幂函数导学案(江自龙)
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。
教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。
教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。
任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。
任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。
y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。
四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
3.3 幂函数 导学案(1)
3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。
a 是S 的函数 。
（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。
（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。
《幂函数》教案、导学案与同步练习
《第三章 函数的概念与性质》《3.3幂函数》教案【教材分析】幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
【教学重难点】重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数.21问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1.幂函数是如何定义的？ 2.幂函数的解析式具有什么特点？3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
幂函数导学案
§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x pq是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq的奇偶性与p 的值相对应．解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数；当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．题型三 幂函数的图象如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布． 正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点．主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．(山东高考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 根据幂函数的定义和性质易得x ＝1,3时，定义域为R 且为奇函数． 答案 A1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.2．幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为( ) A ．2 6 B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24. 3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象，不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 答案 B解析 据幂函数的定义，知m 2－3m ＋3＝1， 所以m ＝1，m ＝2.又图象不过原点，所以m 2－m －2≤0，经验证，m ＝1，m ＝2均适合． 4．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B.5．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.6．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四7．把下列各数223，⎝⎛⎭⎫53－13，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫150，⎝⎛⎭⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝⎛⎫－233<⎝⎛⎫53－13<⎝⎛⎫150<⎝⎛⎫3223<223. 8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3. ∴3<a <5.9．在图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．解 对于①y=x-1为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(1)；对于②y=-x3为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(2)；对于③④y=x2+1和y=-x 4都为偶函数，其图象都关于y 轴对称，可画出另一半，如图(3)(4)．10．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是 (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
幂函数导学案
丄【合作探究】归纳幕函数的性质： ⑴幕函数y x 图象过定点 。
⑵幕函数y x ,在第象限都有图象。
我们就先来研究幕函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象 限的图象。
当 0时，图象过定点 ，图象在这个象限单调 。
当 0时，图象过定点 _______________ ,图象在这个象限单调 , 向上与轴无限接近，向右与轴无限接近.(3)当a 为奇数时，幕函数奇偶性为 ____ 函数，当a 为偶数时,幕函数为 函数。
4. 利用单调性判断下列各值的大小① y =x 7 ② y=2x ③ y=2x 2④ y=x +2 3⑤ y= — x2 •在下列函数中，定义域为 3R 的是()A. y x 2B. y log 2xC. y x 5D. y x 1课堂练习1 •下列函数中，哪几个函数是幕函数?x 在第一象限内的图3•如图所示，曲线 c i 、C 2、C 3、C 4为幕函数y(1) 5.2 0.8与5.3 0.8(2) 0.20.3与0.3 0.3⑶22.5 52 与 2.7 515. 若幕函数y f(x)的图象经过点(9乜),求f (25)的值.26. 已知幕函数 f (x )= (m 2 m 1)x m 2m 3(m z),在区间(o , +x)上是单调减函数，求 m 的值.(A )7 •根据上表的内容并结合图象， 指出下列图表中分别对应哪个函数①y xii②y x 2③y x 3④ y x 1⑤y x 2⑥y x 2⑦y x 2⑧1y x 3。
于尊’作业布置：P79习题2.3 1, 2J 、小结：(1)数学知识方面： (2)数学思想及方法：。
高一数学人教A版必修一新导学案2.3《幂函数》
2.3《幂函数》导学案【学习目标】：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用．【重点难点】重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质．【知识链接】（1）边长为的正方形面积，这里是的函数；（2）面积为的正方形边长，这里是的函数；（3）边长为的立方体体积，这里是的函数；观察上述三个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）【学习过程】幂函数的图象与性质①给出定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．②作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．观察图象，举例学习这类函数的一些性质．归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．【例题分析】例1、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．例2证明幂函数上是增函数、【基础达标】2．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象的草图，你能发现什么规律？（1）和；（2）和．3．比较大小：①与；②与；③与；④与；⑤与．【学习反思】（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。
