一类四阶非线性色散耗散波动方程的柯西问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
． １ ， ） （ 及位势井 ：
＝
Ｉ （） Ｆ ） 一 （ 以
｛ ∈ Ｒ ）， ＞ ，（ ）＜ ｝ ０ 日 （ Ｉ ） ０． ｄ ｕ｛ ｝ （ ，
其 中， 位势井深度为
ｄ ｉ ＝ｎ Ｊ（ ） ｆ Ⅱ Ｅ丑
Ｂ＝｛ Ｅ Ｒ ）Ｉ２ ＝ ，ｌ Ｉ ≠ ｝ ／ Ｈ （ Ｉ ） ０ 『 ｌ ０ ／ ， （ 引理 １１， 令 ） ．ｔ － ３ 满足（ ） 那么 Ｈ ，
＜＋ 告 且 （＝，）。 ｐｌ ≤ ≤ Ｆ） （ ｓ ｓ ｄ
对问题（ ）（ ）在此定义 １ 一２ ，
Ｅ ｔ ＝１ Ｉ ｌ ＋ ｌ Ｉ （ ） 十 （） 虿 Ｉ Ｉ ｌ 。
号Ｉ 一 Ｆ） ｌ 』（ Ｖ Ｉ ｆｆ２ ￣ ） ２ ｄ ２
２ ３ ３ ３ ７ ．０ ．
［ ］ 杨志坚， ３ 陈国旺． 一类四阶拟线性波动方程初边值问题的整体解［］数学物理学报， ９ ， （ Ｊ． １ ５ １ 增刊）１ ． ９ ５ ：９ － ［ ］ 尚亚东． ４ 一类四阶非线性波动方程的初边值问题［］应用数学 ，７ ，３１ ：・１ Ｊ． ２０ １（ ）７ｌ． １０ ［］ 尚 ５ 东． 方程 一 — ｕ一 ＝ ） △ Ａ ， △ Ａｕ 的初边值问题［］应用数学学报， ０ ， （）３５３３ Ｊ． ２ ０２ ３ ： － ． ０ ３ ８ ９
ｒ ａｔ
对 ｔ ０ 积分得 从
（） １ ｌ （ ）Ｉ ＋ ｌＶ （ ）Ｉ ＋ ＩＶ／ ｔ ≤虿 （１ ｏ ｌ Ｉ ０ １ ｌ ／ ｕ ，
（ Ｉ＋Ｉ（ ｌ 一 （ ０） Ｅ ０ ０ Ｉ Ｉ ０ Ｊ ＬＦ ） 用 ） ） ） ） （ 出＝ （
（） ７
从而有
２ 卷 ５
Ｖｕ ｌ ＜ ｄ Ｏ≤ｔ １ ２ ， 。 ＜∞
（３ １）
Ｉ （ ） ≤ （ ｌ ｊ ： ） ｌ Ｉ ｄ （ ｌ ｆ ７ ）
≤（ ） （ｄ 手 ｇ ２） ， ＝
， ≤ ＜∞ （４ ｏ １）
由（ １ 一１） １）（４ 和紧致性方法 ， 可知问题（ ）（ ） １ 一２ 存在一个整体弱解 ∈ （ ， 日 （ ） ｕ ∈ ０ ∞； Ｒ ） ， Ｌ
一
类 四 阶非线 性 色 散耗 散 波 动方 程 的柯 西 问题
李 淑 凤
（ 牡丹江师范学院数学系， 黑龙江 牡丹江，５０２ １７１）
摘要： 研究了—类四阶非线性耗散、 色散波动方程的柯西问题。 利用位势并族的方法证明整体弱解的存在定理。
关键词 ： 柯西 问题 ； 位势井族 ； 整体弱解
所 以 Ｊ ｕ）＜ｄ （。 。又 由于 ｌ ｆ ＝ ｆ ０从 而得到 。 。所 以 ０ ） 。ｆ －０ （ ∈
