2.3二阶张量的不变量

T
3 3
J2
T T
1 1 2 1
T T
1 2 2 2

T T
2 2 3 2
T T
2 3 3 3

T T
3 3 1 3
T T
3 1 1 1
T J3 T T
1 1 2 1 3 1
T T T
1 2 2 2 3 2
T T T
1 3 2 3 3 3
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
i l i
J1 G : T l T
J2
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T
u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
二阶张量T 的n 阶矩 J n ，其中

J tr T T

1
i i i j
J tr T T T
2
i j
T
j i
J 3 tr T T T T
T
j k
T
k i

彼此之间互相独立。而高于3阶的矩与 J n（n=1,2,3)互不独立。 可证
J J1
J J 1 2 J 2
2 2
1
J1 J1

J2
J3
1 2 1
6
J
J
3 1
2 1
J2
T u
T u
v
w u T v
w u v T w J 1 u v
T
T
w
w
T v
w u T v T w T u v T w J 2 u v
T u
T v T w J 3 u v
T
w
J3
T
1 2
i i
i i l l
1 2
1 3!
T T
ij lm l i
m j

n k
T
1 6
T
ijk
T T
i l
lห้องสมุดไป่ตู้i

T
n k
T T
T


ijk lmn
l i
m j

lmn
T iT
l
m j
det T
写成分量展开形式
J1 T
1 1
T
2 2
1 2


1 2
J J 1 3 J 1J 2 3 J 3
3 3

J J
1 3
J3