6 熵与熵增加原理(+习题课)14
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T1 = 363 K
m2 = 0.7 kg
T2 = 293 K
T ′ = 314 K
各部分热水的熵变 T ′ dT dQ T′ −1 ∆S1 = ∫ = m1c p ∫ = m1c p ln = −182 J ⋅ K T1 T T T1 T ′ dT dQ T′ −1 ∆S 2 = ∫ = m2 c p ∫ = m2 c p ln = 203 J ⋅ K T T T T2
可行？ 可行？
2011-7-24 8
1-2为等温膨胀， Q1>0，W1>0，E1=0 为等温膨胀， 为等温膨胀 ， ， 2-3为绝热膨胀， Q2=0，W2>0，E2<0 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 ， ， 3-1为绝热压缩， Q3=0，W3<0，E3>0 为绝热压缩， 为绝热压缩 ， ，
可行？ 可行？
不要求） 一 熵 （不要求） to page 25 1 熵概念的引入 如何判断孤立系统中过程进行的方向？ 如何判断孤立系统中过程进行的方向？ 孤立系统中过程进行的方向 可逆卡诺机
Q1 − Q2 T1 − T2 η= = Q1 T1
Q1 Q2 = T1 T2
2011-7-24
Q1 Q 2 + =0 T1 T2
2011-7-24 19
设平衡时水温为 T ′ ，水的定压比热容为
c p = 4.18 × 10 J ⋅ kg ⋅ K
3
−1
−1
由能量守恒得
0.30 × c p (363K − T ′) = 0.70 × c p (T ′ − 293K )
T ′ = 314 K
2011-7-24
20
m1 = 0.3 kg
∆Qi+1
∑
i
o
dQ ∫ T =0 结论 : 对任一可逆循环过程，热温比之 对任一可逆循环过程， 和为零 。
V i → ∞ 时，则
∆ Qi =0 Ti
2011-7-24
14
2 熵是态函数
p
C
• •B
dQ dQ dQ ∫ T = ∫ACB T + ∫BDA T = 0
dQ dQ 可逆过程 ∫BDA = −∫ADB T T dQ dQ ∫ACB T = ∫ADB T
2011-7-24
18
例1 计算不同温度液体混合后的熵变 . 质量为0.30 kg、温度为 90o C 的水，与质量 质量为 、 的水， o 的水混合后， 为 0.70 kg、 温度为 20 C 的水混合后，最后 、 达到平衡状态. 试求水的熵变. 达到平衡状态 试求水的熵变 设整个系统与 外界间无能量传递 。 解 系统为孤立系统，混合是不可逆的 系统为孤立系统， 等压过程. 为计算熵变，可假设一可逆等压 等压过程 为计算熵变，可假设一可逆等压 混合过程。 混合过程。
2011-7-24
3
2、理想气体分别进行两个可逆卡诺循环：abcda 理想气体分别进行两个可逆卡诺循环： 可逆卡诺循环 和a'b'c'd'a' ,它们的效率分别为η和η' ,每次循环 它们的效率分别为 从高温热源吸热分别为Q和 ， 吸热分别为 从高温热源吸热分别为 和Q'，设两闭合曲线所围 面积相等， 面积相等，则：
A. Q < Q′,η <η ′
B . Q > Q ′,η <η ′ C . Q < Q′,η >η ′ D. Q > Q′,η >η ′
2011-7-24 4
3、 下列四个假想的循环过程，哪个可行？ 类5-33 、 下列四个假想的循环过程，哪个可行？
p
1 绝热 等温 等 容
p
等压 1 绝热 绝热
五一放假通知 2011年4月30日（周六）—5月5 年 月 日 周六） 月 周四）放假， 日（周四）放假，共6天。5月7 天 月 日（星期六）、 月8日（星期 星期六）、5月 日 ）、 上班。 月 日 星期六） 日）上班。5月7日（星期六） 、5月8日（星期日）分别补 月 月 日 星期日）分别补5月 4日（星期三）、 月5日（星期 ）、5月 日 日 星期三）、 课程。 四）课程。
等温
I
绝热
不可行！ 不可行！ 既违背热力学第一定律，又违背热力学第二定律！ 既违背热力学第一定律，又违背热力学第二定律！
2011-7-24
10
5、(5-64)如图所示的循环 、 如图所示的循环 过程， 过程，工质与外界交换的 净热量为 ， Ⅰ 为直线 为直线， 净热量为Q，aⅠb为直线， bⅡa为绝热过程，闭合曲 为绝热过程， Ⅱ 为绝热过程 所包围的面积 线aⅠbⅡa所包围的面积为 Ⅰ Ⅱ 所包围的面积为 A，则该循环的效率为 ，
