统计学常用的公式总结—均值、方差和指数等
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i1
N
组距分组数据：
K
( X i X )2 Fi
i 1
K
Fi
i 1
样本方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
S2 n1
i1
n 1
组距分组数据：
k
(xi x)2 fi
S2 n 1
i1
k
fi 1
i 1
标准差的计算公式
• 未分组数据：
Sn1
n
(xi x)2
1. 绝对数时间序列
– 一系列绝对数按时间顺序排列而成 – 时间序列中最基本的表现形式 – 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 – 分为时期序列和时点序列
• 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 • 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
2. 相对数时间序列
▪ 一系列相对数按时间顺序排列而成
3. 平均数时间序列
累积增长量 观察值个数1
环比发展速度与定基发展速度
（要点）
1. 环比发展速度
– 报告期水平与前一期水平之比
Ri YYi i1
(i1,2,,n)
2. 定基发展速度
报告期水平与某一固定时期水平之比
Ri Y Y0i
(i1,2,,n)
环比发展速度与定基发展速度
（关系）
1. 观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末 期的定基发展速度
N
XX1X2XN i1Xi
N
N
设分组后的数据为：X1 ，X2 ，… ，XK
相应的频数为： F1 ， F2，… ，FK
加权均值的计算公式为
K
XX1F1X2F2 XNFN F1F2 FN
XiFi i1
K
Fi
i1
均值
(数学性质)
• 1. 各变量值与均值的 离差之和等于零
n
(Xi X) 0
i1
2. 各变量值与均值的离差平方和最小
n
(Xi X)2 min
i1
众数、中位数和均值的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
数据类型与集中趋势测度值
表4-4 数据类型和所适用的集中趋势测度值
数据类型 定类数据 定序数据 定距数据 定比数据
※众数
※中位数
※均值
※均值
适
用
—
四分位数
i1
n 1
组距分组数据：
S n1
k
(xi x)2 fi
i 1
k
fi 1
i 1
离散系数
(概念要点和计算公式)
• 1. 标准差与其相应的均值之比 • 2. 消除了数据水平高低和计量单位的影响 • 3. 测度了数据的相对离散程度 • 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 • 5. 计算公式为
VX
2. 再进行对比，即得相对数或平均数序列的 序时平均数
3. 基本公式为
Y a b
增长量
（概念要点）
1. 报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察 期内增长的绝对数量
2. 有逐期增长量与累积增长量之分
▪ 逐期增长量
• 报告期水平与前一期水平之差 • 计算形式为：Δi=Yi-Yi-1 (i =1,2,…,n)
峰度
(概念要点)
• 1. 数据分布扁平程度的测度 • 2. 峰度系数=3扁平程度适中 • 3. 偏态系数<3为扁平分布 • 4. 偏态系数>3为尖峰分布 • 5. 计算公式为
K Xi X 4 Fi
4 i1 N4
时间序列的分类
时间序列
绝对数序列 相对数序列 平均数序列
时期序列 时点序列
时间序列的分类
时点序列— 间隔不相等
Y1 Y2
Y3 Y4
T1
T2
T3
Yn-1
Yn
Tn-1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算步骤
1. 计算出两个点值之间的平均数
Y 1 Y 1 2 Y 2 Y 2 Y 2 2 Y 3 Y n 1 Y n 1 2 Y n
2. 用相隔的时期长度 (Ti ) 加权计算总的平均数
Yi Yn Yi1 Y0
为连乘符号
2. 两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者 ，等于相应的环比发展速度
Yi Yi1 Yi Y0 Y0 Yi1
增长速度
（要点）
1. 增长量与基期水平之比 2. 又称增长率 3. 说明现象的相对增长程度 4. 有环比增长速度与定期增长速度之分 5. 计算公式为
众数
调和平均数
的
—
众数
中位数 几何平均数
测
—
度
值
—
—
四分位数
中位数
—
—
四分位数
—
—
—
众数
总体方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