然后证对充分大的 ｍ有 （ ） 。 Ｏ∈ 由于 Ｅ ０ ＜ （ ） ｄ所以 Ｅ （ ） （ ）＜ ０ 一Ｅ ０ ｄ当 ｍ 一∞时， 从而有 Ｊ （ ） 一 ） ｄ Ｕ） ０ （ ０ ） （ 。 ＜ ， ， ＞ 。所 （０
， （。 ）＝ ，ｌ （０ ｆ ≠０或 Ｊ （０ ）＝ｄ （ ｔ） ０ Ｊ ｔ）Ｉ （ ｔ） 由 等式
ｄ Ｅ０≥ Ｉ Ｉ＋Ｉ Ｉ） ‘ ＞ （） ÷（Ｊ ｆ Ｉ ｆ ＋（ Ｖ ， ）
０ ｔ Ｔ ＜ 则 Ｊ Ｚ （０ ） ｄ ＜ ＜ ， ＜ ２ （ ｔ ＝ 是不可能成立的。 ／ ） ， 另一方面 ， 如果 ，Ｚ （ ） ＝ ，ｌ ｔ １ ≠ 成立则 ｌ （ｏ ∈ 从而有 Ｉ ｕ （ ） ≥ｆ （， ｔ ） ０ ｝ （ ）ｌ Ｏ ／ 。 。 ｕ ／ ｔ Ｂ， ， ） ， ｔ ） ｚ （ 。 得到矛
（ Ｈ）
（） １ （） ２
（ｉ ｆ ０ ＝ ０ ０ ）ＥＣ ， ） 厂（ ）＝ 。
（ ｉ １ 是单调的， Ⅱ Ｏ时， ２ 是凸函数 ， ＜ ｉ） Ｓ ） 当 ＞ （） 当 Ｏ时， ２ 是凹函数。 （） （ｉ （ １ Ｆ ） ｉ ）ｐ＋ ） （ ≤ ｉ ）Ｉ ， ）≤ ｆ ２ Ｉ Ｉ Ｉ （ ） 。其中， ／ １２时 ２＜ １ ＜ 当 当 １ ， ， ＝ ｐ＋ ≤ ∞； ≥ 时 ２ ３
１（１ ｌ
又 由于 ． ｕ ）＝１ ， （ ｌ ｌ
ｌ ＋ ＩＶ Ｉ ＋， ） ｔ≤Ｅ （ ） Ｅ Ｏ ＜ ｌ ｌ Ｉ ． ≤Ｅ （） ０ （ ） ｄ 。 ｕ （
（） ８
ｃ一Ｆ ）≥ Ｉ一 （ ｌ ，
） （一 ） ｌ ＝１ ｌ
位势井的方法 ， 对此方程第一次研究它的柯西 问题。
参 考文献 ：
［ ］ 刘亚成 ， １ 李晓媛． 于方程 一 ｕ △ 。 △ ＝ （ ） 关 △ 一 ｕ 一 ，Ｈ 的某些注记［］黑龙江大学 自 Ｊ． 然科学学报 ， Ｏ，１３ ： ２６ ２ ４２（）１ ， ０ － ．
［ ］ Ｐ Ｙ ＥＬＥ Ｓ ＴＩ Ｅ 。 ａｉ ｐｉｔ ａｄｉｓ ｂｌｙｏ ｎｉｅｒ ｙ ｅ ｏ ｃ ｑ ａ ｏ Ｊ ．ｓ ｅ ＪＭａ ， ７ ，２ ２ Ａ Ｎ ，Ａ Ｉ ＮＧ ＲＤ Ｈ Ｓ ｄｅ ｏ ｓ ｎ ｔ ｉｔ ｆ ｏｌ ａ ｐ ｒ ｌ ｕｔｍ［ ］ Ｉ ａｌ ｔ １ ５ ２ ： ｎ ｎ ａ ｉ ｎ ｎ ｈ ｂ ｉ ｅ ｉ ｒ ｈ９
（） ９
从 而可 得
１１ ＋Ｖ １ （一 ） ０＜０ ＜ （ ｌ ２ １ ｌ Ｉｕ ｄ≤ ∞ ＋ ，
对充分大的 ｍ有
＜
（ １ ０ ）
（１ １）
｝圳 ∞
Ｉ ０ ２， ≤ ＜ Ｊ ＜ ｄ ０ ∞
（２ １）
１ ２
河北科技师范 学院学报
河北科技师范学院学报
第２ ５卷第 ４期 ，０ １ １ ２ １ 年 ２月