矛盾！ 矛盾！不可行
2-3为等容降压（温），Q2<0，W2=0，E2<0 为等容降压（ ）， ， 为等容降压 ，
2011-7-24
6
1-2为绝热膨胀， 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 2-3为等温压缩， 为等温压缩， 为等温压缩
Q1=0，W1>0，E1<0 ， ， Q2<0，W2<0，E2=0 ， ，
无矛盾。 无矛盾。
o
A
D
V
可逆过程
2011-7-24
dQ SB − S A = ∫ A T
B
15
在可逆过程中，系统从状态A变化到状 可逆过程中，系统从状态 变化到状 态B ，其热温比的积分只决定于初末状态 而与过程无关。 而与过程无关。 可知热温比的积分是一态 称为熵 符号为S）。 函数的增量， 态函数称为 函数的增量，此态函数称为熵(符号为 ）。 物理意义 热力学系统从初态 A 变化到末态 B ， 系统熵的增量 熵的增量等于初态 系统熵的增量等于初态 A 和末态 B 之间任 意一可逆过程热温比（ 可逆过程热温比 的积分。 意一可逆过程热温比（ dQ/ T ）的积分。
符合热一律符号 规定
12
Q 等温过程中吸收或放出 热温比 T 的热量与热源温度之比 。
可逆卡诺循环中， 结论 ：可逆卡诺循环中，热温比总和 为零 。 任意的可逆循环可视为由许多可逆卡 诺循环所组成。 诺循环所组成。
2011-7-24
13
p
∆Qi
一微小可逆卡诺循环 ∆Qi ∆Qi +1 + =0 Ti Ti +1 对所有微小循环求和
∆S = ∆S1 + ∆S 2 = 21 J ⋅ K
2011-7-24
−1
21
求热传导中的熵变. 例2 求热传导中的熵变 设在微小时间 ∆t ∆Q 内，从 A 传到 B 的热 TA 量为 ∆Q 。 − ∆Q TA > TB ∆S A = TA
TB
绝热壁
∆Q ∆S B = TB
2011-7-24 22
2011-7-24 1
上节内容回顾
循环 卡诺循环 效率 制冷系数 热力学第二定律
2011-7-24
2
1、某人设计了一台可逆卡诺热机：其工质每循环一 、某人设计了一台可逆卡诺热机： 次可从温度为400K的高温热源吸热 的高温热源吸热1800J，向温 次可从温度为 的高温热源吸热 ， 的低温热源放热800J，同时对外作功 度300K的低温热源放热 的低温热源放热 ， 1000J。这种设计可以吗？为什么？ 。这种设计可以吗？为什么？ A、可以，因为它符合热力学第一定律； 、可以，因为它符合热力学第一定律； B、可以，因为它符合热力学第二定律； 、可以，因为它符合热力学第二定律； C、不可以，因为可逆卡诺循环中工质对外作功不 、不可以， 能大于向低温热源放出的热量； 能大于向低温热源放出的热量； D、不可以，因为该热机效率超过理论值。 、不可以，因为该热机效率超过理论值。 D
A、 η > A / Q
B、 η = A / Q
C、 η < A / Q
W η = <1 Q1 A 而 =1 Q
11
D、aⅠb和bⅡa两个过程根本不能组成循环过程。 、 Ⅰ 和 Ⅱ 两个过程根本不能组成循环过程 两个过程根本不能组成循环过程。
2011-7-24
13- (克劳修斯 克劳修斯) 13-7 (克劳修斯)熵 熵增加原理
a
a
a
这一个分子回到一边的几率是百分之五十。 这一个分子回到一边的几率是百分之五十。 只有两个微观状态 如果是四 个分子呢？ 个分子呢？
2011-7-24
b
a c d
27
设有一容器仅有四个分子
bcd a
a bc d b a d c ad b c c b
a b cd a c bd ad bc bc ad bd a c cd a b
∆S = ∆S A + ∆S B
Q TA > TB
∆Q ∆Q =− + TA TB
∴ ∆S > 0
同样， 孤立系统中不 同样，此孤立系统中不可逆过程熵亦 系统中 增加的 是增加的 。
2011-7-24
23
熵增加原理： 三 熵增加原理：
孤立系统中的熵永不减少. 孤立系统中的熵永不减少
∆S ≥ 0
孤立系统不可逆过程 孤立系统不可逆过程 ∆S > 0 不可逆 孤立系统可逆 可逆过程 孤立系统可逆过程 ∆S = 0
1-2 2-3 3-1
T1 = T2
p2γ −1T2 − γ = p3γ −1T3 − γ p1γ −1T1− γ = p3γ −1T3 − γ
⇒ p1 = p2 !
