[微分流形与微分形式]

续的.
设 f : X1 → X2 是 连 续 映 射 , 如 果 f 有 连 续 的 逆 映 射
f −1 : X 2 → X1 , 则称 f 为拓扑同胚, 称 X1, X 2 是拓扑同胚的空间.
这时 X1 中的子集 O1 是开集的充分必要条件是 f (O1) 是 X 2 中的开集.
这时我们称 X1, X 2 的拓扑结构相同.
n=1,2,
有可数基.
显然, 如果拓扑空间 X 具有可数基, 则 X 的任意子空间也有可
数基, 因而特别的, Rn 中的子空间都有可数基.
例 5: 令 X 为[0,1]中所有点构成的集合, 并按上面例 1, 将其所有 子集都作为开集, 这时, X 的每一个点都是 X 的开集, 而 X 的点是 不可数集, 因而 X 无可数基.
如果 S ⊂ X 是拓扑空间 X 的任意子集, 令 T (S) = {O ∩ S | O是X的开集}.
则{S,T (S )} 也是一拓扑空间, 其称为 X 的子空间. 特别的欧氏空间
中任意子集U ⊂ Rn , U 作为子空间, 其在 Rn 中的拓扑称为 Rn 的相
对拓扑, 其开集和闭集分别称为U 在 Rn 中的相对开集和相对闭集. 另一方面, 如果 S ⊂ X 是拓扑空间 X 的任意子集, 令 S = ∩B,{B ⊃ S是X的闭集} .
定义 拓扑空间{X ,T}称为 Hausdorff 空间, 如果对于任意两个
不同的点 p1, p2 ∈ X , 都存在包含 p1, p2 的开集 O1, O2 ,使得 p1 ∈ O1,
p2 ∈ O2 , 而 O1 ∩ O2 = φ .
在 Hausdorff 空间上, 极限有唯一性, 其中每一个点都是闭集. 另一方面, 如果我们进一步希望将有界闭区间上连续函数的性质 推广到拓扑空间上, 则我们需要对空间加上紧致性的条件.
定义 拓扑空间 X 中的集合 S 称为紧集, 如果对于是 S 的任意 一个开覆盖{Uα }α∈A , (即Uα 都是开集, 而 S ⊂ α∪∈AUα ,) 在{Uα }α∈A 中总可取出有限个元素使之也构成 S 的开覆盖. X 称为紧致拓扑空 间, 如果 X 自身是紧集.
定理 1: 设 S ⊂ X 是紧集, f ( p) 是 S 上的连续函数, 则 f ( p) 在 S 上有界, 并取到其在 S 上的上下确界.
由于任意多个闭集的交是闭集, 得 S 是闭集, 其是 X 中所有包含 S 的 闭集里最小的一个, 称为 S 的闭包.
例 1: 设 X 是任意集合, 令 T 为由 X 中的所有子集构成的集合, 则显然 T 满足上面拓扑空间开集的定义, 因而构成 X 的一个拓扑结 构, 称为 X 的离散拓扑. 这时 X 的每一个点自身就是开集, 作为邻域
其不含别的点.
例 2: 设 X 是任意集合, 令 T = {X ,φ} , 则 T 满足上面定义, 因 而也构成 X 的一个拓扑结构.
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例 3: 设 X = {1, 2,3, 4} , 令T = {X ,φ,{1, 2}}, 则T 构成 X 的一
个拓扑结构.
设{X ,T}是一给定的拓扑空间, 称 X 中的序列{xn} 趋于 x0 , 如
证明: 反证法. 设 f (S) 在 X2 中不连通, 则存在 X2 的非空开集 O1, O2 , 使得
f (S) = {O1 ∩ f (S)}∪{O2 ∩ f (S)}, , 而 O1 ∩ f (S) ≠ φ,O2 ∩ f (S) ≠ φ
{O1 ∩ f (S)}∩{O2 ∩ f (S)} = φ . 由 f 的 连 续 性 得 f −1(O1) 和 f −1(O2 ) 都 是 X1 的 开 集 , 且 f −1(O1) ∩ S ≠ φ, f −1(O2 ) ∩ S ≠ φ, 而
S = {O1 ∩ S}∪{O2 ∩ S}, ,
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Biblioteka Baidu 而
O1 ∩ S ≠ φ,O2 ∩ S ≠ φ ,
但
{O1 ∩ S}∩{O2 ∩ S} = φ . 例如实轴 R 中的子集 S 是连通的, 当且仅当 S 是一开的, 或者闭
的, 或者半开半闭的区间.