Ｊｕｎ ｌｏ ｂ ｉ ｒ ｌ ｉｅｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ １２ ． ｅ ． ０ ｏ ｒａ ｆＨｅ ｅ ｍａ ｖ ｒｉ ｏ ｃｅ ｃ Ｎｏ Ｕｎ ｙ ｅｈ ｏｏ ｙＶｏ． ５ Ｎｏ ４ Ｄ ｃ ２ １ １
盾， 所以假设不成立 ， ｕ （ ） ， （） 。 故 ｔ ∈ａ 即 ｏ ｔ∈ 附注 ： 由本次研究的所有推理和证 明可见 ， 如果把方程 （） １ 换成方程
一
△ 一△ ＃ 一Ａ ＝ Ｉ ｉ－ — ｕ Ｉ ｐ
则本文一切结论仍然成立。
３ 结
论
利用位势井方法 ， 研究了一类 四阶非线性发展方程 ， 得到了其整体弱解的存在性。揭示了此类方程 的可解性 ， 为数值求解此类方程提供了可能 ； 研究中发现对此方程 的解的爆破还需要进一步解决； 利用
（， 日（ ） 。 ０ ∞； ） 下证 （ ∈ 。 ，）
首先证 。 ） （ ∈
ｄＥ０： 【 ｌ＋Ｉ。２ ｌ Ｉ 一 （ （ ） 专（ Ｉ＋Ｉ 【 ＋（） ＞（ 专（ ｛ Ｉ ｌ ＋ｌｕｌ ｆ ｕ ０ ≥ １ Ｉ Ｉｕ｛ ． 。 ） Ｉ Ｉ 。 Ｆ ） ｕ Ｖ ） ｛ 。 ， Ｖ ）
基金项目： 牡丹江师范学院科技青年扶持项 目（ 目编号；Ｆ０９３ ； 项 Ｑ ２００ ） 牡丹江师范学院科研基金项 目一般（ 项目编号 ：
Ｋ ２ １０ ） Ｙ ００ ５ 。 收稿 日期 ： ０ １０ －３ 修改稿收到 日期 ： ０ １１－３ ２ １－３２ ； ２ １ —０ ０
４ 期
李淑凤 一类四阶非线性色散耗散波动方程的柯西问题
（， － ａｗ ｕ 于Ｈ（ 中 ｏ ￣ ｊｊ ） ｏ ） ） ） ｏ（ （ Ｒ
（， ＝ （） － ） ） ０ 点 ） 一 （ 于Ｈ（ 中
将（ ） ３ 乘以 ｇ （） ｔ 再对 ｓ 求和可得
ｄ
（） ４
（） ５
虿 １ （
＋ Ｖ Ｉ ｆ酩ｌ ｌ Ｉ一 Ｊ（）＋Ｖ Ｊ０ （ Ｉ 。Ｉ ＋“ 告． ｕ出 Ｉ ６ ｌ ＋Ｖ ｆ Ｉ ２ 舭 ＝ ） 『 ） Ｆ Ｉ
在 研 中 Ｉ ‘ （， Ｉ ） Ｊ， １，） Ｉ ，・ ＝Ｒ ｄ 本 究 记 ＝ ｌ ＝ （ ＝ （ ） ｆ ｖ。 ） 肛 ｌｎ （ Ｒ ｔ ｎ ， ｎｘ ｕ
１ 位势井及其性质
在本次研究中， 研究一类高维线性色散耗散波动方程的柯西问题
１ 一 一△ 一 ＝ （ ） ｕ １ △ ， △ ，ｕ 一 Ｉｏ Ｕ（ ）２Ｉ ｏ （ ） ＝ ｏＸ ， ： ＝ ｌ 总假设方程（ ） １ 中的ｆ ） ｌ 满足
证明： ｛ （）二是 （ ） 令 ｝－ 中的基函数系， 构造问题（）（） １ ２ 近似解 （， ＝ ）