p
1 等温 绝热 绝热
o
D V
9
2011-7-24
4、(5-67)如图所 、 如图所 示的循环过程是否 可行？为什么？ 可行？为什么？
孤立系统中的可逆过程，其熵不变； 孤立系统中的可逆过程，其熵不变；孤 可逆过程 立系统中的不可逆过程， 不可逆过程 立系统中的不可逆过程，其熵要增加 。
2011-7-24
24
平衡态 A
可逆过程 可逆过程
熵不变） 平衡态 B （熵不变）
不可逆过程 不可逆过程 平衡态（熵增加） 非平衡态 平衡态（熵增加） 自发过程 熵增加原理成立的条件: 熵增加原理成立的条件: 孤立系统或 条件 绝热过程。 绝热过程。 熵增加原理的应用 ：给出自发过程进 行方向的判据 。
2011-7-24 16
可逆过程
dQ S B − S A = ∫A T
B
无限小可逆过程
dQ dS = T
J/K
熵的单位
2011-7-24
17
二 熵变的计算
（1）熵是态函数，与过程无关 因此 ）熵是态函数，与过程无关. 因此, 可在两平衡态之间假设任一可逆过程 任一可逆过程， 可在两平衡态之间假设任一可逆过程，从而 可计算熵变 。 （2）当系统分为几个部分时， 各部分 ）当系统分为几个部分时， 的熵变之和等于系统的熵变 。
3-1为等容升压（温）， Q3>0，W3=0，E3>0 为等容升压（ 为等容升压 ， ，
p
1 等 容 等温
绝热
B V
7
o
2011-7-24
1-2 2-3 3-1
p1 = p2
p2V2γ = p3V3γ p1V1γ = p3V3γ
⇒ V1 = V2 !
p
等压 1 绝热 绝热
o
C V
1-2为等压膨胀， Q1>0，W1>0，E1>0 为等压膨胀， 为等压膨胀 ， ， 2-3为绝热膨胀， Q2=0，W2>0，E2<0 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 ， ， 3-1为绝热压缩， Q3=0，W3<0，E3>0 为绝热压缩， 为绝热压缩 ， ，
o p
1 等 容 等温
A V
绝热
o p
C V
绝热
1 等温 绝热
B V o
o
2011-7-24
D V
5
为统一起见，最高（ 为统一起见，最高（左）点标记为1，按循环顺序依次为 和3。 点标记为 ，按循环顺序依次为2和 。
p
1 绝热 等温 等 容
解题依据：热一律、 解题依据：热一律、过程方程
o
A V
1-2为绝热膨胀， 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 3-1为等温压缩， 为等温压缩， 为等温压缩 Q1=0，W1>0，E1<0 ， ， Q3<0，W3<0，E3=0 ， ，
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四 熵增加原理与热力学第二定律
热力学第二定律亦可表述为 ：一切 自发过程总是向着熵增加的方向进行 。
2011-7-24
26
13-8 热二律的统计意义 (了解) 13了解)
1）热二律的统计解释 （以气体的自由膨胀为例） 以气体的自由膨胀为例） 先考虑只有一个分子的情况
a 左 右
d a bc b a d c b a d a cb d c
4! =4 3!1!
b dc a
4! =1 4!
从宏观 上可分 为五个 状态
共有 24=16个 个 微观 状态
d a
4! =4 3!1!
N! N1 ! N2 !
4! =6 2!⋅ 2!
