2第02章张量分析(第01讲)
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一阶张量的记法：
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
向 L 的方向导数都存在，且有
∂f = ∂f cosα + ∂f cos β + ∂f cosγ .
第二章 张量
2.1 基本概念 2.2 矢量 2.3 张量
2.1 基本概念
张量的由来：19世纪后期由高斯（Gauss）、黎曼 （Riemann）、克里斯托夫（Christoffel）等人在发展 微分几何过程中引入。瑞西（Ricci）和勒维·奇维塔 (Levi-Civita)发展了张量分析。1916年，爱因斯坦提 出求和约定（Einstein summation convention），用于 阐述广义相对论，张量才引起人们的重视。
∂l ∂x
∂y
∂z
三元函数u = f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶
连续偏导数，则对于每一点 P ( x, y, z) ∈ G，都可
定义一个向量(梯度)
∇f
=
JJJJJG
grad f (x, y, z)
=
∂f ∂x
e1
+
∂f ∂y
e2
+
∂f ∂z
e3
此梯度是一个向量，其方向与取得最大方向导数 的方向一致，其模为方向导数的最大值.
对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v
３），可以表示为矢量OP或V。 • 由单位矢量叠加有：
V = v1e1 + v2e2 + v3e3 • 或简洁写为：(一阶张量）
V = (v1, v2, v3)
若两矢量V和U相等，可表示为：
vi = ui , i = 1, 2, 3
可简洁表示为：
vi = ui
W =U ×V
W的大小等于由U和V组成的平行四边形
的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W = U ×V = u1 u2 u3
v1 v2 v3 = e1(u2v3 − u3v2 ) + e2 (u3v1 − u1v3 ) + e3(u1v2 − u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
δ ij 的作用与计算示例如下：
(1) δii =δ11+δ22 +δ33 = 3
⎫
(2) δijδij =(δ11)2 +(δ22)2 +(δ33)2 = 3
⎪ ⎪
(3) δijδjk =δi1δ1k +δi2δ2k +δi3δ3k =δik
⎪ ⎪
(4) aijδij = a11δ11 +a22δ22 +a33δ33 = aii
• 三重标量积可写为
U ⋅ (V ×W) = ε u ijk ivjwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系 式：
εijkεist = δ δjs kt − δ δjt ks
• 可用指标方法证明：
A× (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C
A⋅ (B × C) = ( A× B) ⋅ C ∇ × (∇φ) = 0,其中φ为一标量
2.3.4 张量的运算
加减 • 两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，
其分量为两个张量对应分量的和（或差）。
相乘
• 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。 • 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶
数之和。如
cijk = aibjk
缩并
T = Tijkeie jek = Tijkδike j = Tijie j
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W为
边的平行六面体的体积或体积的负值。可
用[U，V，W]来表示。
• 三重矢量积：
U × (V ×W) = (U ⋅W)V − (U ⋅V)W
2.2.5 标量场和矢量场
• 函数 度
f (x1, x2, x3) = c 称为一个标量场，梯
gradφ
= ∇f
= e1
∂f ∂x1
+ e2
∂f ∂x2
+ e3
∂f ∂x3
= ( ∂f , ∂f , ∂f ) ∂x1 ∂x2 ∂x3
• 构成矢量场， ∇f 垂直于 f =常数的表面。
对于三元函数u = f ( x, y, z)，它在空间一点 P ( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义为
0阶张量 标量 1阶张量 矢量（向量） 2阶张量或高阶张量的来源：
① 描述一应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量 符号，具有表达简洁的特点，另外容易引入程序编制中。
坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x
轴、y轴、z轴，按规则记法为x1 轴、 x2轴、 x3轴(或e1 轴、 e2轴、 e3轴）
U ⋅V =|U ||V | cosθ |U|表示矢量U的绝对长度， θ 为矢量U和V的
夹角。
e1 ⋅ e2 =| e1 || e2 | cos 90D = 0 e1 ⋅ e1 =| e1 || e1 | cos 0D = 1
• 标量积的计算式为：
U ⋅V = (u1e1 + u2e2 + u3e3) ⋅ (v1e1 + v2e2 + v3e3) = u1v1 + u2v2 + u3v3
2.3.3 ε ijk 符号（交错张量）
• εijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1，
0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果 交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则 为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从 图解判断：
• 叉积
U ×V = ε u ijk ivjek
• 证明： U ×V = (uiei ) × (vjej ) = uivjei × ej = uivjε e ijk k = ε u ijk ivjek
=
3
ai2i
=
a2 11
+
a2 22
+
a2 33
j =1
(aii)2 = (a11 + a22 + a33 )2
2.3.2 δij 符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
⎡1 0 0⎤
δij = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
•由求和约定可得到 δii = δ11 + δ 22 + δ33 = 3
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
=
∂v1 ∂x1
+
∂v2 ∂x2
+
∂v3 ∂x3
=
∇ ⋅V
3
a b ∑ i i = aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 i =1
3
∑ aijbj = aijbj = ai1b1 + ai2b2 + ai3b3 j =1
a ∑ 2 ii
⎬ ⎪
(5) aiδij = a1δ1j +a2δ2j +a3δ3j = aj (即a1,或a2,或a3)
⎪ ⎪
(6) σijlj −λli =σijlj −λδijlj =(σij −λδij)lj
⎪⎭
ei ⋅ ej = δij
U ⋅V = (uiei ) ⋅ (vjej ) = uivj (ei ⋅ ej ) = uivjδij = uivi
v2
e3 ∂ / ∂z
v3
2.3 张量
2.3.1 指标记法和求和约定 2.3.2 δij 符号（Kronecker符号） 2.3.3 εijk 符号（交错张量） 2.3.4 张量的运算 2.3.5 坐标变换 2.3.6 笛卡尔张量 2.3.7 张量的主值和主方向
2.3.1 指标记法和求和约定
张量V用指标记法为
3
∑ = uivi i =1
• 两个垂直矢量的点积为零。 • 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得
到。 • 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，
功率由点积（ F ⋅V ）求出。
2.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手 螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等 于 |U ||V | sinθ 。标记为：
内积 • m阶张量和n阶张量的内积为m+n-2阶张量。
A⋅ B = (aijeiej ) ⋅ (bkek ) = aijbkei (ej ⋅ ek ) = aijbkδ jkei = aijbjei
挑选。
vi
，指标可以自由
• 规则1：如果在一个表达式或方程的一项 中，一种下标只出现一次，称之为“自由指 标”。
• 规则2：如果在一个表达式或方程的一项 中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑 标”，它表示从1到3进行求和。
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中，一 种指标出现的次数多于两次，则是错误 的。
下标i没有特别指明，认为它代表了三种可
能下标中的任一个。
两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到，为 分量之和：
W =U ±V = (u1 ± v1)e1 + (u2 ± v2 )e2 + (u3 ± v3)e3
或简洁表示为：
wi = ui + vi
2.2.2 标量积
矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。 • 矢量U和V的标量积定义为：
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
向 L 的方向导数都存在，且有
∂f = ∂f cosα + ∂f cos β + ∂f cosγ .
第二章 张量
2.1 基本概念 2.2 矢量 2.3 张量
2.1 基本概念
张量的由来：19世纪后期由高斯（Gauss）、黎曼 （Riemann）、克里斯托夫（Christoffel）等人在发展 微分几何过程中引入。瑞西（Ricci）和勒维·奇维塔 (Levi-Civita)发展了张量分析。1916年，爱因斯坦提 出求和约定（Einstein summation convention），用于 阐述广义相对论，张量才引起人们的重视。
∂l ∂x
∂y
∂z
三元函数u = f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶
连续偏导数，则对于每一点 P ( x, y, z) ∈ G，都可
定义一个向量(梯度)
∇f
=
JJJJJG
grad f (x, y, z)
=
∂f ∂x
e1
+
∂f ∂y
e2
+
∂f ∂z
e3
此梯度是一个向量，其方向与取得最大方向导数 的方向一致，其模为方向导数的最大值.