１２ ，…且满足如下常微分方程组 的初值问题 （ 一 ｕ △ 一 ＋ － （ ）ｗ） ０ ｕ △ 一 ｚ △ ｆ ，ｊ ＝
（）ｍ＝ ，
（） ３
（ｉ） ）Ｉ 当 Ａ＞ Ｖ ∈ Ｉ Ｆ（ ≤Ａｌ ｌ ０， Ｒ
（ｉ） （ ） ｉ Ｆ ｕ ≥Ｂｌ Ｉ Ｂ＞ ， ≥１ ｕ ０ｌ ｌ
（ｊ （ ） ｕ ） ０当 ＝ ｊ） （ ｕ ｉ ）≥ ０时等式成立 引理 １２２ 在引理 １ １ ．【 ． 的条件下 ， 可得到
（ｉ ｛ ｕ ｌ ｌ ｌ， ｕ ｌ Ｉｌ 对 Ｖｕ Ｒ ） ）≤ ｕ ）≤ ｕ ∈
（ｉ） ｕ ≥（ ｉ ） Ｐ＋１ ＢＩ ｌ ，ｕ ≥１ ） ｕ ｌｌ
２ 整体弱解 的存在性
定义 若 ＝ ， ， Ｌ ０ ∞； Ｒ ） ， ∈ ０ ∞； Ｒ ） 且满足 （ ｔ ∈ （ ， 日 （ “ ） Ｌ （ ， 日 （ ） ） （） ｕ ） Ｖ Ｖ ） ＋ Ｖ Ｖ ） Ｖ Ｖ ） １ （ ＋ ， 曲 （ ， ＋（ ， ＋ ｕ
＝
“ ，） ） 曲
Ｉ， ） ） （ ， ＋ Ｖ０ ＋ ＶｔＶ） （ ， 曲＋ （ ， ） （ ， （ｕ －） ｕ Ｖ
（ ） ＝ 。 ） ｆ ＝ （ ） 则称 ｕ ｕ ， 为问题 （ ）（ ） ２ Ｉ （ ， ， ＝（ ｔ ） Ｉ －２ 的整体弱解。
中图分类号 ： １５ ２ ０ ７ ．７ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ６２７ ８ （ ０ １ ０ － １ －３ １７ － ３ ２ １ ）４０ ００ ９ ０
本次研究非线性发展方程 一 一△ 一 ＝ ） 的柯西问题 ， △ △ 一 利用位势井族得到一些完 全新的整体弱解的存在定理。为了研究其柯西问题 ， 对 １ ｕ 情形要 比 １ ｕ １ ≥０ ， ） １ ≤０的情形加上更强 ， ） 的增长条件 。而本研究 中， ≥ 当 ３时对 ） 加的增长条件是文献［ ］ 倍 。故本研究的问题与文献 １ 的２ ［］ １有本质区别。
以，（ （ ） 一‘ ） ０当 ｍ ． ， ０） ， （ ＞ 一∞。 所以， （ ） 。 ０ ∈ 最后证对充分大的 ｍ和 ０ ≤ ＜∞， 均有 （） ＃∈ 用反证法 ， 若不然 ， 存在 ｔ∈（ ， ， 。 ０ ∞）对充分大的 ｍ使得 ｕ （。 ∈ａ 即 ｔ ） ，
定 １假 当 ：２ １ ＜当≥时 ≤≤ 兰。。）日 ，（∈１ ） 理 设 １时 ＜ ３ ３ １ 詈 （∈ ）。）Ｈ 。 ， ｐ； ｐ （ （
若 Ｅ ０ ＜ ， ） ０或 Ｉ ０】 ≠０ 问题 （ ）（ ） （ ） ｄ， 。 ＞ （ Ｉ Ｉ 则 １ 一２ 存在一个整体弱解 ｔ （ ， 日 （ ） ∈ ／ ， ∈Ｌ ０ ∞； ｌＲ ） ， Ｌ （ ， 日 （ ）且 札 对 ０ ＜ ０ ∞； Ｒ ） ， ∈ ≤‘ ∞。
