数值分析复习汇总
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观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
基础知识
• 微积分、线性代数 • 程序设计语言 • Matlab
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
教材 (Text Book) 数值分析 金聪等
参考书目 (References)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
数值分析的特点
1. 近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
10
n
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
102
0
10 1 101 0
量的重复。 – 以耗费计算量为代价，设法将复杂的计算过程简化，
逐步归结为一系列简单过程。
• 2．有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、 误差分析）。
• 3．要有好的计算复杂性（时间、空间） • 4．要有数值试验。
对算法所要考虑的问题:
• 1. 计算能力
人类的计算能力= 计算机的计算能力+算法的设计能力
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（数值积分）
求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆 法则要进行20107.9×次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要 30万年。
傻瓜和超级废铁
• 2.存储量。 大型问题有必要考虑。
• 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差 是积累还是能控制,这与算法有关。
误差的来源与误差分析的重要性
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
• ⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘 解,然后再整体平滑
• ⑷ 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。
现代科学方法
• 科学实验 • 科学理论 • 科学计算：
数学与计算机科学的交叉 抽象性与严密性 实践性和技术性 面向计算机的数值算法设计
数值分析课的主要基础与内容:
• 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单 的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方 法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型 软件包)。
• 误差的来源与种类 • 1. 模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有
因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差。 • 2. 测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。 • 3. 截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求 一些简化。 • 4. 舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均 需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。 • 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始 的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差 的影响,但这儿不讨论模型误差。
数值分析的对象与特点
•数值分析：研究适合计算机进行科学 计算的方法。
•使用计算机、离散
解决科学技术和工程问题的步骤
• 实际问题→建立数学模型→ • 研究计算方法→编程上机→计算求的结果。 • 结果验证
例如
• ⑴ 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连 续拍照
• ⑵ 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线 性方程组。
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
• 1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分 直接方法和间接方法。
• 2.插值和数值逼近。
• 3.数值微分和数值积分。
• 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。
特点：
• 1．面向计算机
– 编程：解题过程逐渐分解，归结为四则运算和逻 辑运算的有限序
– 化繁为简：巨大的计算量（特长：高速度） – 不厌其烦，不知疲倦：以简驭繁，将质的困难化为
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
基础知识
• 微积分、线性代数 • 程序设计语言 • Matlab
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
教材 (Text Book) 数值分析 金聪等
参考书目 (References)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
数值分析的特点
1. 近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
10
n
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
102
0
10 1 101 0
量的重复。 – 以耗费计算量为代价，设法将复杂的计算过程简化，
逐步归结为一系列简单过程。
• 2．有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、 误差分析）。
• 3．要有好的计算复杂性（时间、空间） • 4．要有数值试验。
对算法所要考虑的问题:
• 1. 计算能力
人类的计算能力= 计算机的计算能力+算法的设计能力
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（数值积分）
求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆 法则要进行20107.9×次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要 30万年。
傻瓜和超级废铁
• 2.存储量。 大型问题有必要考虑。
• 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差 是积累还是能控制,这与算法有关。
误差的来源与误差分析的重要性
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
• ⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘 解,然后再整体平滑
• ⑷ 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。
现代科学方法
• 科学实验 • 科学理论 • 科学计算：
数学与计算机科学的交叉 抽象性与严密性 实践性和技术性 面向计算机的数值算法设计
数值分析课的主要基础与内容:
• 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单 的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方 法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型 软件包)。
• 误差的来源与种类 • 1. 模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有
因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差。 • 2. 测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。 • 3. 截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求 一些简化。 • 4. 舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均 需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。 • 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始 的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差 的影响,但这儿不讨论模型误差。
数值分析的对象与特点
•数值分析：研究适合计算机进行科学 计算的方法。
•使用计算机、离散
解决科学技术和工程问题的步骤
• 实际问题→建立数学模型→ • 研究计算方法→编程上机→计算求的结果。 • 结果验证
例如
• ⑴ 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连 续拍照
• ⑵ 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线 性方程组。
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
• 1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分 直接方法和间接方法。
• 2.插值和数值逼近。
• 3.数值微分和数值积分。
• 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。
特点：
• 1．面向计算机
– 编程：解题过程逐渐分解，归结为四则运算和逻 辑运算的有限序
– 化繁为简：巨大的计算量（特长：高速度） – 不厌其烦，不知疲倦：以简驭繁，将质的困难化为