29
如果是10个分子呢 如果是 个分子呢
d a bc b a d c b a d a cb d c
从宏观上可分 为五个状态
b dc a
d a
共有2 共有 4=16个 个 微观状态
2011-7-24
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bcd a
4! =1 4!
a bc d b a d c ad b c c b
a b cd a c bd ad bc bc ad bd a c cd a b
m2 = 0.7 kg
T2 = 293 K
T ′ = 314 K
各部分热水的熵变 T ′ dT dQ T′ −1 ∆S1 = ∫ = m1c p ∫ = m1c p ln = −182 J ⋅ K T1 T T T1 T ′ dT dQ T′ −1 ∆S 2 = ∫ = m2 c p ∫ = m2 c p ln = 203 J ⋅ K T T T T2
可行？ 可行？
2011-7-24 8
1-2为等温膨胀， Q1>0，W1>0，E1=0 为等温膨胀， 为等温膨胀 ， ， 2-3为绝热膨胀， Q2=0，W2>0，E2<0 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 ， ， 3-1为绝热压缩， Q3=0，W3<0，E3>0 为绝热压缩， 为绝热压缩 ， ，
可行？ 可行？
不要求） 一 熵 （不要求） to page 25 1 熵概念的引入 如何判断孤立系统中过程进行的方向？ 如何判断孤立系统中过程进行的方向？ 孤立系统中过程进行的方向 可逆卡诺机
Q1 − Q2 T1 − T2 η= = Q1 T1
Q1 Q2 = T1 T2
2011-7-24
Q1 Q 2 + =0 T1 T2
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设平衡时水温为 T ′ ，水的定压比热容为
c p = 4.18 × 10 J ⋅ kg ⋅ K
3
−1
−1
由能量守恒得
0.30 × c p (363K − T ′) = 0.70 × c p (T ′ − 293K )
T ′ = 314 K
2011-7-24
20
m1 = 0.3 kg
∆Qi+1
∑
i
o
dQ ∫ T =0 结论 : 对任一可逆循环过程，热温比之 对任一可逆循环过程， 和为零 。
V i → ∞ 时，则
∆ Qi =0 Ti
2011-7-24
14
2 熵是态函数
p
C
• •B
dQ dQ dQ ∫ T = ∫ACB T + ∫BDA T = 0
dQ dQ 可逆过程 ∫BDA = −∫ADB T T dQ dQ ∫ACB T = ∫ADB T
2011-7-24
18
例1 计算不同温度液体混合后的熵变 . 质量为0.30 kg、温度为 90o C 的水，与质量 质量为 、 的水， o 的水混合后， 为 0.70 kg、 温度为 20 C 的水混合后，最后 、 达到平衡状态. 试求水的熵变. 达到平衡状态 试求水的熵变 设整个系统与 外界间无能量传递 。 解 系统为孤立系统，混合是不可逆的 系统为孤立系统， 等压过程. 为计算熵变，可假设一可逆等压 等压过程 为计算熵变，可假设一可逆等压 混合过程。 混合过程。
2011-7-24
3
2、理想气体分别进行两个可逆卡诺循环：abcda 理想气体分别进行两个可逆卡诺循环： 可逆卡诺循环 和a'b'c'd'a' ,它们的效率分别为η和η' ,每次循环 它们的效率分别为 从高温热源吸热分别为Q和 ， 吸热分别为 从高温热源吸热分别为 和Q'，设两闭合曲线所围 面积相等， 面积相等，则：
A. Q < Q′,η <η ′
B . Q > Q ′,η <η ′ C . Q < Q′,η >η ′ D. Q > Q′,η >η ′
2011-7-24 4
3、 下列四个假想的循环过程，哪个可行？ 类5-33 、 下列四个假想的循环过程，哪个可行？
p
1 绝热 等温 等 容
p
等压 1 绝热 绝热
五一放假通知 2011年4月30日（周六）—5月5 年 月 日 周六） 月 周四）放假， 日（周四）放假，共6天。5月7 天 月 日（星期六）、 月8日（星期 星期六）、5月 日 ）、 上班。 月 日 星期六） 日）上班。5月7日（星期六） 、5月8日（星期日）分别补 月 月 日 星期日）分别补5月 4日（星期三）、 月5日（星期 ）、5月 日 日 星期三）、 课程。 四）课程。
等温
I
绝热
不可行！ 不可行！ 既违背热力学第一定律，又违背热力学第二定律！ 既违背热力学第一定律，又违背热力学第二定律！
2011-7-24
10