＝
Ｉ （） Ｆ ） 一 （ 以
｛ ∈ Ｒ ）， ＞ ，（ ）＜ ｝ ０ 日 （ Ｉ ） ０． ｄ ｕ｛ ｝ （ ，
其 中， 位势井深度为
ｄ ｉ ＝ｎ Ｊ（ ） ｆ Ⅱ Ｅ丑
Ｂ＝｛ Ｅ Ｒ ）Ｉ２ ＝ ，ｌ Ｉ ≠ ｝ ／ Ｈ （ Ｉ ） ０ 『 ｌ ０ ／ ， （ 引理 １１， 令 ） ．ｔ － ３ 满足（ ） 那么 Ｈ ，
＜＋ 告 且 （＝，）。 ｐｌ ≤ ≤ Ｆ） （ ｓ ｓ ｄ
对问题（ ）（ ）在此定义 １ 一２ ，
Ｅ ｔ ＝１ Ｉ ｌ ＋ ｌ Ｉ （ ） 十 （） 虿 Ｉ Ｉ ｌ 。
号Ｉ 一 Ｆ） ｌ 』（ Ｖ Ｉ ｆｆ２ ￣ ） ２ ｄ ２
２ ３ ３ ３ ７ ．０ ．
［ ］ 杨志坚， ３ 陈国旺． 一类四阶拟线性波动方程初边值问题的整体解［］数学物理学报， ９ ， （ Ｊ． １ ５ １ 增刊）１ ． ９ ５ ：９ － ［ ］ 尚亚东． ４ 一类四阶非线性波动方程的初边值问题［］应用数学 ，７ ，３１ ：・１ Ｊ． ２０ １（ ）７ｌ． １０ ［］ 尚 ５ 东． 方程 一 — ｕ一 ＝ ） △ Ａ ， △ Ａｕ 的初边值问题［］应用数学学报， ０ ， （）３５３３ Ｊ． ２ ０２ ３ ： － ． ０ ３ ８ ９
ｒ ａｔ
对 ｔ ０ 积分得 从
（） １ ｌ （ ）Ｉ ＋ ｌＶ （ ）Ｉ ＋ ＩＶ／ ｔ ≤虿 （１ ｏ ｌ Ｉ ０ １ ｌ ／ ｕ ，
（ Ｉ＋Ｉ（ ｌ 一 （ ０） Ｅ ０ ０ Ｉ Ｉ ０ Ｊ ＬＦ ） 用 ） ） ） ） （ 出＝ （
（） ７
从而有
２ 卷 ５
Ｖｕ ｌ ＜ ｄ Ｏ≤ｔ １ ２ ， 。 ＜∞
（３ １）
Ｉ （ ） ≤ （ ｌ ｊ ： ） ｌ Ｉ ｄ （ ｌ ｆ ７ ）
≤（ ） （ｄ 手 ｇ ２） ， ＝
， ≤ ＜∞ （４ ｏ １）
由（ １ 一１） １）（４ 和紧致性方法 ， 可知问题（ ）（ ） １ 一２ 存在一个整体弱解 ∈ （ ， 日 （ ） ｕ ∈ ０ ∞； Ｒ ） ， Ｌ
一
类 四 阶非线 性 色 散耗 散 波 动方 程 的柯 西 问题
李 淑 凤
（ 牡丹江师范学院数学系， 黑龙江 牡丹江，５０２ １７１）
摘要： 研究了—类四阶非线性耗散、 色散波动方程的柯西问题。 利用位势并族的方法证明整体弱解的存在定理。
关键词 ： 柯西 问题 ； 位势井族 ； 整体弱解
所 以 Ｊ ｕ）＜ｄ （。 。又 由于 ｌ ｆ ＝ ｆ ０从 而得到 。 。所 以 ０ ） 。ｆ －０ （ ∈