对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v
３），可以表示为矢量OP或V。 • 由单位矢量叠加有：
V = v1e1 + v2e2 + v3e3 • 或简洁写为：(一阶张量）
V = (v1, v2, v3)
若两矢量V和U相等，可表示为：
vi = ui , i = 1, 2, 3
可简洁表示为：
vi = ui
W =U ×V
W的大小等于由U和V组成的平行四边形
的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W = U ×V = u1 u2 u3
v1 v2 v3 = e1(u2v3 − u3v2 ) + e2 (u3v1 − u1v3 ) + e3(u1v2 − u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
δ ij 的作用与计算示例如下：
(1) δii =δ11+δ22 +δ33 = 3
⎫
(2) δijδij =(δ11)2 +(δ22)2 +(δ33)2 = 3
⎪ ⎪
(3) δijδjk =δi1δ1k +δi2δ2k +δi3δ3k =δik
⎪ ⎪
(4) aijδij = a11δ11 +a22δ22 +a33δ33 = aii
• 三重标量积可写为
U ⋅ (V ×W) = ε u ijk ivjwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系 式：
εijkεist = δ δjs kt − δ δjt ks
• 可用指标方法证明：
A× (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C
A⋅ (B × C) = ( A× B) ⋅ C ∇ × (∇φ) = 0,其中φ为一标量
2.3.4 张量的运算
加减 • 两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，
其分量为两个张量对应分量的和（或差）。
相乘
• 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。 • 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶
数之和。如
cijk = aibjk
缩并
T = Tijkeie jek = Tijkδike j = Tijie j
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W为
边的平行六面体的体积或体积的负值。可
用[U，V，W]来表示。
• 三重矢量积：
U × (V ×W) = (U ⋅W)V − (U ⋅V)W
2.2.5 标量场和矢量场
• 函数 度
f (x1, x2, x3) = c 称为一个标量场，梯
gradφ
= ∇f
= e1
∂f ∂x1
+ e2
∂f ∂x2
+ e3
∂f ∂x3
= ( ∂f , ∂f , ∂f ) ∂x1 ∂x2 ∂x3
• 构成矢量场， ∇f 垂直于 f =常数的表面。
对于三元函数u = f ( x, y, z)，它在空间一点 P ( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义为
0阶张量 标量 1阶张量 矢量（向量） 2阶张量或高阶张量的来源：
① 描述一应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量 符号，具有表达简洁的特点，另外容易引入程序编制中。
坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x
轴、y轴、z轴，按规则记法为x1 轴、 x2轴、 x3轴(或e1 轴、 e2轴、 e3轴）
U ⋅V =|U ||V | cosθ |U|表示矢量U的绝对长度， θ 为矢量U和V的
夹角。
e1 ⋅ e2 =| e1 || e2 | cos 90D = 0 e1 ⋅ e1 =| e1 || e1 | cos 0D = 1
• 标量积的计算式为：
U ⋅V = (u1e1 + u2e2 + u3e3) ⋅ (v1e1 + v2e2 + v3e3) = u1v1 + u2v2 + u3v3
2.3.3 ε ijk 符号（交错张量）
• εijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1，
0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果 交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则 为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从 图解判断：
• 叉积
U ×V = ε u ijk ivjek
• 证明： U ×V = (uiei ) × (vjej ) = uivjei × ej = uivjε e ijk k = ε u ijk ivjek
=
3
ai2i
=
a2 11
+
a2 22
+
a2 33
j =1
(aii)2 = (a11 + a22 + a33 )2
2.3.2 δij 符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
⎡1 0 0⎤
δij = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
•由求和约定可得到 δii = δ11 + δ 22 + δ33 = 3
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
=
∂v1 ∂x1
+
∂v2 ∂x2
+
∂v3 ∂x3
=
∇ ⋅V
3
a b ∑ i i = aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 i =1
3
∑ aijbj = aijbj = ai1b1 + ai2b2 + ai3b3 j =1
a ∑ 2 ii
⎬ ⎪
(5) aiδij = a1δ1j +a2δ2j +a3δ3j = aj (即a1,或a2,或a3)
⎪ ⎪
(6) σijlj −λli =σijlj −λδijlj =(σij −λδij)lj
⎪⎭
ei ⋅ ej = δij
U ⋅V = (uiei ) ⋅ (vjej ) = uivj (ei ⋅ ej ) = uivjδij = uivi
v2
e3 ∂ / ∂z
v3
2.3 张量
2.3.1 指标记法和求和约定 2.3.2 δij 符号（Kronecker符号） 2.3.3 εijk 符号（交错张量） 2.3.4 张量的运算 2.3.5 坐标变换 2.3.6 笛卡尔张量 2.3.7 张量的主值和主方向
2.3.1 指标记法和求和约定
张量V用指标记法为
3
∑ = uivi i =1
• 两个垂直矢量的点积为零。 • 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得
到。 • 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，
功率由点积（ F ⋅V ）求出。
2.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手 螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等 于 |U ||V | sinθ 。标记为：
内积 • m阶张量和n阶张量的内积为m+n-2阶张量。
A⋅ B = (aijeiej ) ⋅ (bkek ) = aijbkei (ej ⋅ ek ) = aijbkδ jkei = aijbjei
挑选。
vi
，指标可以自由
• 规则1：如果在一个表达式或方程的一项 中，一种下标只出现一次，称之为“自由指 标”。
• 规则2：如果在一个表达式或方程的一项 中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑 标”，它表示从1到3进行求和。
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中，一 种指标出现的次数多于两次，则是错误 的。
下标i没有特别指明，认为它代表了三种可
能下标中的任一个。
两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到，为 分量之和：
W =U ±V = (u1 ± v1)e1 + (u2 ± v2 )e2 + (u3 ± v3)e3
或简洁表示为：
wi = ui + vi
2.2.2 标量积
矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。 • 矢量U和V的标量积定义为：