．所以对，．（5分）（2）法一：，（6分），，（7分），（8分）所以．（9分）法二：，（7分）所以．（9分）（3）由（2）的结论，原不等式等价于，等价于，．（10分）记，则，（12分）当时，当时，故当时取得最大值，（14分）所以实数的取值范围是．（15分）1n =12114a a S +=2114a +=23a =2n ≥1114n nn n n n n a a a a a S S +---=-=0n a ≠114n n a a +--=2n ≥{}n a 4n 11212n n a a d n -=+=-n 22212n n a a d n -=+=-*n N ∈21n a n =-2122n n n na nb -==21321...222nn n T -=+++12311321 (2222)n n n T +-=+++123111111111222211213121221...12222222222212n n n n n n n n n n T -++-+⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=++++-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-21212333222n nnn n n T --+=--=-12121232222n n n nn n a n n n b --++===-213557212323...31222222n n nn n n n T -+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8232232n nn λ-+⋅+≥-828231223222nn n n n n λ--+---≥=*n N ∀∈282232n n n n c ---=11262822522322n n n n n n n n c c ++-------=-()()1126262254223672=22n n n n n n n n ++-------+-=1,2,3n =10n n c c +->4n ≥10n n c c +-<4n =n c 45c =λ[)5,+∞18．【解析】（1）解：因为，所以，，又因为椭圆过点，所以，解得，所以，，椭圆．（3分）（2）证：联立得，（4分），设，则，．（6分）所以，所以．（7分）（是关键步骤，用点差法或直接使用切线公式不给分，阅卷时要注意学生是否“骗分”．）（3）解：在（2）中令，则可得，，设，则有，，（8分）从而，，（10分）点到直线的距离（11分）由（2）知，且由题意知，，所以．（12分）（13分）法一：设，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，（15分）e =a =2222b a c c =-=C)222112c c+=22c =24a =22b =22:142x y C +=2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩()()222214240k x kmx m +++-=()228420k m ∆=+-=()00,P x y 02221km x k =-+0221my k =+00012y k x k ==-012k k ⋅=-0∆=1m =-()2221420k x kx +--=()2841k ∆=+()()1122,,,A x y B x y 122421k x x k +=+122221x x k =-+()()()()22212121222841421k x x x x x x k+-=+-=+2AB x =-=P AB d 22422m k =+>0k <0m >m >12PABS AB d ∆=⋅=()()()3411x x f x x-+=x >()()()25212x x f x x+-'=-)x ∈()0f x '>()f x ()2,x ∈+∞()0f x '<()f x ()f x 2x =()27216f =故当且仅当，即，时，（答其一即可，未声明扣1分）．（17分）法二：，（15分）当且仅当，即，，时，（未声明扣1分）．（17分）19．【解析】（1）解：，．（1分）因为，，所以，即，．（2分）令，则，在上，，单调递减；在上，，单调递增，（3分）因为，，，所以在上存在唯一零点，在上无零点，（4分）即在上存在唯一解，所以在上的中值点有且仅有1个．（5分）（2）解：不妨设，则，故有，即，即，因为上式对任意都成立，所以函数和在上均单调递增，等价于，，，（8分），当时，，单调递减；2m =k =)P PAB S ∆PABS ∆=≤=()311m m -=+2m =k =)P PAB S ∆()21x F x e x tx =-+-()2x F x e x t '=-+()00F =()12F e t =+-()()()010210F F F x e t -'==+--0022x e x e -=-()00,1x ∈()22x h x e x e =--+()2x h x e '=-()0,ln 2()0h x '<()h x ()ln 2,1()0h x '>()h x ()ln 222ln 220h e =--+<()030h e =->()10h =()h x ()0,ln 2()ln 2,10022x e x e -=-()0,1()F x ()0,112x x >()()12f x f x >()()()()1212f x f x g x g x ->-()()()()()()211212f x f x g x g x f x f x -<-<-()()()()()()()()11221222f x g x f x g x f x g x f x g x ⎧+>+⎪⎨->-⎪⎩()120,1,x x ∈()()()F x f x g x =-()()()G x f x g x =+()0,1()20x F x e x t '=-+≥()20x G x e x t '=+-≥()0,1x ∀∈()2x F x e ''=-()0,ln 2x ∈()0F x ''<()F x '当时，，单调递增．所以，从而．（10分），在上单调递增，所以，从而．（11分）综上所述，实数的取值范围是．（12分）（3）证：，，，（13分）由拉格朗日中值定理知，在或上总存在，使得，即．（15分）由（2）知，所以，所以．（17分）【注】此问也可直接求导证明，或者令转而证明，但都会遇到或处无定义的情况，需要谨慎讨论，可用洛必达法则求得极限；当然也可去分母再作差构造函数证明，此时需要分类讨论不等号方向；还可进一步利用“对数单向狗，指数找朋友”作变形构造，但都相对繁琐．阅卷时此类解法也可酌情给分．()ln 2,1x ∈()0F x ''>()F x ''()()ln 222ln 20F x F t ''≥=-+≥2ln 22t ≥-()20x G x e ''=+>()G x '()0,1()()010G x G t ''>=-≥1t ≤t []2ln 22,1-()2ln ln ln 1F t t t t t =-+-()00F =()2x F x e x t '=-+()()0,ln 1t t >()()ln ,001t t <<0x ()()()0ln 0ln 0F t F F x t -'=-0012ln ln x t e x t t--=-()122ln 22x p x x e =-≤-00222ln 2x e x -≥-1ln 22ln 2ln t t t--≥-ln 0x t =≠122ln 2x e x x--≥-1t =0x =。
黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集U R =，集合A {2,1,=--0，1，2}，2B {x |x 4}=≥，则如图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{2,1,--0，1}B ．{}0C ．{}1,0-D ．{1,-0，1}【答案】D【解析】由题意知{22}B x x x =≥≤-或，所以U B {x |2x 2}=-<<ð，则阴影部分为()U A B {1,⋂=-ð0，1} 【详解】由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U A B ⋂ð，2B {x |x 4}{x |x 2=≥=≥Q 或x 2}≤-，A {2,1，=--0，1，2}，U B {x |2x 2}∴=-<<ð，即()U A B {1,⋂=-ð0，1}故选D ． 【点睛】本题考查Venn 图及集合的交集和补集运算，属基础题．2．在一组样本数据为11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y （2n ≥，1x ，2x ，3x ，L ，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n =L 都在直线123y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为（ ） A ．13- B ．13C ．1D ．-1【答案】D【解析】根据回归直线方程可得相关系数． 【详解】根据回归直线方程是y 13=-x +2， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r |＝1， ∴相关系数r ＝﹣1． 故选D ． 【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．3．将曲线y =sin 2x 按照伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到的曲线方程为（ ）A ．3sin 2y x ''=B ．3sin y x =''C ．13sin2y x ='' D ．1sin 43y x '=' 【答案】B【解析】根据23x xy y'=⎧⎨'=⎩反解,x y ,代入2y sin x =即可求得结果.【详解】由伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩可得:1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入曲线2y sin x =,可得: 13y sinx ''=,即3y sinx ''=.故选:B . 【点睛】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.4．在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知()1i 13i z +=+，则复数z 的虚部为（）A ．1B ．i-C ．1-D ．i2．一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（）A ．14B ．15C ．23D ．253．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，G 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且12OP PG = ，则AP = （）A ．211999a b c-++ B ．811999a b c--C ．811999a b c-++ D ．211999a b c-- 4．已知随机事件A 和B 互斥,且()0.6P A B ⋃=,()0.3P B =,则()P A 等于（）A ．0.8B ．0.7C ．0.5D ．0.25．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为()0,1,1s =，则点()4,3,2P 到l 的距离为（）A ．2B C ．2D 6．双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦点，一条渐近线的方程为20x y -=，则双曲线C的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．221936y x -=C ．221936x y -=D ．2214y x -=7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若A 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=8．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F ，交C 于A ，B 两点，且2ABF △的内切圆的面积是π，若椭圆C 的离心率的取值范围为63⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．[]6,12C ．[]4,8D ．⎡⎣二、多选题9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是A ，BC 中点，则（）A ．1//BC 平面1B DEB ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45 C ．平面1A AF ⊥平面1B DED ．点E 到平面11A DF 的距离为410．已知点P 是左、右焦点为1F ，2F 的椭圆C ：22184x y+=上的动点，则（）A ．若1290F PF ∠=︒，则12F PF 的面积为B ．使12F PF 为直角三角形的点P 有6个C ．122PF PF -的最大值为6-D ．若11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1PF PM +的最大、最小值分别为52和5211．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12FQ F Q ⊥，则Q C ∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <三、填空题12．已知点(2,1)P 在角θ的终边上，则sin(2π)π1sin(2)2θθ-=+-.13．若()()21ln21x f x x a x -=+⋅+为偶函数，则实数a =.14．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，I 为12F PF 的内心，1F ，I ，G 三点共线，且0GP IP ⋅=，x 轴上点A ，B 满足AI IP λ= ，BG GP μ=，则12e e 的最小值为；225λμ+的最小值为.四、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线10x y -+=上，且与直线20x y +=相切于坐标原点．(1)求圆M 的标准方程；(2)经过点()0,2A 的直线l 被圆M截得的弦长为l 的方程．16．已知三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin sin sin A C a cA Cb c+-=+-，且2a =.(1)若π6B =，求c ；(2)点D 在边BC 上且AD 平分BAC ∠，若AD =ABC 的周长.17．椭圆C ：()2222 1 0x y a b a b +=>>过点P1）且离心率为3，F 为椭圆的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，定点(4,0)A -．