然后证对充分大的 ｍ有 （ ） 。 Ｏ∈ 由于 Ｅ ０ ＜ （ ） ｄ所以 Ｅ （ ） （ ）＜ ０ 一Ｅ ０ ｄ当 ｍ 一∞时， 从而有 Ｊ （ ） 一 ） ｄ Ｕ） ０ （ ０ ） （ 。 ＜ ， ， ＞ 。所 （０
， （。 ）＝ ，ｌ （０ ｆ ≠０或 Ｊ （０ ）＝ｄ （ ｔ） ０ Ｊ ｔ）Ｉ （ ｔ） 由 等式
ｄ Ｅ０≥ Ｉ Ｉ＋Ｉ Ｉ） ‘ ＞ （） ÷（Ｊ ｆ Ｉ ｆ ＋（ Ｖ ， ）
０ ｔ Ｔ ＜ 则 Ｊ Ｚ （０ ） ｄ ＜ ＜ ， ＜ ２ （ ｔ ＝ 是不可能成立的。 ／ ） ， 另一方面 ， 如果 ，Ｚ （ ） ＝ ，ｌ ｔ １ ≠ 成立则 ｌ （ｏ ∈ 从而有 Ｉ ｕ （ ） ≥ｆ （， ｔ ） ０ ｝ （ ）ｌ Ｏ ／ 。 。 ｕ ／ ｔ Ｂ， ， ） ， ｔ ） ｚ （ 。 得到矛
（ Ｈ）
（） １ （） ２
（ｉ ｆ ０ ＝ ０ ０ ）ＥＣ ， ） 厂（ ）＝ 。
（ ｉ １ 是单调的， Ⅱ Ｏ时， ２ 是凸函数 ， ＜ ｉ） Ｓ ） 当 ＞ （） 当 Ｏ时， ２ 是凹函数。 （） （ｉ （ １ Ｆ ） ｉ ）ｐ＋ ） （ ≤ ｉ ）Ｉ ， ）≤ ｆ ２ Ｉ Ｉ Ｉ （ ） 。其中， ／ １２时 ２＜ １ ＜ 当 当 １ ， ， ＝ ｐ＋ ≤ ∞； ≥ 时 ２ ３
１（１ ｌ
又 由于 ． ｕ ）＝１ ， （ ｌ ｌ
ｌ ＋ ＩＶ Ｉ ＋， ） ｔ≤Ｅ （ ） Ｅ Ｏ ＜ ｌ ｌ Ｉ ． ≤Ｅ （） ０ （ ） ｄ 。 ｕ （
（） ８
ｃ一Ｆ ）≥ Ｉ一 （ ｌ ，
） （一 ） ｌ ＝１ ｌ
位势井的方法 ， 对此方程第一次研究它的柯西 问题。
参 考文献 ：
［ ］ 刘亚成 ， １ 李晓媛． 于方程 一 ｕ △ 。 △ ＝ （ ） 关 △ 一 ｕ 一 ，Ｈ 的某些注记［］黑龙江大学 自 Ｊ． 然科学学报 ， Ｏ，１３ ： ２６ ２ ４２（）１ ， ０ － ．
［ ］ Ｐ Ｙ ＥＬＥ Ｓ ＴＩ Ｅ 。 ａｉ ｐｉｔ ａｄｉｓ ｂｌｙｏ ｎｉｅｒ ｙ ｅ ｏ ｃ ｑ ａ ｏ Ｊ ．ｓ ｅ ＪＭａ ， ７ ，２ ２ Ａ Ｎ ，Ａ Ｉ ＮＧ ＲＤ Ｈ Ｓ ｄｅ ｏ ｓ ｎ ｔ ｉｔ ｆ ｏｌ ａ ｐ ｒ ｌ ｕｔｍ［ ］ Ｉ ａｌ ｔ １ ５ ２ ： ｎ ｎ ａ ｉ ｎ ｎ ｈ ｂ ｉ ｅ ｉ ｒ ｈ９
（） ９
从 而可 得
１１ ＋Ｖ １ （一 ） ０＜０ ＜ （ ｌ ２ １ ｌ Ｉｕ ｄ≤ ∞ ＋ ，
对充分大的 ｍ有
＜
（ １ ０ ）
（１ １）
｝圳 ∞
Ｉ ０ ２， ≤ ＜ Ｊ ＜ ｄ ０ ∞
（２ １）
１ ２
河北科技师范 学院学报
河北科技师范学院学报
第２ ５卷第 ４期 ，０ １ １ ２ １ 年 ２月