5、(5-64)如图所示的循环 、 如图所示的循环 过程， 过程，工质与外界交换的 净热量为 ， Ⅰ 为直线 为直线， 净热量为Q，aⅠb为直线， bⅡa为绝热过程，闭合曲 为绝热过程， Ⅱ 为绝热过程 所包围的面积 线aⅠbⅡa所包围的面积为 Ⅰ Ⅱ 所包围的面积为 A，则该循环的效率为 ，
矛盾！ 矛盾！不可行
2-3为等容降压（温），Q2<0，W2=0，E2<0 为等容降压（ ）， ， 为等容降压 ，
2011-7-24
6
1-2为绝热膨胀， 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 2-3为等温压缩， 为等温压缩， 为等温压缩
Q1=0，W1>0，E1<0 ， ， Q2<0，W2<0，E2=0 ， ，
无矛盾。 无矛盾。
o
A
D
V
可逆过程
2011-7-24
dQ SB − S A = ∫ A T
B
15
在可逆过程中，系统从状态A变化到状 可逆过程中，系统从状态 变化到状 态B ，其热温比的积分只决定于初末状态 而与过程无关。 而与过程无关。 可知热温比的积分是一态 称为熵 符号为S）。 函数的增量， 态函数称为 函数的增量，此态函数称为熵(符号为 ）。 物理意义 热力学系统从初态 A 变化到末态 B ， 系统熵的增量 熵的增量等于初态 系统熵的增量等于初态 A 和末态 B 之间任 意一可逆过程热温比（ 可逆过程热温比 的积分。 意一可逆过程热温比（ dQ/ T ）的积分。
符合热一律符号 规定
12
Q 等温过程中吸收或放出 热温比 T 的热量与热源温度之比 。
可逆卡诺循环中， 结论 ：可逆卡诺循环中，热温比总和 为零 。 任意的可逆循环可视为由许多可逆卡 诺循环所组成。 诺循环所组成。
2011-7-24
13
p
∆Qi
一微小可逆卡诺循环 ∆Qi ∆Qi +1 + =0 Ti Ti +1 对所有微小循环求和
∆S = ∆S1 + ∆S 2 = 21 J ⋅ K
2011-7-24
−1
21
求热传导中的熵变. 例2 求热传导中的熵变 设在微小时间 ∆t ∆Q 内，从 A 传到 B 的热 TA 量为 ∆Q 。 − ∆Q TA > TB ∆S A = TA
TB
绝热壁
∆Q ∆S B = TB
2011-7-24 22
2011-7-24 1
上节内容回顾
循环 卡诺循环 效率 制冷系数 热力学第二定律
2011-7-24
2
1、某人设计了一台可逆卡诺热机：其工质每循环一 、某人设计了一台可逆卡诺热机： 次可从温度为400K的高温热源吸热 的高温热源吸热1800J，向温 次可从温度为 的高温热源吸热 ， 的低温热源放热800J，同时对外作功 度300K的低温热源放热 的低温热源放热 ， 1000J。这种设计可以吗？为什么？ 。这种设计可以吗？为什么？ A、可以，因为它符合热力学第一定律； 、可以，因为它符合热力学第一定律； B、可以，因为它符合热力学第二定律； 、可以，因为它符合热力学第二定律； C、不可以，因为可逆卡诺循环中工质对外作功不 、不可以， 能大于向低温热源放出的热量； 能大于向低温热源放出的热量； D、不可以，因为该热机效率超过理论值。 、不可以，因为该热机效率超过理论值。 D
A、 η > A / Q
B、 η = A / Q
C、 η < A / Q
W η = <1 Q1 A 而 =1 Q
11
D、aⅠb和bⅡa两个过程根本不能组成循环过程。 、 Ⅰ 和 Ⅱ 两个过程根本不能组成循环过程 两个过程根本不能组成循环过程。
2011-7-24
13- (克劳修斯 克劳修斯) 13-7 (克劳修斯)熵 熵增加原理
a
a
a
这一个分子回到一边的几率是百分之五十。 这一个分子回到一边的几率是百分之五十。 只有两个微观状态 如果是四 个分子呢？ 个分子呢？
2011-7-24
b
a c d
27
设有一容器仅有四个分子
bcd a
a bc d b a d c ad b c c b
a b cd a c bd ad bc bc ad bd a c cd a b
∆S = ∆S A + ∆S B
Q TA > TB
∆Q ∆Q =− + TA TB
∴ ∆S > 0
同样， 孤立系统中不 同样，此孤立系统中不可逆过程熵亦 系统中 增加的 是增加的 。
2011-7-24
23
熵增加原理： 三 熵增加原理：
孤立系统中的熵永不减少. 孤立系统中的熵永不减少
∆S ≥ 0
孤立系统不可逆过程 孤立系统不可逆过程 ∆S > 0 不可逆 孤立系统可逆 可逆过程 孤立系统可逆过程 ∆S = 0
1-2 2-3 3-1
T1 = T2
p2γ −1T2 − γ = p3γ −1T3 − γ p1γ −1T1− γ = p3γ −1T3 − γ
⇒ p1 = p2 !