N
(Xi X)2
2 i1
N
组距分组数据：
K
( X i X ) 2 Fi
2 i1
K
Fi
i 1
标准• 差未分的组计数算据：公式
N
(Xi X )2
YY12Y2T1Y2 2Y3T2Yn12YnTn1 n1 Ti i1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
时点序列—间隔相等
Y1 Y2 Y3
Yn-1 Yn
• 当间隔相等(T1 = T2= …= Tn-1)时，有
Y
Y1 2
Y2
Yn1
Yn 2
n1
相对数序列的序时平均数
（计算方法）
1. 先分别求出构成相对数或平均数的分子ai 和分母 bi 的平均数
– 一系列平均数按时间顺序排列而成
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
时期序列
n
•
计算公 式：
Y Y1 Y2
Yn
Yi
i1
n
n
【例11.1】 根据表11.1中的国内生产总值 序列，计算各年度的平均国内生产总值
n
Y
Yi
i1
4
2
8
8.5854
7
6.95（ 43 亿元）
n
9
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
统计学常用的公式总结—均值 、方差和指数等
均值
(概念要点)
• 1. 集中趋势的测度值之一 • 2. 最常用的测度值 • 3. 一组数据的均衡点所在 • 4. 易受极端值的影响 • 5. 用于数值型数据，不能用于定类数据和
定序数据
均值
(计算公式)
设一组数据为：X1 ，X2 ，… ，XN
简单均值的计算公式为
▪ 累积增长量
• 报告期水平与某一固定时期水平之差 • 计算形式为：Δi=Yi-Y0 (i=1,2,…,n)
3. 各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量
平均增长量
（概念要点）
• 1. 观察期内各逐期增长量的平均数 • 2. 描述现象在观察期内平均增长的数
量 • 3. 平计均算增公长式量为 逐 逐期 期增 增长 长量 量个 之数 和
或Vs S x
偏态与峰度分布的形状
偏态
峰度
左偏分布比较！
尖峰分布
偏态
(概念要点)
• 1. 数据分布偏斜程度的测度
• 2. 偏态系数=0为对称分布
• 3. 偏态系数> 0为右偏分布
• 4. 偏态系数< 0为左偏分布
• 5.
计算公式为
K Xi X 3 Fi
3 i1 N3
N
组距分组数据：
K
( X i X )2 Fi
i 1
K
Fi
i 1
样本方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
S2 n1
i1
n 1
组距分组数据：
k
(xi x)2 fi
S2 n 1
i1
k
fi 1
i 1
标准差的计算公式
• 未分组数据：
Sn1
n
(xi x)2
1. 绝对数时间序列
– 一系列绝对数按时间顺序排列而成 – 时间序列中最基本的表现形式 – 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 – 分为时期序列和时点序列
• 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 • 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
2. 相对数时间序列
▪ 一系列相对数按时间顺序排列而成
3. 平均数时间序列
累积增长量 观察值个数1
环比发展速度与定基发展速度
（要点）
1. 环比发展速度
– 报告期水平与前一期水平之比
Ri YYi i1
(i1,2,,n)
2. 定基发展速度
报告期水平与某一固定时期水平之比
Ri Y Y0i
(i1,2,,n)
环比发展速度与定基发展速度
（关系）
1. 观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末 期的定基发展速度
N
XX1X2XN i1Xi
N
N
设分组后的数据为：X1 ，X2 ，… ，XK
相应的频数为： F1 ， F2，… ，FK
加权均值的计算公式为
K
XX1F1X2F2 XNFN F1F2 FN
XiFi i1
K
Fi
i1
均值
(数学性质)
• 1. 各变量值与均值的 离差之和等于零
n
(Xi X) 0
i1
2. 各变量值与均值的离差平方和最小
n
(Xi X)2 min
i1
众数、中位数和均值的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
数据类型与集中趋势测度值
表4-4 数据类型和所适用的集中趋势测度值
数据类型 定类数据 定序数据 定距数据 定比数据
※众数
※中位数
※均值
※均值
适
用
—
四分位数
i1
n 1