定理 2: 设 X1, X 2 都是拓扑空间, f : X1 → X 2 是连续映射, 则 对于 X1 的任意连通子集 S , f (S ) 在 X 2 中连通.
在实数的极限理论中, 序列{xn} 趋于 x0 可以表示为对于包含 x0
的任意开集U , 存在 N , 使得只要 n > N , 就有 xn ∈U . 在这一定义
中, 我们将开集看作是其所包含的所有点的邻域, 利用开集来描述接
近(取极限)的过程. 同样的, 设 f ( p) 是区域U ⊂ Rn 上的函数, 不难
第七章 微分流形
这一章我们将讨论怎样将微积分的理论推广到更一般的空间上, 我们将给出微分流形的定义，讨论外代数, 微分形式和外微分, 并在微 分流形上定义积分，研究推广的 Stokes 定理. 我们的目的一方面是对 微积分的理论进行一些总结, 使读者能够更好的理解前面学过的定理 及定理所需的条件, 另一方面也为读者介绍一些现代数学的基本概念, 研究对象和研究方法. 需要说明的是下面讨论中我们并不追求定义和 定理的广泛性, 但我们希望用到的概念和定理在本书中都能找到.
而对每一个 qi ,
令
B
(qi
,
1 n
)
为以
qi
为球心,
1 为半径的球. 则可将所 n
有
⎧ ⎨ ⎩
B(qi
,
1 n
)
⎫ ⎬ ⎭i
=1,2,
排成一列. 这时不难看出 Rn 中所有的开集都可表
n=1,2,
示为集合
⎧ ⎨ ⎩
B(qi
,
1 n
)⎫⎬ ⎭i=1,2,
中有限或者无穷多个元素的并. 因而 Rn 具
如果 X1 是上面例 1 中定义的离散拓扑空间, 则对于任意拓扑空
间 X 2 以及任意的映射 f : X1 → X 2 , f 都是连续的. 而如果 X1 是上
面例 2 中定义的拓扑空间, 则对于任意 X1 上的函数 f : X1 → R , f
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是连续的充分必要条件是 f 是常值函数.
如果令 X = {1, 2,3, 4} 是例 3 中给出的拓扑空间, f : R → X 是
开集 O1 , 使得 f (O1) ⊂ O2 . 称映射 f 在 X1 上连续, 如果 f 在 X1 的
每一点都是连续的. 不难验证 f : X1 → X 2 连续的充分必要条件是对
于 X 2 中 的任 意开 集 O2 , f −1(O2 ) 都 是 X1 中 的 开集 . 例 如, 如 果
{S,T (S)} 是拓扑空间 X 的子空间, 则映射 I : S → X , I ( p) = p 是连
实轴到 X 的映射, 满足 f (x) ≡ 1 . 这时当 R 中的任意序列{xn} 趋于
任意 x0 时, 显然 f (xn ) → 1. 但由于在 X 中, 1 和 2 总是在同一邻域内,
因而同样也有 f (xn ) → 2 , 这时极限并不唯一. 因而要得到极限的唯
一性, 我们还需在上面定义中加上新的条件.
证明留给读者作为练习. 为了推广连续函数的介值定理, 我们需要对空间加上连通的条件.
定义 拓扑空间 X 称为连通的, 如果不存在 X 的两个非空开集 O1, O2 , 使得 X = O1 ∪ O2 ,而 O1 ∩ O2 = φ . X 的子集合 S ⊂ X 称为
连通的, 如果不存在 X 的两个非空开集 O1, O2 , 使得
果对于包含 x0 的任意开集 U , 都存在 N , 使得只要 n > N , 就有
xn ∈U
,
记为
lim
n→+∞
xn
=
x0 .
设 X1, X 2 都是拓扑空间, 映射 f : X1 → X 2 称为在点 x0 ∈ X1 连
续, 如果对于 X 2 中任意包含 f (x0 ) 的开集 O2 , 存在 X1 中包含 x0 的
T 称为 X 的一个拓扑结构, 这时可以将拓扑空间 X 记为{X ,T}. 显
然一个集合上可以有各种不同的拓扑结构.
对于一个拓扑空间 X , 我们将 X 中开集的余集称为闭集. 由开 集满足的性质不难得到闭集满足 1). X 和空集φ 都是闭集; 2). 任意
有限个多个闭集的并是闭集; 3). 任意多个闭集的交是闭集.