幂函数导学案
幂函数导学案幂函数是一种常见的基础函数，其形式为y=ax^n，其中a为常数，n为整数。
在学习幂函数的过程中，我们需要了解其导数的计算方法以及一些常见的性质。
本导学案将针对幂函数的导数进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、导数的定义在学习幂函数的导数之前，我们先来回顾一下导数的定义。
导数描述了函数在某一点处的变化率，可以通过极限的定义来计算。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)的定义可以表示为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h (h→0)其中，h表示自变量x的增量。
当h趋近于0时，得到函数在点x 处的导数。
二、幂函数的导数计算1. 当幂函数为y=ax^n时，其中a为常数，n为整数时，我们可以通过以下公式计算其导数：dy / dx = n * ax^(n-1)即，幂函数的导数等于指数n乘以系数a再乘以x的n-1次方。
2. 举例说明：对于函数y=3x^2，其导数为：dy / dx = 2 * 3x^(2-1) = 6x因此，函数y=3x^2的导数为6x。
3. 特殊情况：当幂函数为y=ax^0时，即y=a时，其导数为0。
因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。
三、常见幂函数的导数性质1. 幂函数导数的线性：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，其中a、b为常数，n、m为整数，则有：f(x) ± g(x) = f'(x) ± g'(x)即，幂函数的导数是具有线性性质的。
2. 幂函数导数的乘积法则：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，则有：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)即，幂函数的导数在求导乘积时遵循乘积法则。
四、综合练习1. 求以下函数的导数：（1）y=5x^3 - 2x^2解：y' = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) = 15x^2 - 4x（2）y=2x^4 + 3x^3 - x解：y' = 4 * 2x^(4-1) + 3 * 3x^(3-1) - 1 = 8x^3 + 9x^2 - 12. 若f(x) = x^2，g(x) = 3x，则求f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)的导数。
幂函数导学案
高考要求：了解幂函数的概念、图象及其性质。
【预习目标】对幂函数的定义、图象、性质有初步的了解【预习内容】阅读教材108-109页，思考预习准备中的问题1.幂函数的定义2.试从我们学过的函数中，找出几个幂函数，并画出它们的图象。
3.幂函数的图象（重点把握第一象限的图象）4.幂函数的性质（重点把握第一象限图象的性质）【新课引入】回想我们之前学习过的函数，哪些函数的底数是自变量，指数是常数？这些函数的表达式有什么共同的特征？这类函数表达式的一般形式应如何表示？【新课探究】1、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数思考：①在概念中为什么没有直接写明函数的定义域？②幂函数与指数函数有什么区别？2、图象：（重点考察幂函数在第一象限的图象）在同一个平面直角坐标系中小组合作完成下面几个函数的图象()1y x=()212=()32y x=()53y x-=()41y x=y xy0 x观察图象，你能发现这些图象有什么相同点和不同点？思考产生不同点的原因？总结作幂函数图象的步骤：①② ③ ④3、性质：（重点考察幂函数在第一象限图象的性质） ① ② ③【课堂检测】 1.比较大小33442.3 2.4与 ()1.51.51a a +与 ()()22--2332+2a与 32552255⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与2、求函数32x y =的定义域，判断其奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性及值域。
课后学案1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A 、2y x =B 、32y x =C 、1y x= D 、2x y = 2、下列结论正确的是（ ） A 、幂函数的图象一定过原点B 、当0<α时，幂函数y x α=是减函数C 、当0>α时，幂函数y x α=是增函数D 、函数2y x =既是二次函数，也是幂函数 3、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（ ）A 、3y x =B 、2y x = C 、1y x= D 、32y x =4、已知幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________5、若1133-3(12)x x <+——（），求实数x 的取值范围.。
幂函数(导学案)
《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
幂函数导学案
2.3幂函数导学案一.学习目标：1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用；(重点）2.能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质；3.通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想.（难点） 二.新课提问：写出下列y 关于x 的函数解析式1.如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数；2.如果正方形的边长为ｘ，面积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;3.如果正方体的棱长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;4.如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;5.如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. 探究1：思考 以上各题目的函数关系分别是什么？有什么共同的特征？ （1） （2） （3） （4）1. 幂函数的定义：例1.下列函数中，哪几个函数是幂函数？【变式练习】22x 231(1)y (2)y 2x x (3)y 2 (4)y x 1 (5)y x ====+=-()223f (x)1x+=+-m m m m 幂数已知是函,求的值.探究2：常见幂函数的图像 （1）x y =，2x y =，3x y=，21x y =，1-=x y 的图像（请同学们将五个函数图像画在下面的坐标系中）（2）3x y =的图像（请同学们完成x,y 的对应值表，并用描点法画出它的图像）xx（3）21x y =的图像（请同学们完成x,y 的对应值表，并用描点法画出它的图像）3.常见幂函数的性质观察函数,,,,2132x y x y x y x y ====x y =-1的图象，将你发现的结论写在下表内。