Ｊｕｎ ｌｏ ｂ ｉ ｒ ｌ ｉｅｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ １２ ． ｅ ． ０ ｏ ｒａ ｆＨｅ ｅ ｍａ ｖ ｒｉ ｏ ｃｅ ｃ Ｎｏ Ｕｎ ｙ ｅｈ ｏｏ ｙＶｏ． ５ Ｎｏ ４ Ｄ ｃ ２ １ １
盾， 所以假设不成立 ， ｕ （ ） ， （） 。 故 ｔ ∈ａ 即 ｏ ｔ∈ 附注 ： 由本次研究的所有推理和证 明可见 ， 如果把方程 （） １ 换成方程
一
△ 一△ ＃ 一Ａ ＝ Ｉ ｉ－ — ｕ Ｉ ｐ
则本文一切结论仍然成立。
３ 结
论
利用位势井方法 ， 研究了一类 四阶非线性发展方程 ， 得到了其整体弱解的存在性。揭示了此类方程 的可解性 ， 为数值求解此类方程提供了可能 ； 研究中发现对此方程 的解的爆破还需要进一步解决； 利用
（， 日（ ） 。 ０ ∞； ） 下证 （ ∈ 。 ，）
首先证 。 ） （ ∈
ｄＥ０： 【 ｌ＋Ｉ。２ ｌ Ｉ 一 （ （ ） 专（ Ｉ＋Ｉ 【 ＋（） ＞（ 专（ ｛ Ｉ ｌ ＋ｌｕｌ ｆ ｕ ０ ≥ １ Ｉ Ｉｕ｛ ． 。 ） Ｉ Ｉ 。 Ｆ ） ｕ Ｖ ） ｛ 。 ， Ｖ ）
基金项目： 牡丹江师范学院科技青年扶持项 目（ 目编号；Ｆ０９３ ； 项 Ｑ ２００ ） 牡丹江师范学院科研基金项 目一般（ 项目编号 ：
Ｋ ２ １０ ） Ｙ ００ ５ 。 收稿 日期 ： ０ １０ －３ 修改稿收到 日期 ： ０ １１－３ ２ １－３２ ； ２ １ —０ ０
４ 期
李淑凤 一类四阶非线性色散耗散波动方程的柯西问题
（， － ａｗ ｕ 于Ｈ（ 中 ｏ ￣ ｊｊ ） ｏ ） ） ） ｏ（ （ Ｒ
（， ＝ （） － ） ） ０ 点 ） 一 （ 于Ｈ（ 中
将（ ） ３ 乘以 ｇ （） ｔ 再对 ｓ 求和可得
ｄ
（） ４
（） ５
虿 １ （
＋ Ｖ Ｉ ｆ酩ｌ ｌ Ｉ一 Ｊ（）＋Ｖ Ｊ０ （ Ｉ 。Ｉ ＋“ 告． ｕ出 Ｉ ６ ｌ ＋Ｖ ｆ Ｉ ２ 舭 ＝ ） 『 ） Ｆ Ｉ
在 研 中 Ｉ ‘ （， Ｉ ） Ｊ， １，） Ｉ ，・ ＝Ｒ ｄ 本 究 记 ＝ ｌ ＝ （ ＝ （ ） ｆ ｖ。 ） 肛 ｌｎ （ Ｒ ｔ ｎ ， ｎｘ ｕ
１ 位势井及其性质
在本次研究中， 研究一类高维线性色散耗散波动方程的柯西问题
１ 一 一△ 一 ＝ （ ） ｕ １ △ ， △ ，ｕ 一 Ｉｏ Ｕ（ ）２Ｉ ｏ （ ） ＝ ｏＸ ， ： ＝ ｌ 总假设方程（ ） １ 中的ｆ ） ｌ 满足
证明： ｛ （）二是 （ ） 令 ｝－ 中的基函数系， 构造问题（）（） １ ２ 近似解 （， ＝ ）
１２ ，…且满足如下常微分方程组 的初值问题 （ 一 ｕ △ 一 ＋ － （ ）ｗ） ０ ｕ △ 一 ｚ △ ｆ ，ｊ ＝