验证 f ( p) 在U 上连续的充分必要条件是对于实轴 R 中的任意开集
O , f −1(O) 是U 中的开集. 我们看到, 对于连续, 我们同样只需知道
什么集合是开集即可. 因此, 如果我们希望对于一般的集合以及集合 之间的映射推广极限和连续的概念, 我们只需推广开集的概念即可. 对此, 我们可以将欧氏空间中开集满足的基本性质作为公理, 给出下 面定义.
§7.1 微分流形
前面我们讨论了极限, 微分和积分, 给出了微积分的各种定理. 我们的讨论对象都是 n-维欧氏空间中的区域及区域上的函数. 而如果 将平面看作曲面的特殊情况, n-维欧氏空间看作 n-维曲面的特殊情况, 假定我们就置身于曲面之中, 我们的问题是怎样将前面讨论过的微积 分的各种理论推广到曲面上. 对此我们先从极限理论的推广开始.
M 称为光滑流形.
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设 M 是 n -维微分流形, {Uα }α∈A 和ϕα :Uα → Oα 分别是上面定
义中给出的覆盖和映射, 设 p ∈Uα ,ϕα ( p) = (xα1 ( p), , xαn ( p)) , 则
称{Uα }α∈A 为 M 的坐标覆盖, 称 (xα1 ( p), , xαn ( p)) 为 p 点的局部坐
定义 集合 X 称为拓扑空间, 如果指定了 X 的某些子集作为 X
中的开集, 并且这些开集满足
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1). X 本身和空集φ 都是开集; 2). X 中任意有限个多个开集的交是开集; 3). X 中任意多个开集的并仍然是开集. 我们将拓扑空间 X 的所有开集组成的集合记为 T . 即
T = {O ⊂ X | O是开集}.
上面我们将微积分中极限和连续等慨念利用开集推广到了拓扑空 间上, 然而我们如果进一步希望推广函数的微分和积分, 则仅有开集 就不够了, 我们还需要对空间加上坐标的条件.
定义: 连通且具有可数基的 Hausdorff 空间 M 称为 C r 的 n -维微
分流形, 如果存在 M 的一个开覆盖{Uα }α∈A , 以及对每一个Uα , 给
f ϕα−1 :ϕ(U ∩Uα ) → f (U ∩Uα ) 也是微分同胚, 则我们将 (U , f ) 也称为流形的局部坐标, 在下面的使
用时与{Uα }α∈A 中的元素没有区别. 例 6: 设 F (x, y, z) 是 R3 上的 C∞ 函数, 令
{ f −1(O1) ∩ S}∩{ f −1(O2 ) ∩ S} = φ . 与 S 的连通性矛盾, 得 f (S ) 在 X 2 中连通.
推论: 如果 f : X → R 是 X 上的连续函数, S ⊂ X 是 X 中的连
通子集, 则 f (S ) 是实轴 R 中的区间, 因而 f 在 S 上满足介值定理.
为了在拓扑空间的讨论中能够应用归纳法, 通常我们还要对所讨 论的拓扑空间加上可分的条件.
定义 称拓扑空间 X 具有可数基, 如果存在 X 的一列开集
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{On}n=1,2, , 使得 X 的任意开集都可表示为{On}n=1,2, 中元素的并.
例 4: 将 Rn 中所有坐标分量都是有理数的点排成一列{q1, q2 , },
标. 映射ϕα
ϕ
−1 β
:ϕβ
(Uα
∩Uβ
)
→ ϕα
(Uα
∩Uβ
)
(x1β ( p), , xβn ( p)) → (xα1 ( p), , xαn ( p))
称为流形的坐标变换.
一般的, 设 U ⊂ M 是开集, f :U → Rn 是 U 到 Rn 中区域
f (U ) 的 拓 扑 同 胚 , 如 果 对 于 M 的 坐 标 覆 盖 {Uα }α∈A , 当 U ∩Uα ≠ φ 时, 映射
定了一个拓扑同胚
ϕα :Uα → Oα ,
使得 Oα ⊂ Rn 是 Rn 中区域, 满足当Uα ∩Uβ ≠ φ 时, 映射
ϕα ϕβ−1 :ϕβ (Uα ∩Uβ ) → ϕα (Uα ∩Uβ )
是 Rn 中区域ϕβ (Uα ∩Uβ ) 到ϕα (Uα ∩Uβ ) 的 C r 的微分同胚. 在上面定义中, 如果 r = 0 , 则 M 称为拓扑流形; 如果 r = ∞ , 则