全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)

一九九八年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、 填空题

1.设15+=m ,那么m

m 1+

的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .

4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .

5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.

6.满足19982+2m =19972+2n )1998

0(<<

8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.

9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四

边形BEGF 的面积是____________平方厘米.

10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.

11.设),(b a 为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.

12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.

13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是____________.

14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.

15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S =10A +9B +8C +7D +6E +5F +4G +3H +2I ,

r 是S 除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r .(若r =0,则规定J =0;若r =1,规定J 用x 表示)

现有一本书的书号是962y 707015,那么y = .

第二试

1.求所有正实数a ,使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.

2.已知P 为▱ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M 、N 分别为PB,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:

(1)P ,Q,O 三点在一条直线上;

(2)PQ =2OQ .

3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一 九 九 八 年

第 一 试

1．3

15+=m ，4151

511-=+=m ， ∴ 435451+=+

m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．

322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，

1==AB AE ，2=EB ，又C D A ∆∽CBE ∆，3

2==CE AC EB AD ，∴

3

2232==EB AD . 3．2

2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x

22)1()1(22=+--+--=x x x x x .

4．3

因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.

得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .

5．3

16 由原图 AE

FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF

AE FG -=2

3

163352=-=(厘米). 6．16

47175399522⨯⨯==-m n ,

47175))((⨯⨯=+-m n m n .

显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).

7．11

11个相继整数的平方和为

22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x

22)10(11y x =+=,

则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .

8．39

∵ MBP ∆∽CBA ∆，

3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,

∴ 32=BA ，13=AC . 39133221

=⋅⋅=∆ABC S .

9．2720

4

∵ 72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理5

4=BA BE

,

由原图，连BG .

记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.

又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，

解之得 2728=b ， 27100

=c .

∴ )(2720

427128

平方厘米==+=c b S BEGF .

10．13

由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2)

1(321+=++++n n n ≤100,

∴ n ≤13，所以至多有13人.

11．-1