多元函数条件极值的解法

多元函数条件极值的解法
梯度法
利用梯度法求目标函数),,,(21n x x x f 在条件函数0),,,(21=n k x x x ϕ（n m m k ≤=,,,2,1 ）组限制下的的极值。

首先求目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量，),,,(21n
x f x f x f g ra d f ∂∂∂∂∂∂= ；设n n ϕλϕλϕλϕ+++= 2211为m 个条件相交部分的方程，把多个条件转化为一个条件，而曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的法向量为:),,,(21n x x x n ∂∂∂∂∂∂=ϕϕϕ ，注意其中i
n n i i i x x x x ∂∂++∂∂+∂∂=∂∂ϕλϕλϕλϕ 2211；设曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的切平面上的一个切向量为：),,,(21n a a a a =，则有n a ⋅=i
n i i x a x a x a ∂∂++∂∂+∂∂ϕϕϕ 21=0；然后令0)2(,,2,1,个数为中的-=n n i a i ，可以得到一个切向量，如令0132====-n a a a ，11/x x a a n n
∂∂∂∂-=ϕϕ，),0,,0,(1n n n a x a x ∂∂∂∂-∴ϕφ ，消去n a ，于是得到切平面上的一个切向量),0,,0,(1
x x n ∂∂∂∂-ϕφ ，类似可以得到另外的)2(-n 个向量，),0,,0,,0(2x x n ∂∂∂∂-ϕφ ，…，),,0,,0(1
-∂∂∂∂-n n x x ϕφ ;把这)1(-n 个向量与),,(21n
x f x f x f g r a d f ∂∂∂∂∂∂= 作内积并令它们为0，得到)1(-n 个方程，再与m 个条件函数联立构成方程组，即可求出稳定点。

[5]
例4：已知抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆，求原点到这个椭圆的的最长
和最短距离。

解：设),,(z y x 为椭圆上的点，则它到原点的距离的平方为=2
d 222z y x ++，先求目标函数2222),,(z y x d z y x f ++==在条件22y x z +=与1=++z y x 下的最大与最小值；
设0221=-+=z y x ϕ；012=-++=z y x ϕ；)2,2,2(z y x gradf =；=+=2211),,(ϕλϕλϕz y x )(221z y x -+λ+)1(2-++z y x λ；
曲面0),,(=z y x ϕ在点),,(z y x 的法向量为),2,2(12121λλλλλλ+-++=y x n 。

另外，可以求得曲面0),,(=z y x ϕ在点),,(z y x 的切平面上的两个向量，一个是)2,,0(2121λλλλ+-y ；另一个向量)2,0,(2121λλλλ+-x ，把这两个向量与)2,2,2(z y x gradf =作内积应得0；由此而得到的两个
方程再与两条件函数联立，可以得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++==+⋅+⋅+-=++-⋅+⋅0
1;
;0)2(202)(2;0)2(2)(2022221212121z y x y x z x z y x y z y x λλλλλλλλ 于是，解得的驻点为)32,231,231(-+-+-，)32,2
31,231(+----；由题意可知，这种距离的最大值和最小值都存在，所求的距离最大值和最小值分别在这两点取得：222z y x d ++=，359max +=d ，359min -=d 。

结束语
由以上阐述可以看出，求单一条件极值和多条件极值的方法，有其独特性，但有时甚至有其通用性。

譬如：
（1）求单条件极值时，若原问题通过变形、调整可转化为如下任何一种形式后，即：“和为定值，求积的最值”，“积为定值，求和的最值”或“倒数和为定值，求和的最值”，可以考虑用均值不等式，但是，在应用时一定要注意“一正、二定、三相等的条件”；若原问题通过变形转化为求“积和方的最值”或“方和积的最值”，可以考虑用柯西不等式。

（2）求多条件极值时，一般考虑用拉格朗日乘数法或梯度法。

这两种方法实质一样，但具体解法不同。

对于同一个问题，拉个朗日乘数法的方程组中的方程比梯度法中的多一个，可能在解方程组时较为麻烦；梯度法中0),,(=z y x ϕ在点),,(z y x 的切平面上的向量选取的方法不同，计算的难易程度略有不同。

参考文献：
[1] 王仁发．高等代数专题研究[M].北京：中央广播电视大学出版社，2003．
[2] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵羊师范学院学报，2008.27(2)：14-15.
[3] 华东师范大学数学系．数学分析(第2版，下册)[M]．北京：高等教育出版社，2002.
[4] 同济大学应用数学系.高等数学(第5版,下册)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[5] 唐军强.用方向导数发求解多元函数极值[J].科技创新导报，2008．
Comparison of Several Solutions to Find the Conditional Extrema
of Multivariable Functions
Zhu -jianghong, Sun-Lanxiang
(Department of Mathematics, Cangzhou Teachers ’ College, Cangzhou, Hebei 061001, China)
Abstract：The conditional extrema of multivariable functions is an important content in Mathematical Analysis and Advanced Mathematics, which solution method is generally not beyond the Largrange scale multiplication. In this paper, four solutions to find the conditional extrema were given out and their applicable conditions as well as the degrees of difficulty were also compared for the sake of choosing the right method to solve the similar problems.
Keyword：conditional extremum; Cauchy inequality; mean inequality; Lagrange multiplier;
gradient;
作者简介：朱江红(1969—）,女,河北涞水人，硕士，沧州师专数学系副教授。