2014年高考数学二轮复习精品资料 难点12 新定义问题学案(含解析)

2014年高考数学二轮复习精品资料难点12 新定义问题学案（含解析）
随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点．
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐．
纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨：
1 以新课标内容为背景
以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．
一、新定义集合
所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．
例1．【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】
定义：关于x的不等式x A B
-<
的解集叫A的B邻域．已知2
a b
+-的a b
+邻域为区间()
2,8
-
，其中a、
b分别为椭圆
22
22
1
x y
a b
+=
的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线
245
y x
=的焦点重合，则椭圆
的方程为（）
A．
22
1
83
x y
+=
B．
22
1
94
x y
+=
C．
22
1
98
x y
+=
D．
22
1
169
x y
+=
二、新定义函数
例2．【江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第一次月考】（12分）若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a<b），则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．
①设g(x)＝1
2x2－x+
3
2是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值;
②问是否存在常数a，b（a>－2），使函数h(x)=
1
2
x 是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出
a，b的值，否则，请说明理由．
思路分析：①根据信息找到b所满足的等式即可求出b的值，一定要先判断函数在闭区间上的单调性；②先假设存在题目要求的常数，根据“四维光军”函数的特性去找到此常数能得到的结论，推出矛盾即可说明这样的常数是不存在的，这是一种逆向思维的题目，首先假设存在，由存在得出矛盾，则可知存在不成立．
即1
212b a a b ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩，解得a b =，这与已知矛盾．………………………………………………………………12分
例3．【2013山东理16】定义“正对数”：
0,01
ln ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨
≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=；②若0,0a b >>，则
ln ()ln ln ab a b +++
=+； ③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a
a b b +++≥-；④若0,0a b >>，则
ln ()ln ln ln 2a b a b +++
+≤++ 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）
思路分析：正确理解信息，结合所学的对数的相关知识解决问题．
点评：本题主要考查新定义问题，考查学生的创新意识及创新能力．
（1）若三角形
012F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程（节选）
．
点评：本题是由两个半椭圆复合而成的图形，关键在于“果圆”方程中的a ，b ，c 的关系，结合等边三角形的性质，很快便能求出相应的a ，b ，c ． 二、新定义数列
例5.【四川省邛崃市2014届高三第一次月考数学（理）试题】若数列{an}满足1an ＋1－1
an
＝d(n ∈N*，d 为
常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1xn 为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝
________.
例6．如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1
+-=i m i
a a （12i m
= ，，，），我们称其为“对称数列”．
（1）设
{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234
b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的
每一项； （2）设
{}n c 是49项的“对称数列”，其中25
2649
c
c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求
{}n c 各项
的和S ．
点评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，而所考查的还是课本中数列的基本知识．
1．2 定义新运算型
例7．【湖南省四校2014届高三上学期第三次联考数学（理）】 在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对
任意2x >，不等式()
2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
(7,⎤-∞⎦ B ．(3,⎤-∞⎦
C ．17,⎡⎤-⎣
⎦
D ．
()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣
例8．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：
‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．
其中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．3 定义新法则型
例9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )
A．4，6，1，7 B．7，6，1，4 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7
2 以高等数学为背景
本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．
例10．已知不等式n
n n 其中],[log 21
131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大
整数．设数列
}{n a 的各项为正，且满足
,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na a b b a n n n
（Ⅰ）证明
,5,4,3,][log 222=+<
n n b b
a n ；
（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有
.
51
<n a
例11．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则
称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数
()11124x x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，若函数
()
f x 在[
)
0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
例12．已知ABC ∆的三个顶点
()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ．定义三阶行列式
23123113322133
22
11
1
11
y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ---++==（当C B A 、、三点逆时针排列时，三阶行列
式D 的值为正）。

（1）若ABC ∆的三个顶点A （1，1），B （3，2），C （2，4）计算三阶行列式D 的绝对值及与ABC ∆的面积，你发现二者之间有什么关系？
（2）若ABC ∆的顶点A 在直线x y =上运动，顶点()8,6B ，顶点C 在线段()532≤≤=x x y 上运动，且
B C A 、、三点的横坐标成等差数列，请问ABC ∆的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，
说明理由．
例13．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的
正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m
h x g x m <-<⎧⎨
<-<⎩
则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为D={}
1
x x >的四组函数如下：
①2()f x x =，()g x x =；②
()102x
f x -=+，()
g x =23
x x -； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1
ln x x x +；④22()1x f x x =+，
()2(1)x
g x x e -=--． 其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．③④
点评：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 进行做答，是
一道好题，思维灵活． 3 以跨学科为背景
本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算．
例14．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序
号，并令
1234
1234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(Ⅰ)写出X 的可能值集合； (Ⅱ)假设
1234,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
例15．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义
为:
1()-
污物质量
物体质量含污物)为0．8，要求洗完后的清洁度是0．99．有两种方案可供选择，方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a≤3)．设用x 单位质
量的水初次清洗后的清洁度是0.8
1x x ++(1x a >-)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a ++，其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度．
(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
a a y a a x -=->-=52,1152，故
a c 5101
1-
=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别
11。