离散系统数学模型

❖ 理想采样过程---若T离>散>系τ统，数近学似模认型为采样瞬时完成，即认为τ 0。
理想采样信号的时域描述
1）理想采样开关的数学描述
用函数来描述
理想采样开关---其时域数学表达式为
❖
❖
T (t kT)
k
❖
(t ❖kT)
---表示延迟kT时刻出现的脉冲，定时作用.
离散系统数学模型
❖ 理想采样信号x*(t)可以看作是连续信号x(t) 被单位
使其成为具有有限频谱的连续信号。另外，对于实
❖
际系统中的非周期的连续信号，其频率幅值随着采 样频率的❖增加会衰减得很小。因此，只要选择足够
脉冲序列串T调制的过程。
x * ( t) x ( t)T ( t) x ( t) ( t k T ) x ( t)( t k T )
k
k
❖
❖
❖ ❖
x(t)在t <0时都为零，x(t) 仅在脉冲发生时刻有效，记为x(kT) 。
x*(t) x(kT)(tkT) 离散系统数学模型 k0
❖ e(t)
采样
❖e* (t) A/D e(kT ) 转换器
数字 u(kT ) D/A
调节器
转换器
u* (t) 保持器
u(t)
e(t)
❖
e* (t)
❖
e(kT )
0 12 34 0 1 2 3 4 0 12 34
模拟信号
离散模拟信号
数字信号
0000 1000 1011 1110 1111 0100 1001 1010 0110 0100
(s m )
3.1.2 采样定理 ❖ 采样定理（香农定理）
一个连续时间信号x(t)，设其频带宽度是有限的，其最高频率 ❖ 为ωmax(或fma❖x)，如果在等间隔点上对该信号x(t)进行连续采样，
为了使采样后的离散信号x*(t)能包含原信号x(t)的全部信息量。 则采样角频率只有满足下面的关系： ❖ 采样后的离散❖信号xω*(ts)≥才2能ωm够ax无失真地复现x(t)。
第3章 计算机控制系统的数学描述
1 ❖
2 ❖3
4
信号的采样与恢复
❖
离散系统的时域描述——差分方程
Z变换
❖
脉冲传递函数
采样系统与离散系统概念
❖ 计算机控制系统的典型原理图如图所示。
❖
❖
❖ ❖
❖ 可简化为下图所示结构。这种系统结构为采样系统。
❖ 整个系统输入输出均为采样信号，系统可以看为离散时 间系统。
理想采样信号的频谱
X*()T 1k Xjjks
❖
❖
➢ 当k＝0时，X*(j)＝X(j)/T---采样信号的基本频谱
❖
正比于原连续信号x (t)的频谱，仅幅值相差1/T。
➢ 当k0时❖，派生出以s为周期的高频谐波分量---旁带
每隔1个s，重复原连续频谱x(j)/T 1次，
离散系统数学模型
若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为m，采样频率 s≥2m，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱不会重叠， 如图 (b)所示。
❖ 系统中的变量有数字信号，称数字控制系统。
❖
❖
❖ ❖
线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照
线性连续控制系统
线性离散控制系统
❖
微❖分方程
拉普拉斯变换
❖
传递函数
❖
状态方程
差分方程 Z变换
脉冲传递函数 离散状态方程
离散系统数学模型
3.1 信号的采样与恢复
计算机控制系统是混合信号系统，具有多种信号形 式：
离散系统数学模型
❖ 采样器、保持器和数字控制器的结构形式和控制规律 决定系统动态特性，是研究的主要对象。
❖ 控制系统的稳态控制精度由A/D、D/A转换器的分辨率
决定。
❖ ❖ 为了突❖出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。
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❖ 为了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控
制系统时，常常假定A/D、D/A转换器的精度足够高，
❖ ❖ 采样将连续❖时间信号变换为离散时间信号，保持将离散时间 信号又恢复成连续时间信号，这是涉及采样间隔中信号有无 的问题，影响系统的传递特性，因而是本质问题，在系统的
❖ 分析和设计❖中是必须要考虑的。
❖ 量化使信号产生误差并影响系统的特性。但当量化单位q很
小 (即数字量字长较长)时，信号的量化特性影响很小，在 系统的初步分析和设计中可不予考虑。
❖ D/A变换器通常包含有下述两种形式的变换： ❖
---数字解码 把数字量转换为等值的模拟脉冲信号； ---信号恢复 把解码后的模拟脉冲信号变为随时间连续变 化信号 。
离散系统数学模型
❖ A/D和D/A变换中，最重要的是采样、量化和保持(或信号恢 复)3个变换过程。编码和解码仅是信号形式的改变，其变换 过程可看作无误差的等效变换，因此在系统的分析中可以略 去；
❖
❖
❖ ❖
连续离信散号系频统谱数和学采模样型信号频谱
❖ 若s<2m 时，采样信号各频谱分量互相交叠，产生
严重的频率混叠现象，如图 (b)所示。
F ( j)
❖
❖
1
❖
m
0 (a）
F * ( j)
m
❖n 1
s
2
n 1
1/T
s
2
(s m )
s m (s m ) 0 (s m ) m
s
(b)
(b) m >s /2时频谱响应产生混叠 离散系统数学模型
u(kT )
u* (t)
u(t)
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 t/T
数字信号
离散模拟信号
模拟信号
离散系统数学模型
A/D转换器通常包含下述三种形式的变换：
---模拟信号采样：按一定时间间隔对连续信号采样，将其 变成时间上是断续的离散信号； ---信号幅值的整量化：将采样信号幅值按有限字长的最小 ❖ 量化单位分❖层取整，变成幅值为离散的信号； ---数字编码 ：将已整量化的分层信号变换为等值的二进制 数码信号，即数字信号。
❖
使得量化误差可以忽略。
❖
离散系统数学模型
3.1.1 采样过程数学描述及特性
❖ 采样----把连续信号变成数字信号的过程
❖ τ----采样时间，采样所得的脉冲宽度
❖ T----采样周期，采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间，单位为s
❖
❖
❖ ❖
❖ fs=1/T---采样频率(Hz) 。
❖ s＝2fs＝2/T---采样角频率 (rad/s)，简称采样频率
❖ 采样定理规定了需要的最小采样是s>2max ，但考
虑到实际闭环系统稳定性以及其他设计因素的要求，所 需要的采样频率比离理散论系统最数小学值模型要高得多。
在计算机控制系统中，连续信号通常是
非周期性的，其频谱中的最高频率可能是无限的，
为了避免频率混淆问题，可以在采样前对连续信号 ❖ 进行滤波❖，滤除其中频率高于 s 2 的分量，