面积法在初中几何中的应用

面积法在初中几何问题中的相关应用

白土中学徐世富

面积法是捷达几何问题的常见方法，它一般是利用等级变换把几

何问题中的线段关系或量与量之间关系转化成面积关系来解决的一

种方法。它可以把问题简单化，使学生在学习时易理解、易掌握，对

开发学生智力，提高学生学习兴趣具有一定的积极意义。下面列举出

一些初中几何中的相关问题进行说明面积法的应用。

例1. 如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90度，两直角边

AC=6,BC=8,在三角形内有一点P，它到各边的距离相等，问这个距离

是多少？

分析：要想直接计算，需找出表示这个相等距离的线段，由角

平

分线的性质可知，点P应是三角形ABC各角平分线的交点，再

由面积关系列方程求解。

设P点到三边的距离为X，连接PA、PB、PC 。在直角三角形

A ABC 中，AC=6，BC=8。 E

∴ AB=AC+BC=6+8=36+64=100 D D OOO

∴AB=10 C F B ∵∫∆ABC=∫∆PAB+∫∆PAC+∫∆ PBC

∴ 1/2×6×8=1/2×10·X=1/2×8·X

即 48 = 10X + 6 X + 8X 解之得X=2

例2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.P是AD上的一动点，PE⊥

AC于点E，PF⊥BD于点E，求PE+PF的值。

分析：分别求出PE、PF比较困难，若从面积考虑，连结

OP,分别把PE、PF看成∆AOP和∆DOP的高，再过点A作

AG⊥BD于点G.利用∫∆AOB=∫∆AOD=∫∆AOP+∫∆DOP

这层关系便可得AG=PE+PF,再利用BD·AG=AB·AD计

算出AD的长，这样解答就非常简便。

通过以上两个例子不难发现，用面积法解题是以面积公式为基

础，以|“等低等高的三角形面积相等”和“等底(或高）的两个三角

形的面积之比等于对应高（或底）之比”等相关定理为依据建立关系

式求解，所以，利用面积法解答几何题，往往需要借助相等线段或成

比例线段。

例3。在∆ABC中，AM是中线，点M到BA、CA两边的距离分别

是3和4。求AB:AC的值 A B

分析：由AM是中线可知，∫∆AMB=∫∆AMC, E M 根据这个等量关系，很容易得到AB:AC的值。

C

解：∵AM是∆ABC的中线

∴∫∆ABM=∫∆ACM

∴1/2AB ·DM=1/2AC ·EM

即AB ·DM=AC ·EM

又∵DM=3,EM=4

∴AB:AC=3:4

例4。如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8㎝,DB=6㎝,DH ⊥A B 于点H 。

求DH 的长。 A C

H B

分析：由已知的对角线AC 、DB 的长可得菱形ABCD 的面积，而菱形是特殊的平行四边形,平行四边形的面积公式对菱形同样适用。 因此可得1/2AC ·BD=AB ·DH.利用勾股定理求出AB 后,便可求出DH 。解：在菱形ABCD 中，对角线AC=8㎝,DB=6㎝.

∴∫菱形ABCD=1/2AC ·BD=1/2×8×6=24㎝

在菱形ABCD 中，AC ⊥BD,OA=1/2AC=4㎝,OB=1/2BD=3㎝

∴AB=4+3=5

∴5DH=24

即DH =

524㎝.