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AMN 面积为MN 的方程．18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(1)证明：//DE 平面PAB ；(2)若直线PF 与平面PAB 所成的角为60o ，①求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.②平面ADE 将四棱锥P ABCD -分成上、下两部分，求平面ADE 以下部分几何体的体积.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为12y x =±.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)双曲线的左､右顶点分别为12A A ､，过点()3,0B 作与x 轴不重合的直线l 与C 交于P Q ､两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，直线1AQ 与2A P 交于点T .（i ）设直线1A P 的斜率为1k ，直线2A Q 的斜率为2k ，若12k k λ=，求λ的值；（ii ）求2A ST 的面积的取值范围.。
广东省深圳市龙岗区广东实验中学深圳学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
2024-2025学年秋季学期高二年级第一次段考数学试题2024.10本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D.2.直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（ ）A. B.C.或 D.或3.已知直线，直线，若，则与的距离为（）4.已知空间向量，，则在的投影向量（ ）A. B.C. D.5.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）(3,8,5)P --xOy (3,8,5)--(3,8,5)-(3,8,5)(3,8,5)--l (1,2)l 20x y -=240x y +-=20x y -=240x y +-=20x y -=220x y +-=1:20l x y -=2:30l x ay --=12//l l 1l 2l (1,3,2)a =r (2,1,2)b =r a r b r c =r(2,1,2)(6,3,6)(1,2,1)m =-r (,1,)n t t =-r m ⊥r αn ⊥rβαβtA.或 B.或1 C.或2 D.6.在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）A.B.C.D.17.经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）A.B.二、多选题：本题共3小题，共18分。
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实验中学高二下学期第四次数学作业
1、x x y ln =在（0，5）上是 （ ）
A 单调增函数
B 单调减函数
C 在（e 1,0）上是递减函数，在（5,1e
）上是递增函数D 在（e 1,0）上是递增函数，在（5,1e
）上是递减函数 2、函数
c bx ax x x f +++=23)(，其中a 、b 、c 为实数，当032<-b a 时，)(x f 是
A 增函数
B 减函数
C 常数
D 既不是增函数也不是减函数 3、若x
x
x f ln )(=，b a e <<，则 （ ） A
)()(b f a f >
B
)()(b f a f =
C )()(b f a f <
D 1)()(>⋅b f a f 4、函数)(x f '的导函数的图像如图所示， 则函数)(x f 的单调增区间为。
5、函数x x x f sin 1)(-+=在)2,0(π上是（ ） A 增函数 B 减函数
C 在),0(π上递减，在)2,(ππ上递增
D 在),0(π上递增，在)2,(ππ上递减 6、若4)(2
3
+-=ax x x f 在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A 3≥a B 3=a C 3≤a D 30<<a
7、已知0>a ，函数ax x x f -=3
)( 在区间 [)+∞,1上是单调增函数，则a 的最大值是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3 8、函数x x x y sin cos -= 在下列哪个区间内是增函数（ ）
A ⎪⎭⎫
⎝⎛23,2ππ B ()ππ2, C ⎪⎭
⎫
⎝⎛25,23ππ D ()ππ3,2 9、函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）
A ．),(1
+∞-e
B ．),(1
--∞e
C ．),0(1
-e D ．),(+∞e
10、函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
11、函数ln y x x x =+的单调递减区间是
（ ）
A ．2
(,)e --∞
B ．2
(0,)e -
C ．2
(,)e -+∞
D ．2
(,)e +∞
12、下列函数中，在x ∈(0,1)上单调递增的有（ ）个 ①y=x2-5x+6;②y=-x2+2;③y=x x ;④y=sinx-x;⑤y=lnx;⑥y=x-x
1
13、已知函数()x f ,(R x ∈)上任一点(0x ,()0x f )处的切线斜率为k=()()2
0012+-x x ，则
该函数的单调递减区间为( )
A [)∞+- 1
B (]2 ∞-
C ()1-∞- 和（1 2）
D [)∞+ 2
14、已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示
))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中
)(x f y =的图象大致是（ ）
15、已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图，则
)(x f y =：
A ．在(-∞，0)上为减函数
B ．在x=0处取得最大值
C ．在（4，+∞）上为减函数
D ．在x=2处取得最小值
二.填空题
16、函数x x x f ln 2)(2
-=的单调减区间是__________.
17、函数()3
f x kx x =-在R 内是减函数，则k 的取值范围是________________
18、如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是
8+-=x y ，则)5()5(f f '+= 。
19、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当
0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)2
1
(=-g 则不
等式0)()(<x g x f 的解集是___________________=
20、已知函数2
2
()ln (0),f x x a x x x
=++>若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；。