02第二讲：运动方程的建立

1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静 力问题，静力问题中用来建立平衡方程的方法，都可以用于建立动力问题的控制方程，使 对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的 最直接、最简便的方法。 D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。
y
ky
W y my
1）刚度法：
m
2）柔Hale Waihona Puke Baidu法：
m
W yst
y yst yd
kyst W yst 0
d 0 kyd my 0 ky my
研究作用于被隔离的质量上的力， 建立平衡方程，需要用到刚度系数。 适用于超静定结构，查表（形常数）
V
多自由度体系： 动能
V
位能
1 k 2 2
W — 作用于体系上非保守力 作用于体系上非保守力( (包括阻尼力及任意外荷载 包括阻尼力及任意外荷载) )所做的功 所做的功； ； δ— 在指定时间段内所取的变分。
对于静力问题 :δ（V −W) = 0 —最小势能原理。
1 j2 T m ju 2 j
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ ky my 2）柔度法： y ky 惯性力
F i m y
M点位移
y Fi m y
ky 0 my
y 0 m y
1
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第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
y yst yd k ( yst yd ) m( yst yd ) W 0
δ
y
k
P 1
ky
my
f D cu
单质点体系的受力分析
k
1
f s ku

cu ku p(t ) mu
X 0
ky 0 my
模型1 模型2 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 例题如图所示均质刚体杆 例题如图所示 均质刚体杆，总质量为 ，总质量为m m虽然杆上的各点的位移不同，但是仍 可归结为SDOF 可归结为 SDOF问题 问题 虚位移法要点： 1)选好独立自由度 好独立自由度. .本题可选 中任一个 中任一个。 。 2)假定 假定已有位移 已有位移 3)再做虚位移 4)计算 计算虚功 虚功= =力×虚位移

t2
t1
u dt mu mu
t1 t t2
1
t2
t2 t2 du d (u ) d (u ) dt mu dt mu t1 t1 dt dt t2
对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为: :
设刚杆逆时针转一极小的角度 ，则可认为 u(x,t)=x ， 转变为单个自由度 设产生一虚位移 u ( x, t ) x 弹簧虚功： W1 ka (a ) ka2
由 W1 W2 W3 W4 0
. L2 .. L2 消去得： m CL2 ka 2 P （ 0 t） 3 3
动能：集中质量
T
位能：拉伸弹簧
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
1 2 mu 2 1 2 ku 2
转动质量
T
转动弹簧
1 2 J 2
V — 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； T — 体系的总动能； 体系的总动能；V
V
1 2 2 kij ui u j 2 i j
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 5. Lagrange方程 Lagrange方程
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
Hamilton 原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 方程，其表达式 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 如下：
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 2）柔度法：
y
ky
对于不便于计算刚度系数的体系, 也可改用结构的柔度系数来建立运动 方程.这种方法以整个体系为研究对象, 如图所示,在振动的任一时刻t，质点 m上作用的所有外力（惯性力、阻尼 力、外荷载），引起结构的变形，根 据叠加原理按静力学方法求解。 多自由度系统，可根据力法列位 移协调方程，特别注意用图乘法求柔 度系数。
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。 ）。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
2）柔度法： 例
m
y (t )
F P (t )
EI l
2l 3 11 3EI
F=1
FP (t )
l EI
11
(t ) m y
p(t )u f I u f Du f su 0
l
p(t ) f I f D f s 0 , f D cu , f s ku f I mu cu ku p(t ) mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲：运动方程的建立
( L ) cL2 阻尼虚功： W2 cL
2
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第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 就是求泛函的极值问题。 就是求泛函的极值问题 。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功 在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。 ）。变分法 变分法 是求体系能量（功）的极值。 是求体系能量（功）的极值 。体系的平衡位置是体系的稳定位置，体系的能量 取得极值, 取得极值 ,一般是极小值 一般是极小值。 。Hamilton Hamilton原理是动力学中的变分法（原理 原理是动力学中的变分法（原理）。 ）。 在任意时间区段[t1, [t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 Hamilton原理： Hamilton 原理：在任意时间区段 守力做功的变分等于0 守力做功的变分等于 0。 4. Hamilton原理 Hamilton原理
ky ky
st d ) yst yst yd m ( y y
yst 0 d y my 0 yd my
研究结构上质点的位移，建立位移协 调方程， 需要用到柔度系数。 静定结构，图乘法求δ
my
W
以质量为隔离体
my
W
以梁为对象建立位移方程
y0
W 0 ky my
y (t ) ky
W ky my
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理 3. 虚位移原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。 虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 1）刚度法：
1
p (t ) f I f D f s 0
f I mu
利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有 知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系 的运动方程
f s ku
cu ku p(t ) mu
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
(b) 弹簧 弹簧― ―质点体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
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第二讲：运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿（ 牛顿（Newton Newton） ）第二定律
F ma
物理元件： 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
W实际力 W惯性力 0
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 外力虚功：
L L
w3 p( x, t ) x dx
0 0
P0 (t ) x L2 x dx P0 (t ) L 3
惯性力虚功：
W -
4
L
0
.. m L3 .. dx x x - m L 3
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
Hamilton原理的优点： Hamilton 原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变
分代替。 分代替 。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量 因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。 。而在虚位移中， 尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。 尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量 。
(t ) Fp(t )] y (t ) 11[m y
3EI 1 (t ) y y (t ) FP (t ) 3 2ml m
单质点系的受力图
将系数代入并整理后:
虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运 算，因而比Newton 算，因而比 Newton第二定律，或 第二定律，或D’Alembert D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。 原理中需要采用的矢量运算更简便。