实变函数试卷2+答案

一、判断题：（共26分，每小题2分）

1．任何无限集合均含有可数子集。 （ √ ） 2．集合E 的边界点一定属于E 。 （ × ） 3．若E 不是开集，则E 必为闭集。 （ × ） 4．任意多个开集之并仍为开集。 （ √ ） 5．零测集的任意子集是可测集。 （ √ ） 6．设)(x f 在E 上L 可积, 则)(x f 在E 上有界。 （ × ） 7．若0=mE ，则E 一定是有限集或可数集。 （ × ） 8．..a e 收敛的函数列必依测度收敛。 （ × ） 9．由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。 （ × ） 10． 设()f x 是可测集E 上的可测函数， 则()f x 在E 上L 可积。 （ × ） 11．设1G ，2G 是两个有界开集，且1G 是2G 的真子集，则12mG mG <。 （ × ） 12．设()f x 是区间[,]a b 上的有界变差函数，则()f x '在[,]a b 上L 可积。 （ √ ） 13．设E 是可测集，{()}n f x 和()f x 都是E 上..a e 有限的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞

=

..a e 于E ，则在E 上必有()()n f x f x ⇒。 （ × ）

二、单项选择题：（每小题3分，共15分）

1. 设()f x 在可测集E 上L 可积且

|()|0E

f x dx =⎰，则以下结论正确的是 （ C ）

A 、0mE =；

B 、()0,f x x E =∀∈；

C 、()0,..f x a e =于E ；

D 、以上答案都不对

2. 设mE <∞，()f x 和1{()}n n f x ∞=都是

E 上的可测函数，则()()n f x f x ⇒（在E 上）是()(),..n f x f x a e →于E 的 ( C ).

A 、充分必要条件；

B 、充分条件；

C 、必要条件；

D 、无关条件.

3. 设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）

A 、'

[0,1]E = B 、 o

E =∅ C 、E =[0，1] D 、 1mE =

4. 下列说法不正确的是（ C ）

A 、若

B A ⊂，则B m A m **≤；B 、 有限个或可数个零测度集之并集仍为零测度集；

C 、可测集的任何子集都可测 ；

D 、凡开集、闭集皆可测。

5. 以下结论错误的是( B )

A 、点集(1,3)是不可数集；

B 、点集(1,3)是完全集；

C 、点集(1,3)是开集；

D 、点集(1,3)必可与它的一个真子集对等。

三、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设E 是区间[,]a b 上的绝对连续函数()f x 的不连续点全体所成之集，则mE =__0__。

2. 设)(x f 在[,]a b 上Riemann 可积的____充要 条件是)(x f 在[,]a b 上..a e 连续。

3. 设21(1,3)k A -=， 2(2,5]k A =，lim n n A A →∞

=，则mA = 4 。

4. 设{()}n f x 是可测集E 上的一列非负可测函数，则

lim ()n E n f x →∞

⎰

≤ l i m ()n E

n f x

d x →∞⎰。 5. 设集合列{}n E 满足条件：121n n E E E E +⊃⊃⊃⊃⊃ ，则l

i m n n E →∞

= 1

n

n E

∞

= 。

四、解答题：（每小题8分，共16分，）

1、设0P 表示[0,1]上的Cantor 三分集，00[0,1]G P =-，0tan 0()x

x

e x G

f x x e x P ⎧∈⎪⎨⋅∈⎪⎩

， ，

＝， ，证明()f x 在[0,1]上Lebesgue 可积，并计算[0,1]

()f x dm ⎰

的值.

解：设()x

g x e =([0,1]x ∈)，则易知()g x 在闭区间[0,1]上连续，

从而有界可测，所以()g x 在[0,1]上Lebesgue 可积. （4分） 又因为00mP =，所以()(),..f x g x a e =于[0,1]， 于是()f x 在[0,1]上Lebesgue 可积，并且有

1

10

[0,1]

[0,1]

[0,1]

()()1x

x

x f x dx g x dx e dx e dx e

e =====-⎰

⎰

⎰

⎰ （8分）

2、求极限2

1

2010240lim()sin 1n nx R xdx n x →∞

+⎰. 解：因为2201024

()sin 1n nx f x x n x

=+在[0,1]上连续，所以在[0,1]上Riemann 可积，因而在[0,1]上Lebesgue 可积. 显然有lim ()0n n f x →∞

=. 因为 （4分）

2222010

24242

1|()|sin 1122

n nx nx nx f x x n x n x nx =≤≤=++， 又因为[0,1]1m =<∞，所以由有界控制收敛定理得

221

2010

201024240[0,1][0,1]lim()sin lim()sin 0011n n nx nx R xdx L xdx dx n x n x →∞→∞

===++⎰⎰⎰ （8分）

五、证明题：（每小7分，共28分）

1. 设12,A A 为n

R 的两个子集，12A A ⊂，1A 可测，且1mA <∞. 证明：如果*

12mA m A =，

则2A 也是可测集。

证明：因为1A 可测，所以对于集合2A ，由卡氏条件有

***22121()()C m A m A A m A A =+ .

又因为12n

A A R ⊂⊂，所以211A A A = ，2121C A A A A =- ，代入上式并注意到1A 可测且*12mA m A =得 （3分）

******22121121121()()()()C m A m A A m A A m A m A A mA m A A =+=+-=+-

**221()m A m A A =+-

再注意到*12mA m A =<∞，由上式可得*21()0m A

A -=，因而21A A -可测. 于是2211()A A A A =- 可测 （7分）

2. 设()f x 在可测集E 上可测，证明：()f x 在E 上Lebesgue 可积⇔|()|f x 在E 上Lebesgue 可积.

证明：“()⇒”设()f x 在E 上Lebesgue 可积，则()E

f x dx +⎰

与()E

f x dx -⎰都有限，

因此

|()|()()E

E

E

f x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰

⎰有限，

从而|()|f x 在E 上Lebesgue 可积. （3分）