非简谐效应-热传导
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§3.07 晶格振动的非简谐效应 • 热膨胀 • 热传导
简谐近似下的固体，由于声子完全独立，且在固定 的晶格位置附近运动，会产生以下结果： 没有热膨胀 弹性常数不依赖于温度和压力 高温热容为常数 声子无相互作用，声子自由程和寿命都无限大 完美结构热导无限大 完美晶体红外、拉曼、布里渊、中子非弹性散 射峰宽度为0. 这些显然都有偏离。
（2） U 过程， 散射后声子动量方向翻转，对热阻有主要贡献。
在低温下发生倒逆过程的声子数目是急剧下降 的，倒逆过程的几率很小，声子与声子的碰撞 主要是正常过程。 高温下，声子与声子的碰撞主要是倒逆过程。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
根据声子理论可以得到热导率:
1 cv v 3
λ-声子的平均自由程； v- 声子平均速度。 徳拜模型中: 声子平均速度为常数。 高温区：
1 1 T n-碰撞 n
低温区： 热容急剧下降（德拜）
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
同样，反常过程除了吸收声子之外，也存在发射声 子的情形，如图。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
本章主要内容： 晶格模型 色散关系
模式密度 热学函数-热容 爱因斯坦模型 单双原子链
格波、声子
计算方法 求和变积分 德拜模型 高低温极限的分析
热膨胀
Kittel 书 P89
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
取近似下，可以得到固体热膨胀系数：
— 格临爱森常数 K0 — 晶格体变模量
—— 格临爱森定律
固体热膨胀系数与热容成正比：
当温度低于德拜温度时， 膨胀系数增长迅速，而在 更高的温度就增加的比较 慢。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 晶格的热传导
如果在晶体中存在温度梯度
单位时间内通过单位面积的热能与温度梯度正比， 能流密度 为晶体的热导系数 绝缘体中，可以不考虑电子对热传导的贡献，晶 体中的热传导主要依靠声子来完成。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
热传导的声子描述
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不 均匀的；温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较
声子散射的两类过程:
N过程 (Normal) 正常过程 U过程 (Umklapp) 倒逆过程 （1） N 过程， 散射前后声子都顺着热流方向，对热导无阻碍。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
散射前后声子 都在1BZ内。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
势能在平衡位置附近的展开：
1. 晶格的热膨胀
能量升高后，由于非 简谐作用，实际势能曲线 的平衡位置向右偏离；即 晶格常数变大，发生热膨 胀。 热膨胀是一种非简谐效应
简谐近似 （抛物线）
平衡Fra Baidu bibliotek置
实际势能
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高。 —— 这些声子通过和晶体中其它声子的碰撞，将从高密度的 热端向低密度的冷端扩散，最终达到密度相同的热平衡。
—— 因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动 — 声子 的扩散运动，相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区 。
“声子气体” 03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
简谐近似下的固体，由于声子完全独立，且在固定 的晶格位置附近运动，会产生以下结果： 没有热膨胀 弹性常数不依赖于温度和压力 高温热容为常数 声子无相互作用，声子自由程和寿命都无限大 完美结构热导无限大 完美晶体红外、拉曼、布里渊、中子非弹性散 射峰宽度为0. 这些显然都有偏离。
（2） U 过程， 散射后声子动量方向翻转，对热阻有主要贡献。
在低温下发生倒逆过程的声子数目是急剧下降 的，倒逆过程的几率很小，声子与声子的碰撞 主要是正常过程。 高温下，声子与声子的碰撞主要是倒逆过程。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
根据声子理论可以得到热导率:
1 cv v 3
λ-声子的平均自由程； v- 声子平均速度。 徳拜模型中: 声子平均速度为常数。 高温区：
1 1 T n-碰撞 n
低温区： 热容急剧下降（德拜）
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
同样，反常过程除了吸收声子之外，也存在发射声 子的情形，如图。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
本章主要内容： 晶格模型 色散关系
模式密度 热学函数-热容 爱因斯坦模型 单双原子链
格波、声子
计算方法 求和变积分 德拜模型 高低温极限的分析
热膨胀
Kittel 书 P89
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
取近似下，可以得到固体热膨胀系数：
— 格临爱森常数 K0 — 晶格体变模量
—— 格临爱森定律
固体热膨胀系数与热容成正比：
当温度低于德拜温度时， 膨胀系数增长迅速，而在 更高的温度就增加的比较 慢。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 晶格的热传导
如果在晶体中存在温度梯度
单位时间内通过单位面积的热能与温度梯度正比， 能流密度 为晶体的热导系数 绝缘体中，可以不考虑电子对热传导的贡献，晶 体中的热传导主要依靠声子来完成。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
热传导的声子描述
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不 均匀的；温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较
声子散射的两类过程:
N过程 (Normal) 正常过程 U过程 (Umklapp) 倒逆过程 （1） N 过程， 散射前后声子都顺着热流方向，对热导无阻碍。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
散射前后声子 都在1BZ内。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
势能在平衡位置附近的展开：
1. 晶格的热膨胀
能量升高后，由于非 简谐作用，实际势能曲线 的平衡位置向右偏离；即 晶格常数变大，发生热膨 胀。 热膨胀是一种非简谐效应
简谐近似 （抛物线）
平衡Fra Baidu bibliotek置
实际势能
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高。 —— 这些声子通过和晶体中其它声子的碰撞，将从高密度的 热端向低密度的冷端扩散，最终达到密度相同的热平衡。
—— 因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动 — 声子 的扩散运动，相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区 。
“声子气体” 03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质