环流量与旋度

(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S

8
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练习 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
z


y
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I

o x
dS
2
0
y
Байду номын сангаас
x 2
y
z
xy
xz
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斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A) n d S A d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E 3 r 的旋度 . r i j k
为向量场 A 沿 的环流量
解:
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
l
o
( y, x, 0)
r
M
y
i j k v r 0 0 x y z
x
rot v
y x 0
x
i
y
j
z
k
(0, 0, 2 ) 2
(此即“旋度”一词的来源)
rot E x
qx r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
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y qy r3
z qz r3
(0, 0, 0) (除原点外)
例设
的外法向量, 计算 I rot A n dS .

n 为
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x

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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
环流量与旋度
斯托克斯公式
Pd x Qd y Rd z

设曲面 的法向量为
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s