（）ｍ＝ ，
（） ３
（ｉ） ）Ｉ 当 Ａ＞ Ｖ ∈ Ｉ Ｆ（ ≤Ａｌ ｌ ０， Ｒ
（ｉ） （ ） ｉ Ｆ ｕ ≥Ｂｌ Ｉ Ｂ＞ ， ≥１ ｕ ０ｌ ｌ
（ｊ （ ） ｕ ） ０当 ＝ ｊ） （ ｕ ｉ ）≥ ０时等式成立 引理 １２２ 在引理 １ １ ．【 ． 的条件下 ， 可得到
（ｉ ｛ ｕ ｌ ｌ ｌ， ｕ ｌ Ｉｌ 对 Ｖｕ Ｒ ） ）≤ ｕ ）≤ ｕ ∈
（ｉ） ｕ ≥（ ｉ ） Ｐ＋１ ＢＩ ｌ ，ｕ ≥１ ） ｕ ｌｌ
２ 整体弱解 的存在性
定义 若 ＝ ， ， Ｌ ０ ∞； Ｒ ） ， ∈ ０ ∞； Ｒ ） 且满足 （ ｔ ∈ （ ， 日 （ “ ） Ｌ （ ， 日 （ ） ） （） ｕ ） Ｖ Ｖ ） ＋ Ｖ Ｖ ） Ｖ Ｖ ） １ （ ＋ ， 曲 （ ， ＋（ ， ＋ ｕ
＝
“ ，） ） 曲
Ｉ， ） ） （ ， ＋ Ｖ０ ＋ ＶｔＶ） （ ， 曲＋ （ ， ） （ ， （ｕ －） ｕ Ｖ
（ ） ＝ 。 ） ｆ ＝ （ ） 则称 ｕ ｕ ， 为问题 （ ）（ ） ２ Ｉ （ ， ， ＝（ ｔ ） Ｉ －２ 的整体弱解。
中图分类号 ： １５ ２ ０ ７ ．７ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ６２７ ８ （ ０ １ ０ － １ －３ １７ － ３ ２ １ ）４０ ００ ９ ０
本次研究非线性发展方程 一 一△ 一 ＝ ） 的柯西问题 ， △ △ 一 利用位势井族得到一些完 全新的整体弱解的存在定理。为了研究其柯西问题 ， 对 １ ｕ 情形要 比 １ ｕ １ ≥０ ， ） １ ≤０的情形加上更强 ， ） 的增长条件 。而本研究 中， ≥ 当 ３时对 ） 加的增长条件是文献［ ］ 倍 。故本研究的问题与文献 １ 的２ ［］ １有本质区别。
以，（ （ ） 一‘ ） ０当 ｍ ． ， ０） ， （ ＞ 一∞。 所以， （ ） 。 ０ ∈ 最后证对充分大的 ｍ和 ０ ≤ ＜∞， 均有 （） ＃∈ 用反证法 ， 若不然 ， 存在 ｔ∈（ ， ， 。 ０ ∞）对充分大的 ｍ使得 ｕ （。 ∈ａ 即 ｔ ） ，
定 １假 当 ：２ １ ＜当≥时 ≤≤ 兰。。）日 ，（∈１ ） 理 设 １时 ＜ ３ ３ １ 詈 （∈ ）。）Ｈ 。 ， ｐ； ｐ （ （
若 Ｅ ０ ＜ ， ） ０或 Ｉ ０】 ≠０ 问题 （ ）（ ） （ ） ｄ， 。 ＞ （ Ｉ Ｉ 则 １ 一２ 存在一个整体弱解 ｔ （ ， 日 （ ） ∈ ／ ， ∈Ｌ ０ ∞； ｌＲ ） ， Ｌ （ ， 日 （ ）且 札 对 ０ ＜ ０ ∞； Ｒ ） ， ∈ ≤‘ ∞。