x【提升总结】 1. 2. 3. 4.【课堂训练】1.比较下列各组数的大小.2．已知幂函数y=f(x)的图象过点则f(9)=______.3.如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，则m 的值为 .4.若 ，求实数 的取值范围.课堂小结：作业：证明幂函数 上是增函数.()()1122132a a--+<-1122(1)11.5 1.7，，的大小关系为333555(2)(((，，的大小关系为22m 2m 3f (x)(m m 1)x --=--af (x)=[)0,+∞。
2019人教A版数学必修一 2.3 《幂函数》导学案
2019人教A 版数学必修一 2.3 《幂函数》导学案【学习目标】1．知识与技能：（1）了解简单幂函数的概念；会利用定义证明简单幂函数的奇偶性（2）了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。
2．过程与方法：类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像与性质3．情感、态度、价值观：引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图与画图中获得学习的快乐。
【学习重点】幂函数的概念和奇偶函数的概念【学习难点】简单的幂函数的图像性质。
函数奇偶性的判断。
一、【学习过程】知识链接：1.如何画函数图象？2.如何研究一个函数？研究函数性质从那几方面入手？二、预习：1.幂函数的定义： 2.在同一坐标系中画出下列函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-三、新课探究(一)、情景设置：阅读材料并填空：(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p = 元(2) 如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积 S=(3) 如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积V=(4)如果一个正方形场地的面积为S ,那么这个正方形的边长a=(5)如果人t 秒内骑车行进了1 km ,那么他骑车的平均速度v=若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:(二)、新课探究1.幂函数： 强调结构：2.图像与性质○.所有的幂函数在 都有定义,并且函数图象都通过点 ; ○2.如果a>0,则幂函数的图象过点 并在(0,+∞)上为 (增、减)函数;○3.如果a<0,则幂函数的图象过点 ,并在(0,+∞)上为 (增、减)函数; 例1.已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(3，1/9)求函数解析式3、奇偶函数的概念一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，即有 如f(x)=x 3图像关于轴对称的函数叫偶函数，即有 如f(x)=x 2例、判断函数f(x)=-2x 5和f(x)=-x 4+2的奇偶性 练习：1.P80动手实践 完成书中图2-302.求下列幂函数的定义域：（1）y ＝x 52 （2）y ＝x 31 （3）y ＝x 43（4）y ＝x 2-（四）、随堂练习1.如图所示，曲线是幂函数 y = x k在第一象限内的图象，已知 k 分别取 212,1,1-，四个值，则相应图象依次为:________2．比较下列各组中两个值的大小①0.7521，0.7621；②(-0.95)31，(-0.96)31；③0.313.2，0.314.23．通过图像求下列函数的定义域和值域4．(1)y ＝x 23 (2)y ＝x 72 (3)y ＝x 53。
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
高一数学 第 1 页 (共4页) 高一数学 第 2 页 (共4页) 4.1指数班级： 姓名： 小组：【学习目标】1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点). 【重点难点】【教学重点】会进行根式与分数指数幂的互化【教学难点】掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质 【导学流程】 一．预习案1. n 次方根、n 次根式 (1)a 的n 次方根的定义一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈Rn 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做被开方数． 2. 根式的性质(1)n0＝ (n ∈N *，且n >1)； (2)( na )n＝ (n ∈N *，且n >1)； (3)na n ＝a (n 为大于1的奇数)； (4)nan ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，(n 为大于1的偶数)．3.分数指数幂正分数指数幂 规定：nm a = （1,,,0*>∈>n N n m a 且） 负分数指数幂规定：nm nm aa1=-= （1,,,0*>∈>n N n m a 且）0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂4.有理数指数幂的运算性质1.=s r a a （∈>s r a ,,0 ）2.s r a )(= （∈>s r a ,,0 ）3.=rab )( （∈>>s r b a ,,0,0 ） 4.=s raa （∈>s r a ,,0 ）5.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．二．我的困惑是什么？1．___________________________________________________________2．___________________________________________________________三．探究案探究一：根式与分数指数幂的互化例1.将根式5写成分数指数幂的形式 ；将根式32x 写成分数指数幂的形式 ；将分数指数幂323写成根式的形式 ；将分数指数幂43-a 化为根式 ；高一数学 第 3 页 (共4页) 高一数学 第 4 页 (共4页)例2.用分数指数幂的形式表示下列各式。
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（2）幂函数与指数函数有什么区别？
（3）请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3
x y =，2
1x y =，
1-=x y 的图象
x
… -3 -2 -1 -1
2
12
1 2 3 … x y =
… … 2x y = … … 3x y =
... (21)
x y =
…
… 1-=x y …
…
4）函数x y =； 2
x y =；3
x y =； 2
1
x y =； 1
-=x y 的性质
x y = 2x y = 3x y = 21
x y =
1-=x y 定义域 值 域 奇偶性
单调性
定 点
【合作探究】
归纳幂函数的性质：
(1)幂函数y x α=图象过定点 。
(2)幂函数y x α=,在第 象限都有图象。
我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。
当0α>时，图象过定点 ,图象在这个象限单调 。
当0α<时，图象过定点 ,图象在这个象限单
调 ,向上
与 轴无限接近,向右与 轴无限接近. （3）当α为奇数时,幂函数奇偶性为 函数,当α为偶数时,幂函数为 函数。
课堂练习
1．下列函数中，哪几个函数是幂函数？ ①y =x 7
②y=2x
2
③y=2x ④ y=x 2 +2 ⑤ y= —x
3 2．在下列函数中,定义域为R 的是( )
3512
2. . log x . . A y x B y C y x D y x -====
3．如图所示，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数
αx y =在第一象限内的图
象，已知α 取431234
-，，
，四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的 解析式中的指数α依次可取（ ）
4343.12.213434
3434
.21.12
4343
A B C D ---- ，，， ，，，
，，， ，，，
C 1
C 2
C 3 C 4。