组距分组数据：
S n1
k
(xi x)2 fi
i 1
k
fi 1
i 1
离散系数
(概念要点和计算公式)
• 1. 标准差与其相应的均值之比 • 2. 消除了数据水平高低和计量单位的影响 • 3. 测度了数据的相对离散程度 • 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 • 5. 计算公式为
VX
2. 再进行对比，即得相对数或平均数序列的 序时平均数
3. 基本公式为
Y a b
增长量
（概念要点）
1. 报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察 期内增长的绝对数量
2. 有逐期增长量与累积增长量之分
▪ 逐期增长量
• 报告期水平与前一期水平之差 • 计算形式为：Δi=Yi-Yi-1 (i =1,2,…,n)
峰度
(概念要点)
• 1. 数据分布扁平程度的测度 • 2. 峰度系数=3扁平程度适中 • 3. 偏态系数<3为扁平分布 • 4. 偏态系数>3为尖峰分布 • 5. 计算公式为
K Xi X 4 Fi
4 i1 N4
时间序列的分类
时间序列
绝对数序列 相对数序列 平均数序列
时期序列 时点序列
时间序列的分类
时点序列— 间隔不相等
Y1 Y2
Y3 Y4
T1
T2
T3
Yn-1
Yn
Tn-1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算步骤
1. 计算出两个点值之间的平均数
Y 1 Y 1 2 Y 2 Y 2 Y 2 2 Y 3 Y n 1 Y n 1 2 Y n
2. 用相隔的时期长度 (Ti ) 加权计算总的平均数
Yi Yn Yi1 Y0
为连乘符号
2. 两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者 ，等于相应的环比发展速度
Yi Yi1 Yi Y0 Y0 Yi1
增长速度
（要点）
1. 增长量与基期水平之比 2. 又称增长率 3. 说明现象的相对增长程度 4. 有环比增长速度与定期增长速度之分 5. 计算公式为
众数
调和平均数
的
—
众数
中位数 几何平均数
测
—
度
值
—
—
四分位数
中位数
—
—
四分位数
—
—
—
众数
总体方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
N
(Xi X)2
2 i1
N
组距分组数据：
K
( X i X ) 2 Fi
2 i1
K
Fi
i 1
标准• 差未分的组计数算据：公式
N
(Xi X )2
YY12Y2T1Y2 2Y3T2Yn12YnTn1 n1 Ti i1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
时点序列—间隔相等
Y1 Y2 Y3
Yn-1 Yn
• 当间隔相等(T1 = T2= …= Tn-1)时，有
Y
Y1 2
Y2
Yn1
Yn 2
n1
相对数序列的序时平均数
（计算方法）
1. 先分别求出构成相对数或平均数的分子ai 和分母 bi 的平均数
– 一系列平均数按时间顺序排列而成
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
时期序列
n
•
计算公 式：
Y Y1 Y2
Yn
Yi
i1
n
n
【例11.1】 根据表11.1中的国内生产总值 序列，计算各年度的平均国内生产总值
n
Y
Yi
i1
4
2
8
8.5854
7
6.95（ 43 亿元）
n
9
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
统计学常用的公式总结—均值 、方差和指数等
均值
(概念要点)
• 1. 集中趋势的测度值之一 • 2. 最常用的测度值 • 3. 一组数据的均衡点所在 • 4. 易受极端值的影响 • 5. 用于数值型数据，不能用于定类数据和
定序数据
均值
(计算公式)
设一组数据为：X1 ，X2 ，… ，XN
简单均值的计算公式为
▪ 累积增长量
• 报告期水平与某一固定时期水平之差 • 计算形式为：Δi=Yi-Y0 (i=1,2,…,n)
3. 各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量
平均增长量
（概念要点）
• 1. 观察期内各逐期增长量的平均数 • 2. 描述现象在观察期内平均增长的数
量 • 3. 平计均算增公长式量为 逐 逐期 期增 增长 长量 量个 之数 和
或Vs S x
偏态与峰度分布的形状
偏态
峰度
左偏分布比较！
尖峰分布
偏态
(概念要点)
• 1. 数据分布偏斜程度的测度
• 2. 偏态系数=0为对称分布
• 3. 偏态系数> 0为右偏分布
• 4. 偏态系数< 0为左偏分布
• 5.
计算公式为
K Xi X 3 Fi
3 i1 N3