2012数学建模大赛a试题

葡萄酒的评价模型

摘要

区分葡萄酒好坏的量化标准，主要采用百分制评分体系[1]。该评分体系基于以下四个因素：外观，香气，风味，总体质量或潜力。评酒员对葡萄酒进行品尝后按照酒的质量特点对其分类指标进行打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反应葡萄酒和酿酒葡萄的质量。

现对葡萄酒的评价问题进行分析研究，针对葡萄酒的各项指标数据进行统计和分析，建立起模糊综合评价模型，创建模糊关系矩阵：

R=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2

m 1

m n 22221

n 11211r r r r r r r r r 运用SPSS 软件等数学工具，来讨论出葡萄酒的评价结果。

问题一，采用求方差的方法，

S 2 =

()

1

1

2

--∑=n x x n

i

将各组酒样品横向求方差，纵向求和，将两组的变异系数和进行比较。得出“第二组的变异系数和更小”的结论，即第二组结果更为可信。继而使用t-检验，

t = 1-n （X - μ）/S

对于红葡萄酒，t 值小于0.05，则红葡萄酒存在显著性差异；而白葡萄酒t 值大于0.05，则白葡萄酒不存在显著性差异。

问题二，运用了SPSS 软件中因子分析功能，得到红葡萄理化指标分析（附录1）、白葡萄理化指标分析（附录2），对附件二中的海量数据进行批处理，优化出6项最重要因素简化数据，最后运用聚类分析法分别得出红葡萄与白葡萄的等级分类。

问题三，为了求得酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，运用了统计学原理，结合图表，将酿酒葡萄与葡萄酒的几大决定因素提取出来，将其绘制成成分矩阵，进行详细的数据分析，并得出“酿酒葡萄酿制成葡萄酒之后主要成分中的蛋白质与VC 消失，其余理化指标在不同程度上有所改变”的结论。

问题四，通过统计对比，结合数据折线图，直观反映并论证了两种理化指标对葡萄酒质量的影响，即葡萄酒的质量与酿酒葡萄、葡萄酒的各项理化指标呈正相关的关系，也就是葡萄酒的质量随着葡萄酒和酿酒葡萄中的各理化指标的综合变化情况而变化，当产生“峰值”时，存在产生负相关的可能性。

关键词

模糊综合评价法 聚类分析 统计 SPSS MATHEMATICS

1、问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。建立数学模型讨论下列问题：

（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

2、问题分析

由于酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量[2][3]。因此数据分析、结论准确性等因素具有重要作用。因此整个问题可以归结为：在客观条件相同的状况下选出一种更为准确的方法，并通过数学模型的方式反映出来。

3、建模准备

建模目标：在给定的数据条件下，设计一个模糊综合评价策略，使得葡萄酒评价各项指标结果真实可信、准确率高。

主要因素：误差品酒师水平评价标准宽严尺度

4、模型假设

假设条件：

（1）假设分析范围内所选取的数据具有代表性，过度较为平稳，且符合一定的分布。

（2）假设人为致错的因素为零。

（3）假设存在误差为零。

（4）假设数据权威，赋值合理。

5、符号说明

外观分析澄清度A 色调B

香气分析纯正度C 浓度D 质量E

口感分析纯正度F

浓度G

持久性H

质量I

平衡/整体评价J S

n

：第N个品酒员对酒样品x给出总分。

S

n =A

n

+B

n

+C

n

+D

n

+E

n

+F

n

+G

n

+H

n

+I

n

+J

n

X：N个品酒员对x号样品酒质量的平均数。

X=（S

1+S

2

+……+S

n

）/n

S2：x号样品酒平均数的方差。

S2 =

()

1

1

2

-

-∑

=

n

x

x

n

i

K：方差和。

K = S21 +S22+ (2)

6、模型的建立与求解

问题1：

（1）分析哪一组结果可信

若是评价“哪一组结果更可信”的话，应该考虑一下系统误差和偶然误差，系统误差小的结果比系统误差大的结果可信，偶然误差小（数据比较集中）的结果比偶然误差大的结果可信。

我们采用求方差的方法，纵向求和、横向求方差，通过比较得出结论。

白葡萄酒红葡萄酒

第一组第二组第一组第二组

平均数方差平均数方差平均数方差平均数方差酒样品1 82.0 92.2 77.9 25.9 62.7 83.6 68.1 73.7 酒样品2 74.2 201.1 75.8 49.1 80.3 35.8 74.0 14.6 酒样品385.3 365.1 75.6 142.5 80.4 41.2 74.6 27.6 酒样品4 79.4 44.7 76.9 42.1 68.6 97.2 71.2 31.2 酒样品5 71.0 126.4 81.5 26.3 73.3 55.8 72.1 12.3 酒样品6 68.4 162.7 75.5 22.7 72.2 53.8 66.3 19.0 酒样品777.5 39.2 74.2 42.2 71.5 93.3 65.3 56.4 酒样品871.4 183.6 72.3 31.2 72.3 39.6 66.0 58.6 酒样品972.9 92.8 80.4 106.3 81.5 29.7 78.2 23.2 酒样品10 74.3 212.7 79.8 70.4 74.2 27.4 68.8 32.6 酒样品11 72.3 177.1 71.4 87.8 70.1 63.7 61.6 34.2 酒样品12 63.3 115.8 72.4 140.0 53.9 71.7 68.3 22.6