p
1 等温 绝热 绝热
o
D V
9
2011-7-24
4、(5-67)如图所 、 如图所 示的循环过程是否 可行？为什么？ 可行？为什么？
孤立系统中的可逆过程，其熵不变； 孤立系统中的可逆过程，其熵不变；孤 可逆过程 立系统中的不可逆过程， 不可逆过程 立系统中的不可逆过程，其熵要增加 。
2011-7-24
24
平衡态 A
可逆过程 可逆过程
熵不变） 平衡态 B （熵不变）
不可逆过程 不可逆过程 平衡态（熵增加） 非平衡态 平衡态（熵增加） 自发过程 熵增加原理成立的条件: 熵增加原理成立的条件: 孤立系统或 条件 绝热过程。 绝热过程。 熵增加原理的应用 ：给出自发过程进 行方向的判据 。
2011-7-24 16
可逆过程
dQ S B − S A = ∫A T
B
无限小可逆过程
dQ dS = T
J/K
熵的单位
2011-7-24
17
二 熵变的计算
（1）熵是态函数，与过程无关 因此 ）熵是态函数，与过程无关. 因此, 可在两平衡态之间假设任一可逆过程 任一可逆过程， 可在两平衡态之间假设任一可逆过程，从而 可计算熵变 。 （2）当系统分为几个部分时， 各部分 ）当系统分为几个部分时， 的熵变之和等于系统的熵变 。
3-1为等容升压（温）， Q3>0，W3=0，E3>0 为等容升压（ 为等容升压 ， ，
p
1 等 容 等温
绝热
B V
7
o
2011-7-24
1-2 2-3 3-1
p1 = p2
p2V2γ = p3V3γ p1V1γ = p3V3γ
⇒ V1 = V2 !
p
等压 1 绝热 绝热
o
C V
1-2为等压膨胀， Q1>0，W1>0，E1>0 为等压膨胀， 为等压膨胀 ， ， 2-3为绝热膨胀， Q2=0，W2>0，E2<0 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 ， ， 3-1为绝热压缩， Q3=0，W3<0，E3>0 为绝热压缩， 为绝热压缩 ， ，
o p
1 等 容 等温
A V
绝热
o p
C V
绝热
1 等温 绝热
B V o
o
2011-7-24
D V
5
为统一起见，最高（ 为统一起见，最高（左）点标记为1，按循环顺序依次为 和3。 点标记为 ，按循环顺序依次为2和 。
p
1 绝热 等温 等 容
解题依据：热一律、 解题依据：热一律、过程方程
o
A V
1-2为绝热膨胀， 为绝热膨胀， 为绝热膨胀 3-1为等温压缩， 为等温压缩， 为等温压缩 Q1=0，W1>0，E1<0 ， ， Q3<0，W3<0，E3=0 ， ，
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四 熵增加原理与热力学第二定律
热力学第二定律亦可表述为 ：一切 自发过程总是向着熵增加的方向进行 。
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13-8 热二律的统计意义 (了解) 13了解)
1）热二律的统计解释 （以气体的自由膨胀为例） 以气体的自由膨胀为例） 先考虑只有一个分子的情况
a 左 右
d a bc b a d c b a d a cb d c
4! =4 3!1!
b dc a
4! =1 4!
从宏观 上可分 为五个 状态
共有 24=16个 个 微观 状态
d a
4! =4 3!1!
N! N1 ! N2 !
4! =6 2!⋅ 2!
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如果是10个分子呢 如果是 个分子呢
d a bc b a d c b a d a cb d c
从宏观上可分 为五个状态
b dc a
d a
共有2 共有 4=16个 个 微观状态
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bcd a
4! =1 4!
a bc d b a d c ad b c c b
a b cd a c bd ad bc bc ad bd a c cd a b